お勉強しようUz〕 物理 電磁気

2017/4-2016/10 Yuji.W

☆静電場☆

_ 時間的変化のない電場 電場 電位 _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
 積 * 商 / 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 
時間微分 ' 積分 $

◇ {定義値}2.99792458=@3 光速 c=@3*Ten(8)_m/sec (@3)^2=@9
国際単位系 クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)_N*m^2/C^2
 ε0*μ0*c^2=1_無次元 電場 <E>_N/C 磁場 <B>_T 磁場(光速倍) <cB>_N/C
CGS静電単位系 ke=1_無次元 電場 <E>_dyn/esu 磁場 <Bcgs>_G
 B=1_T ⇔ Bcgs=10000_G  〔電磁気の単位〕〔物理定数

◇クーロン力◇

◎ 2つの電荷間に働く力

■【 クーロン力の大きさ 】

 ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)=8.988*Ten(9)_N*m^2/C^2

 F=ke*q1*q2/r12

★ 1クーロン[6*Ten(18) 個の電子、1Aで電流が1秒間に運ぶ電荷量]同士 距離 1m

 F〜Ten(10)_N〜Ten(9)_kg重〜100万トンの物体にかかる重力

★ 電子1個ずつ 距離 1m

 F=9*Ten(9)*[1.6*Ten(-19)]^2=2*Ten(-28)_N=2*Ten(-27)_kg重

■ 【 静電気間の力 】

Ten(11)個程度の電子同士の力 距離=1_cm

 力=[9*Ten(9)]*[1.6*Ten(-19)]^2/Ten(-2)^2
~2.3*(-24)_N

■【 クーロン力と重力 】

電子2個の間に働くクーロン力 Fc、万有引力 Fg

どちらの力も、距離の2乗に反比例するので、その力の比は、距離に関係なく一定である。 

 Fc/Fg
=[9*Ten(9]*[1.6*Ten(-19)]^2/[6.67*Ten(-11)]*[9.1*10(-31)]^2
=4*Ten(42)

クーロン力が圧倒的に大きいことがわかる。電磁気の問題を考えるときに、万有引力は考えないことが多い。

{復習}距離の微分

◆ デカルト座標 (x,y,z) 原点からの距離 r=root(x^2+y^2+z^2)

 <r>=<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z <ru>=<r>/r

■ r;x=x/r (1/r);x=-x/r^3 (x/r);x=1/r-x^2/r^3 [ln(r)];x=x/r^2

■ <r>;x=<xu> <ru>;x=[<xu>*(y^2+z^2)-<yu>*x*y-<zu>*x*z]/r^3

■ <grad(r)>=<ru> <grad(1/r)>=-<ru>/r^2

■ div<r>=3 div<ru>=2/r

■ <curl<r>>=0

◆ 球座標 (r,a,b) 球対称スカラー関数 f(r)

球対称ベクトル関数 <A>=<ru>*Ar(r)

■ <grad[f(r)]>=<ru>*(f;r) div<A>={(r^2*Ar);r}/r^2

 <curl<A>>=0 △f={[r^2*(f;r)];r}/r^2


◇電場◇

◎ 静電場(時間的に変化のない電場)

■【 電場、電位 】

観測点の位置 <r>

電場 <E(<r>)> 観測点にある単位電荷が受ける力の大きさと方向を示す .

観測点にある電荷 q が受ける力 <F>=q*<E>

■【 1つの電荷が作る電場 】

電荷 q 電荷から観測点まで方向を示す単位ベクトル <ru> 電荷から観測点までの距離 r r≧0 クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)

