☆ ガウスの法則 ☆

☆ お勉強しよう　電磁気　数学　2022.4-2016.10　Yuji.W

〇 電場  面積分  発散定理  div  ガウスの定理　☆ 　★　

【数学】2*3=6　6/2=3　3^2=9　1000=10^3=Ten(3)　　　000　py-　0table
微分 ;　偏微分 :　積分 $　ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)　

ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <Au>　内積 *　外積 #　　

【電磁気】(1.6|=1.6021766208　素電荷 qe=(1.6|*Ten(-19)_C　
クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)=(1.6)^2*Ten(9)_N*m^2/C^2　
μ0=1/(ε0*c^2)=4*Pi*ke/c^2=4*Pi*Ten(-7)_N/A^2

【CGS静電単位系】ke=1　1_C=(1.6|*Ten(9)_esu　
　[国際単位系の磁場 1_T] ⇔ [CGS静電単位系の磁場 Ten(4)_G]　
　[国際単位系の電流 1_A] ⇔ [(CGS静電単位系の電流)/c 0.1_esu/cm]　

〓  発散 div ガウスの定理  〓 

▢ 任意のベクトル <A>=<Ax Ay Az>  偏微分 :

▷ {定義} div<A>=lim[体積->0]{$${<A>*<dS>}[閉曲面]/(閉曲面内の体積)}

▷ div<A>=Ax:x+Ay:y+Az:z

▷ ガウスの定理  $$${div<A>*dV}[閉曲面内]=$${<A>*<dS>}[閉曲面]

〓  1つの点電荷 電場の面積分  〓 

▢ 原点に点電荷 q  原点を中心とし、半径 r の球面を考える。

球面上の面積要素ベクトル <dS>  球面上の電場 <E>=<ru>*ke*q/r^2 
▷ <ru>*<dS>=dS  だから、
  $${<E>*<dS>}[球面]
=ke*(q/r^2)*$${<ru>*<dS>}[球面]
=ke*(q/r^2)*$${dS}[球面]
=ke*(q/r^2)*(球の面積)
=ke*(q/r^2)*(4Pi*r^2)
=4Pi*ke*q

　$${<E>*<dS>}[球面]=4Pi*ke*q　★　

〓  電場のガウスの法則  〓 

▢ 静電場  電荷密度 ρ(x,y,z)  電場 <E(x,y,z)>

領域内にある電荷 Q=$$${ρ*dV}[領域]

▷ ガウスの定理  $${<E>*<dS>}[閉曲面]=$$${div<E>*dV}[領域]

Maxwell 方程式①  div<E>=4Pi*ke*ρ

 上の2式より、

　$${<E>*<dS>}[閉曲面]=4Pi*ke*$$${ρ*dV}[領域]=4Pi*ke*Q

　$${<E>*<dS>}[閉曲面]=4Pi*ke*Q　★　ガウスの法則

国際単位系 4Pi*ke=1/ε0  CGS静電単位系で 4Pi*ke=4Pi

※ 領域外に電荷があるかないかで、電場は変化する。だが、閉曲面での、<E>の面積分の合計を考えると、その閉曲面の外部にある電荷による面積分値は相殺され 0 になるという意味。閉曲面内の電荷のみ考えればよい。　★　
{ガウスの法則を適用するときに誤解しやすい!以上の事がわからず、長年混乱してきた!2017/7}

〓  電場のガウスの法則  〓 

▢ 静電場  電荷密度 ρ(x,y,z)  電場 <E(x,y,z)>　領域内にある電荷 Q=$$${ρ*dV}[領域]

▷ $${<E>*<dS>}[閉曲面]=4Pi*ke*Q　

▲ 閉曲面での <E> の面積分の合計を考えると、閉曲面の外部にある電荷による積分値は相殺され 0 になる。閉曲面内の電荷だけを考えれば、計算できる。

※ 国際単位系 4Pi*ke=1/ε0　CGS静電単位系で 4Pi*ke=4Pi　

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