☆ 直線電荷 ☆

☆ お勉強しよう　電磁気　数学　2022.4-2012.1　Yuji.W

〇 無限長　電場　電位　クーロンの法則　ガウスの法則

【数学】2*3=6　6/2=3　3^2=9　1000=10^3=Ten(3)　　000　py-　0table
微分 ;　偏微分 :　積分 $　ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)　

ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <Au>　内積 *　外積 #　★　

【特殊相対性理論】(3|=2.99792458　光速 c=(3|*Ten(8)_m/sec　
速さ(対光速比) b　相対論効果率 Γ(b)=1/root(1-b^2)　Λ(b)=Γ(b)*b　

【電磁気】(1.6|=1.6021766208　素電荷 qe=(1.6|*Ten(-19)_C　

クーロン力定数 ke=1/(4*Pi*ε0)=(1.6|^2*Ten(9)_N*m^2/C^2　

　μ0=1/(ε0*c^2)=4*Pi*ke/c^2=4*Pi*Ten(-7)_N/A^2

磁場 B [T]=[N/(A*m)]　磁場(光速倍) cB [N/C]

CGS静電単位系で　ke=1　電荷 q [esu]=[root(dyn)*cm]　1_C=(1.6|*Ten(9)_esu　

磁場 Bcgs [G]=[dyn/esu]

　[国際単位系の磁場 B=1_T] ⇔ [CGS静電単位系の磁場 Bcgs=10000_G]　

　[国際単位系で 電流 I=1_A=1_C/sec] ⇔ [CGS静電単位系で I/c=0.1_esu/cm]　

〓　直線電荷が作る電場　〓　　

◎ クーロンの法則、重ね合わせの原理を使って

▢ 無限の長さの直線電荷　電荷線密度 λ=一定　の場合を考える。

対称性により、電場の方向は直線電荷に垂直であって、大きさは、直線電荷からの距離だけの関数になる。

直線電荷からの距離 h　電場の大きさ E(h)

直線電荷は、x軸上にあるとする。

▷ 微小部分 x~x+dx を考える。

　(微小部分の電荷)=λ*dx　(観測点までの距離)=root(x^2+h^2)

　(電場の大きさ)=ke*λ*dx/(x^2+h^2)

直線電荷に垂直な方向の成分だけ考えて、

　dE
=(垂直方向の電場の大きさ)
=ke*[λ*dx/(x^2+h^2)]*h/root(x^2+h^2)
=ke*λ*h*dx/(x^2+h^2)^(3/2)

　E=2*ke*λ*h*${dx/(x^2+h^2)^(3/2)}[x:0~∞]　★　

● ${dx/(x^2+h^2)^(3/2)}
=x/[h^2*root(x^2+h^2)]
=1/[h^2*root(1+h^2/x^2)]

　${x*dx/(x^2+h^2)^(3/2)}[x:0~∞]=1/h^2-0=1/h^2 ●

　E=2*ke*λ*h*(1/h^2)=2*ke*λ/h　★　

〓　直線電荷が作る電場-2-　〓　　

◎ ガウスの法則を使う

▢ 円柱座標(h,a,z)　h=root(x^2+y^2)

z軸上に無限長の直線電荷　電荷線密度 λ=一定　現象はz軸対称

直線電荷が作る電場 <E>=<hu>*E(h)　電位 φ=φ(h)
▷ 単位長さの直線電荷を取り囲む円柱[半径 h　高さ(長さ) 1]を考える。

ガウスの法則より

　$${<E>*<dS>}[閉曲面]=4*Pi*ke*λ=λ/ε0

　(左辺)=2*Pi*h*E(h)

　2*Pi*h*E(h)=4*Pi*ke*λ

　E(h)=2*Pi*ke*λ/h

　<E>=<hu>*2*ke*λ/h　★　

▷ <grad(φ)>=-<E>

　φ(h);h=-2*ke*λ/h

　φ(h)=-2*ke*λ*${dh/h}=-2*ke*λ*ln(h)+(積分定数)

h=h0　で　φ(h0)=0　とすれば　(積分定数)=2*ke*λ*ln(h0)

また　ln(h)-ln(h0)=ln(h/h0)　だから、

　φ(h)=-2*ke*λ*ln(h/h0)　★　

{Rewwal!2021.1}{積分、ベクトル解析、いろいろうまくかみ合ってきた!2014.3}

〓　直線電荷　〓　　

▢ 無限長の直線電荷　電荷線密度 λ=一定　

直線電荷からの距離 h　電場 <E(h)>　電位 φ(h)

▷ E(h)=2*Pi*ke*λ/h　

 φ(h0)=0　とすれば　φ(h)=-2*ke*λ*ln(h/h0)　

〓　円柱電荷が作る電場　〓　　

▢ 無限長の円柱電荷　半径 R　中心軸からの距離 h

円柱内の電荷密度 ρ=a*h^2〔 比例定数 a 〕　半径 h 内の電荷線密度 λ(h)

電場の大きさ E(h)　電位 φ(h)

▷ 電荷線密度

　dλ(h)=2*Pi*ρ*h*dh=2*Pi*a*h^3*dh

　λ(h)=2*Pi*a*${h^3*dh}[h:0~h]=(Pi/2)*a*h^4　★　

　λ(R)=(Pi/2)*a*R^4

▷ 電場

円柱内　E(h<R)=2*ke*λ(h)/h=Pi*ke*a*h^3=[1/(4*ε0)]*a*h^3　★　

円柱の側面で　E(R)=Pi*ke*a*R^3=[1/(4*ε0)]*a*R^3　★　

円柱の外　E(h<R)=2*ke*λ(R)/h=Pi*ke*a*R^4/h=[1/(4*ε0)]*a*R^4/h

▷ 電位

中心軸での電位 φ0

円柱内　φ(h<R)=φ0-(Pi/4)*ke*a*h^4

円柱の側面　φ(R)=φ0-(Pi/4)*ke*a*R^4

円柱の外　φ(h>R)=φ0-(Pi/4)*ke*a*R^4*[1+4*ln(h/R)]

φ(10*R)=0　とすれば、

　φ0=(Pi/4)*ke*a*R^4*[1+4*ln(10)]=[1/(16*ε0)]*a*R^4*[1+4*ln(10)]

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