 <E>=<ru>*ke*q/r^2

観測点にある電荷 Q が受ける力 <F>

 <F>=Q*<E>=<ru>*ke*Q*q/r^2

※ r=0 で発散してしまう。r=0 で定義されていない。

■【 2つの電荷が作る電場 】

電荷 q1,q2 <r1u>,<r2u> r1,r2

 <E>=ke*(<r1u>*q1/r1^2+<r2u>*q2/r2^2) .重ね合わせの原理

☆自己場☆

. 自分が作る電場による力 ● クーロン力定数 ke

◆ 2電荷 q1,q2

観測点までの位置 <r1>,<r2>

 |<r1>=r1 |<r2>|=r2 <r1u>=<r1>/r1 <r2u>=<r2>/r2

 <r12>=<r1>-<r2> |<r12>|=r12 <r12u>=<r12>/r12

それぞれの電荷が作る電場 <E1>,<E2> 系全体の電場 <E>=<E1>+<E2>

それぞれの電荷が受ける力 <F1>,<F2>

■【 2電荷が作る電場 】

 <E1>=<r1u>*ke*q1/r1^2 <E2>=<r2u>*ke*q2/r2^2

 <E>=<E1>+<E2>=ke*(<r1u>*q1/r1^2+<r2u>*q2/r2^2)

電荷がある位置、すなわち r1=0 または r2=0 で、発散してしまい、定義されていない。

■【 電荷q1が受ける力 】

電荷q1の位置は r1=0 r2=r12 <E> は発散してしまう。

自分が作る電場 <E1> は考えないで、次のようにする。

 <F1>=q1*<E2>=<r12u>*ke*q1*q2/r12^2 .

同様に <F2>=q2*<E1>=-<r12u>*ke*q1*q2/r12^2

もちろん <F1>+<F2>=0

※ 点電荷であると考えている事に、原因がある。電荷は広がりを持ち、自分自身が作る電場による力の合力が 0 になると考える事もできる。

電位

■【 電位 】

静電場 <E> 2地点 <r0>,<r>

<curl<E>>=0 いたる所 ⇒ 電場の任意の閉曲線の循環が0 ⇒ <E> は場所の関数 ⇒ 電位を定義することができる

{定義} 電位 φ(<r0>~<r>) 単位電荷を、電場による力に逆らって、地点<r0>から地点<r>まで動かすのに必要なエネルギー .

単位電荷が受ける力は <E> だから、その力に逆らって動かすのに必要なエネルギーは、

 φ(<r0>~<r>)=-${<E>*<ds>}[<r0>~<r>]

電場は観測点ごとに定まる量、電位は、2地点を定めないと決まらない量。「電位」の代わりに、「電位差」の方が正しい表現。

1つの電場に対して、ある定まった位置、基準点<r0>を決めて、そこでの電位を 0 として、普通は φ(<r0>~<r>) とは書かずに φ(<r>) と書く

※ <r0>は、電場ごとに都合のよいように定める。電場は、位置によって定まる量、電位は、あくまで、「差」である事を忘れないようにしないと、混乱する事になる。

■【 エネルギー 】

静電場 <E> 電位 φ(<r0>~<r>)

電荷 Q を、電場による力に逆らって、地点<r0>から地点<r>まで動かすのに必要なエネルギー U

 U=Q*φ(<r0>~<r>)

※ 電位は <r0>~<r> の経路に依らない量。曲がりくねっていても、遠回りしても、なんでもよい。

■【 <電場>と電位 】

 φ(<r>)=-${<E>*<ds>}[<r0>~<r>]

 <E>=-<grad[φ(<r>)]>

■【 1つの電荷が作る電位 】

電荷 q 電荷から観測点までの距離 r r>0 電位 φ(<r0>~<r>)

基準点<r0>を無限遠にして φ(r)=ke*q/r .距離のみによって定まる

■【 2つの電荷が作る電位 】

電荷 q1,q2 電荷から観測点までの距離 r1,r2〔r1>0 & r2>0〕 電位 φ

基準点を無限遠にして φ(r1,r2)=ke*(q1/r1+q2/r2) .重ね合わせの原理

電荷 Q を無限遠から、その2つの電荷の力に逆らって、その位置に移動するのに必要なエネルギー U

 U=ke*Q*(q1/r1+q2/r2)

