お勉強しよう 〕 物理 電磁気

2017/4-2012/1 Yuji.W

直線電荷

_ 直線電荷が作る電場、電位 _〔物理定数

★ ベクトル <> 単位ベクトル <-u> 縦ベクトル <) 内積 * 外積 #
 微分 ; 
時間微分 ' 積分 $ 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x)

【国際単位系(SI系)】クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) ke/c^2=μ0/4Pi
 電場 <E> 磁場 <B> ベクトルポテンシャル <A>

【CGS静電単位系】ke=1_無次元 <Bcgs>=c*<B> <Acgs>=c*<A>

★ 速さ(対光速比) b 相対論的効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)
 運動量(光速倍) pc 質量(光速の2乗倍) @m 時間(光速倍) tc

{復習}ガウスの法則

『ガウスの法則』

◆ ある領域内の電荷密度 ρ 総電荷 Q=$$${ρ*dV}[領域] 電場 <E>

その領域の包括面 面積要素ベクトル <dS> 方向:面の法線方向

■ $${<E>*<dS>}[包括面]=4Pi*ke*Q

◇直線電荷の電位の次元◇

◆ 電荷(線)密度 λ=一定

■ 次元を [~] で表せば

 [全電荷]=[λ]*[長さ]

 [電位]=[ke]*[全電荷]/[長さ]=[ke]*[λ]*[長さ]/[長さ]=[ke]*[λ]

≫ 電位=ke*λ*[無次元の関数]  .

◇直線電荷◇

◆ x軸上に直線電荷 電荷線密度 λ0=一定 円柱座標(r,a,x)

電場 <E(r)>=<ru>*Er

■ x軸を囲む円柱[半径 r  高さ 1] を考え、ガウスの定理を使って、

  2Pi*r*Er=4Pi*ke*λ0

  Er=2*ke*λ0/r _

{積分、ベクトル解析、いろいろうまくかみ合ってきた!2014/3}

『直線電荷』

◆ x軸上に直線電荷 電荷線密度 λ0=一定 円柱座標(r,a,x)

■ 電場 <E(r)>=<ru>*2*ke*λ0/r

◇ガウスの定理を使って◇

◆ 無限に続く直線電荷(棒状電荷) 電荷(線)密度 λ=一定

直線電荷からの距離 r 電場 <E(r)> 対称性より <E(r)>=<ru>*E(r)

■ 無限に長いので、電場の方向は、棒に垂直で外向きであって、その他の方向の成分はないと考えることができる。

z軸を囲むような円柱[半径 r  高さ 1] を考えて、ガウスの定理を使って、

  2Pi*r*E(r)=λ/ε0

  E(r)=[1/(4Pi*ε0)]*2*λ/r=2*ke*λ/r .

{積分、ベクトル解析、いろいろうまくかみ合ってきた!2014/3}

◇直線電荷の電場,電位◇

◎ 無限に長い直線電荷(電荷(線)密度=一定)が作る電場

◆ z軸に無限に続く直線電荷 電荷(線)密度 λ=電荷密度*断面積=一定

観測点 (x,0,0)〔 x>0 〕 電場 <E(x)>

■【 電場 】

対称性より、電場は次のように書ける <E>=<xu>*E(x)〔 x>0 〕

微少部分 z~z+dz の電荷が観測点に作る電場=ke*λ*dz/(z^2+x^2)

そのx成分=[ke*λ*dz/(z^2+x^2)]*[x/root(z^2+x^2)]

 E(x)=2*ke*λ*x*${dz/(z^2+x^2)^(3/2)}[z:0~∞]

${dz/(z^2+x^2)^(3/2)}=(1/x^2)*[z/root(z^2+x^2)]

If{ z=0 } z/root(z^2+x^2)}=0

lim[z->∞]{z/root(z^2+x^2)}=1

 E(x)=2*ke*λ*x*(1/x^2)=2*ke*λ/x .〔 x>0 〕

対称性より <E>=<r.u>*2*ke*λ/r. .

■【 電位 】

x=X のとき φ(X)=φ0 〔 X>0 〕 として、

 φ(x)-φ(X)
=-2*ke*λ*${dx/x}[x:X~x]
=-2*ke*λ*[ln(x)-ln(X)]
=-2*ke*λ*ln(x/X)

≫ φ(x)-φ0=-2*ke*λ*ln(x/X) .〔 x>0 〕

{積分定数の扱いに関しては、この表現が最もいいと思う!2016/9}

『直線電荷』

◆ 無限に続く直線電荷 電荷(線)密度 λ=電荷密度*断面積=一定

直線電荷からの距離 r 電場 E(r) 電位 φ(r) 電位の基準点:r0

■ E(r)=2*ke*λ/r φ(r)-φ(r0)=-2*ke*λ*ln(r/r0)

◇ポアソン方程式を解く◇

『簡単なポアソン方程式の解』 2016/3

■【 Δf=k=定数 】〔C1,C2:積分定数〕

1次元 (1/2)*k*x^2+C1*x+C2

軸対称 (1/4)*k*r^2+C1*ln(r)+C2

球対称 (1/6)*k*r^2+C1/r+C2

■【 Δf=k*デルタ関数 】

軸対称 [k/(2*Pi)]*ln(r)  球対称 -[k/(4*Pi)]/r

■ z軸上の電荷は、デルタ関数を使って λ*δ2(r) と表すことができる

 △φ(r)=-λ*δ2(r)/ε0

 φ(r)
=-[(λ/ε0)/(2*Pi)]*ln(r)

=-[1/(2Pi*ε0)]*λ*ln(r)
=-2*ke*λ*ln(r) 
.

 <E>=-<grad(φ)>=+<ru>*2*ke*λ/r .

{整理できた!2014/4}

◇2本の平行直線電荷間の力◇

◆ 2本の平行直線電荷 距離 h 電荷線密度=λ=一定 単位長さ当たりの直線電荷に働く力 \F

■ 直線電荷が距離 h に作る E=2*ke*λ/h

 \F=λ*E=λ*(2*ke*λ/h)=2*ke*λ^2/h .

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