物理 > 力学  2015/7-2012/8  Yuji.W

☆ヨーヨー☆

◎ ヨーヨーの運動 慣性モーメント 角運動量 トルク エネルギー

「慣性モーメント」 2015/7

■ 面密度一定 半径 R 質量 M I0=M*R^2 円柱 Ic/I0=1/2

〔表記2015/06/16〕ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分; 
時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) e^(i*x)=expi(x) 物理定数 

◇ヨーヨー◇

◎ ヨーヨーを重力に任せ落とす。回転しながら落ちていく。

 

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◆ヨーヨーをひもをつけた状態で、自由落下させる。回転しつつ、落下する。

ひもが引っ張る力(方向は重力と逆) T

ヨーヨーの半径 R 面密度一定の円柱とする 質量 m 慣性モーメント I=(1/2)*m*R^2

回転角 a x=R*a

■ 質量の中心(ヨーヨーの中心)の運動 m*x''=m*g-T …@

質量の中心に対する回転 I*a''=T*R ※ 重力は質量の中心を通るからそのトルクは 0

変数を a から x にして [(1/2)*m*R^2]*(x''/R)=T*R m*x''=2*T …A

@Aより T を消去して 3*m*x''=2*m*g x''=(2/3)*g  重力の 1/3 が回転に使われ、2/3 が落下に使われる

 T=m*g/3  {順当な結果!おもしろいなあ!2015/7}

{別解} ヨーヨーの端を通る鉛直線上の始点で考えて、

 トルク=m*g*R  ひもの張力は寄与しない

角運動量は、回転する分と落下する分の両方で、

 L=I*a'+m*x'*R=[(1/2)*m*R^2]*(x'/R)+m*x'*R=(3/2)*m*R*x' 

 (3/2)*m*R*x''=m*g*R

 x''=(2/3)*g  {素晴らしい!できた!2015/7}

◎ エネルギー

■ 質量の中心が落下する運動エネルギー K=(1/2)*m*x'^2

 質量の中心(ヨーヨーの中心)に対する回転エネルギー Kr
=(1/2)*I*a'^2
=(1/2)*[(1/2)*m*R^2]*(x'/R)^2
=(1/4)*m*x'^2

 落下する分の運動エネルギー

 

 位置エネルギー U=-m*g*x

 Kr+K+U
=(1/4)*m*x'^2+(1/2)*m*x'^2-m*g*x
=(3/4)*m*x'^2-m*g*x
=(3/4)*m*[(2/3)*g*t]^2-m*g*[(1/3)*g*t^2]
=(1/3)*m*g^2*t^2-(1/3)*m*g^2*t^2
=0 
時間に依らない {物理は本当にうまくできてる!矛盾しない!2015/7}

▲ Kr:K=1:2 {回転エネルギーも割と大きい!}

◇ヨーヨー-エネルギー◇

■ x''=(2/3)*g

t=0 のとき x'=0 , x=0 とすれば x'=(2/3)*g*t x=(1/3)*g*t^2

 質量の中心が落下する運動エネルギー K=(1/2)*m*x'^2

 質量の中心(ヨーヨーの中心)に対する回転エネルギー Kr
=(1/2)*I*a'^2
=(1/2)*[(1/2)*m*R^2]*(x'/R)^2
=(1/4)*m*x'^2

 K+Kr
=(1/2)*m*x'^2+(1/4)*m*x'^2
=(3/4)*m*x'^2
=(3/4)*m*[(2/3)*g*t]^2
=(1/3)*m*g^2*t^2

 位置エネルギー U=-m*g*x=-m*g*[(1/3)*g*t^2=-(1/3)*m*g^2*t^2

 Kr+K+U=0  時間に依らない {物理は本当にうまくできてる!矛盾しない!2015/7}

▲ Kr:K=1:2 {回転エネルギーも割と大きい!}

ヨーヨー 

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