静電エネルギー(無限遠にあった2つの電荷をその位置に配置するのに必要なエネルギー) U 2電荷間の距離 r12

 U=ke*q1*q2/r12 以上、2つのエネルギーの違いに注意{!}

{電場と電位、やっとすっきりわかってきた!40年もかかったよ!2016/9}

◇エレクトロンボルト◇

◎ エレクトロンボルト eV エネルギーの単位

◇ \c=2.99792458 \e=1.602176487

■【 国際単位系(SI系)で 】

素電荷 e=\e*Ten(-19)_C

電荷 q_C を、電位差 V_V の電場を移動させるのに必要なエネルギー E

 E=q*V_J

陽子 e_C を、電位差 1_V の電場を移動させるのに必要なエネルギー E

 E=e*1=e_J これを 1_eV と表す

 1_eV
=[陽子 e_C を、電位差 1_V の電場を移動させるのに必要なエネルギー]
=\e*Ten(-19)_J 
_

電子 -e_C を、電位差 1_V の電場を移動させるのに必要なエネルギー E=-1_eV

■【 CGS静電単位系で 】

 1_erg=1_静電ボルト*esu

 1_J=Ten(7)_erg=Ten(7)_静電ボルト*esu

 {確かめ} 1_J
=1_V*C
=[Ten(-2)/\c]*[\c*Ten(9)]_静電ボルト*esu
=Ten(7)_静電ボルト*esu

 1_静電ボルト=1_erg/esu=Ten(-7)*[\c*Ten(9)]=\c*Ten(2)_V

 1_eV=\e*Ten(-19)_J=\e*Ten(-12)_静電ボルト*esu

{復習}CGS静電単位系

『CGS静電単位系』 2017/2

● \c=2.99792458 光速度 c=\c*Ten(10)_cm/sec {定義値}

 \c^2=8.98755179 1/\c^2=1.11265006*Ten(-1)

 \e=1.602176487 1_J=Ten(7)_erg

■ [クーロン力定数]=[無次元] [電荷]=[esu]=[root(dyn)*cm]

 [電場]=[dyn/esu]=[静電ボルト/cm]=[root(dyn)/cm]

 [磁場]=[G]=[dyn/esu]=[root(dyn)/cm]=[電場]

 [電荷]*[磁場]=[esu]*[dyn/esu]=[dyn]

 [静電ボルト]^2=[dyn]

■ 1_C=\c*Ten(9)_esu

 素電荷 e_C=\e*[\c*Ten(9)]=4.80320427*Ten(-10)_esu

■ 1_erg=1_静電ボルト*esu

 1_J=Ten(7)_erg=Ten(7)_静電ボルト*esu

 1_静電ボルト=1_erg/esu=\c*Ten(2)_V

 1_eV=\e*Ten(-19)_J=\e*Ten(-12)_静電ボルト*esu

■ 静電容量 1_cm=1.11265006_pF

 1_F=\c^2*Ten(11)=8.98755179*Ten(11)_cm

{計算例}2つの電荷

◆ 電荷 +q (d,0,0) , +q (-d,0,0) d>0 電位 φ(x,y,z) 基準点を無限遠とする

■【 x軸上 】

 φ(x)=ke*q*(1/|x-d|+1/|x+d|)

x=2*d のとき φ=ke*q*(1/d+1/3)/d=(4/3)*ke*q/d

x=0 のとき φ=2*ke*q/d

■【 y軸上 】

 φ(y)=2*ke*q/root(y^2+d^2)

y=d のとき φ=root2*ke*q/d


◆ 電荷 +q (d,0,0) , -q (-d,0,0) d>0 電位 φ(x,y,z) 基準点を無限遠とする

■【 x軸上 】

 φ(x)=ke*q*(1/|x-d|-1/|x+d|)

x=2*d のとき φ=ke*q*(1-1/3)/d=(2/3)*ke*q/d

x=0 のとき φ=0

■【 y軸上 】

 φ(y)=0


◆ 電荷 -q (d,0,0) , 2*q (-d,0,0) d>0 電位 φ(x,y,z) 基準点を無限遠とする

■【 x軸上 】

 φ(x)=ke*q*(-1/|x-d|+2/|x+d|)

If{ x=0 } φ/(ke*q/d)=-1+2=1

If{ x/d=1/3 } φ/(ke*q/d)=-3/2+3/2=0

If{ x/d=1 } 定義できない

If{ x/d=2 } φ/(ke*q/d)=-1+2/3=-1/3

If{ x/d=3 } φ/(ke*q/d)=-1/2+1/2=0

If{ x/d=4 } φ/(ke*q/d)=-1/3+2/5=1/15

■【 y軸上 】

 φ(y)
=ke*q*[-1/root(y^2+d^2)+2/root(y^2+d^2)]
=ke*q/root(y^2+d^2)

y=0 のとき φ(y)=ke*q/d

■【 xy平面上 】

 φ(x,y)=ke*q*(-1/root[(x-d)^2+y^2]+2/root[(x+d)^2+y^2]]

φ=0 になる位置は、

 -1/root[(x-d)^2+y^2]+2/root[(x+d)^2+y^2]=0

 -root[(x+d)^2+y^2]+2*root[(x-d)^2+y^2]=0

 2*root[(x-d)^2+y^2]=root[(x+d)^2+y^2]

 4*[(x-d)^2+y^2]-[(x+d)^2+y^2]=0

 4*(x^2-2*d*x+d^2)+4*y^2-(x^2+2*d*x+d^2)-y^2=0

 3*x^2-10*d*x+3*d^2+3*y^2=0

 x^2-(10/3)*d*x+d^2+y^2=0

 [x-(5/3)*d]^2+y^2=[(4/3)*d]^2

φ=0 になるのは 円 半径 (4/3)*d 中心 ((5/3)*d , 0)

■【 空間上 】

φ=0 になるのは 球 半径 (4/3)*d 中心 ((5/3)*d , 0)

無限遠を基準点にして、球内の電位はマイナス、球外の電位はプラス .

別の電荷を無限遠から、この2つの電荷による力に逆らって、この球の表面上に移動するエネルギーは 0 .

{なるほど!おもしろい問題だ!2016/9}

◇3つの電荷◇

◆ 3つの電荷 q1,q2,q3 それぞれの電荷から観測点までの位置 <r1>,<r2>,<r3>
その単位ベクトル <r1u>,<r2u>,<r3u>

それぞれの電荷間の距離 r12,r23,r31

3つの電荷が作る電場 <E> 3つの電荷が作る電位 φ

3つの電荷が作る静電エネルギー U

■ <E>=ke*(<r1u>*q1/r1^2+<r2u>*q2/r2^2+<r3u>*q3/r3^2)

 φ=ke*(q1/r1+q2/r2+q3/r3)

 U=ke*(q1*q2/r12+q2*q3/r23+q3*q1/r31)

◇クーロン力◇

◎ 2つの電荷間に働く力

■【 クーロン力の大きさ 】

 ke=1/(4Pi*ε0)=c^2*Ten(-7)=8.988*Ten(9)_N*m^2/C^2

 F=ke*q1*q2/r12

★ 1クーロン[6*Ten(18) 個の電子、1Aで電流が1秒間に運ぶ電荷量]同士 距離 1m

 F〜Ten(10)_N〜Ten(9)_kg重〜100万トンの物体にかかる重力

★ 電子1個ずつ 距離 1m

 F=9*Ten(9)*[1.6*Ten(-19)]^2=2*Ten(-28)_N=2*Ten(-27)_kg重

■ 【 静電気間の力 】

Ten(11)個程度の電子同士の力 距離=1_cm

 力=[9*Ten(9)]*[1.6*Ten(-19)]^2/Ten(-2)^2
~2.3*(-24)_N

■【 クーロン力と重力 】

電子2個の間に働くクーロン力 Fc、万有引力 Fg

どちらの力も、距離の2乗に反比例するので、その力の比は、距離に関係なく一定である。 

 Fc/Fg
=[9*Ten(9]*[1.6*Ten(-19)]^2/[6.67*Ten(-11)]*[9.1*10(-31)]^2
=4*Ten(42)

クーロン力が圧倒的に大きいことがわかる。電磁気の問題を考えるときに、万有引力は考えないことが多い。

クーロン力と原子核

■ 水素原子の中で働くクーロン力 F 原子の半径 5*Ten(-11)m

 F=8*Ten(-8) N

■ その時の、電子の速さ v 非相対論で、

 m*v^2/r=F から、

 v=root[F*r/m]=root{8*8*Ten(-8)*5*Ten(-11)/[9*Ten(-31)}
=root[4*Ten(12)]=2*Ten(6) m/sec

 v=2000 km/sec 非常に速いが、光よりは全然遅い{!}

● 素電荷 e=1.6*Ten(-19)_C

■ 陽子 n個同士が、クーロン力に抗して、距離 rにくっつくのに必要なエネルギーE eVで表すと、

ヘリウム原子核の直径3*Ten(-15)m ヘリウム原子核:電荷2

 E(He)=9*Ten(9)*Qe^2/Qe/[3*Ten(-15)]
=9*Ten(9)*1.6*Ten(-19)/Ten(-14)=1.4*Ten(5)=0.5_MeV

ウラン原子核:電荷92
(ウランの半径)/(ヘリウムの半径)=(92/2)^(1/3)~3.6

 E(U)=(46^2/3.6)*E(He)=300_MeV

◇陽子を銀に衝突させる◇

◆ 陽子を電位差 φ=5*Ten(6)_V で加速し、銀に衝突させる

最接近した距離 r そのときの電場 E 銀の原子番号 47 陽子、電子の電荷 Qe

■ 陽子が得た運動エネルギー=5*Ten(6)*Qe

 最接近したときの位置エネルギー=ke*47*Qe^2/r

 5*Ten(6)*Qe=ke*47*Qe^2/r

 r=[9*Ten(9)]*47*[1.6*Ten(-19)]/[5*Ten(6)]=1.4*Ten(-14)_m~原子核の大きさ

 E
=(ke*47*Qe/r)/r
=5*Ten(6)/[1.4*Ten(-14)]
=3.6*Ten(20)_V/m

◇4つの電荷の電位◇

◎ 「バークレー電磁気」の問題 {いい問題作るなあ!2016/9}

◆ xy平面上に4つの電荷

+2_esu を (0,2) , (0,-2) -1_esu を (1,0) , (-1,0)

点 (0,1) の電位 φ1 点 (3.5,0) の電位 φ2

■ φ1
=ke*(+2/1+2/3-1/root2-1/root2)
~2.667-1.414
=1.253_静電ボルト 
.

■ root(2^2+3.5^2)=root(16.25)~4.03

 φ2
=ke*(+2/4.03+2/4.03-1/2.5-1/4.5)
=ke*(0.993-0.622)
=0.371_静電ボルト 
.

{計算例}電場、電位

◆ <E>=<2*x*y x^2-y^2 0>

■【 div,curl 】

 div<E>
=<xu>*(2*x*y);x-<yu>*(x^2-y^2);y
=<xu>*2*y-<yu>*2*y
=(<xu>-<yu>)*2*y

 <curl<E>>
=<zu>*[(x^2-y^2);x-(2*x*y);y]
=<zu>*(2*x-2*x)
=0

■【 電位、経路1 】原点-x軸-(X,0,0)-y軸と平行-(X,Y,0)

 ${<E>*<ds>}
=0+${(X^2-y^2)*dy}[y:0~Y]
=[X^2*y-y^3/3][y:0~Y]
=X^2*Y-Y^3/3

 φ(x,y,z)=-x^2*y+y^3/3

■【 電位、経路2 】原点-y軸-(0,Y,0)-x軸と平行-(X,Y,0)

 ${<E>*<ds>}
=${-y^2*dy}[y:0~Y]+${2*x*Y*dx}[x:0~X]
=-[y^3/3][y:0~Y]+[x^2*Y][x:0~X]
=-Y^3/3+X^2*Y
=X^2*Y-Y^3/3

 φ(x,y,z)=-x^2*y+y^3/3

■【 電位 】

 電位 φ(x,y,z)=-${<E>*<ds>}=-x^2*y+y^3/3

■【 <E> を求める 】

 <E>
=-<grad(φ)>
=-<xu>*(-x^2*y+y^3/3);x-<yu>*(-x^2*y+y^3/3);y
=-<xu>*(-2*x*y)-<yu>*(-x^2+y^2)
=<2*x*y x^2-y^2 0>

{具体的にいろいろ計算すると、理解が深まる!2016/8}

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