物理 力学  2017/10-2012/8 Yuji.W

 ☆ ヨーヨー

ヨーヨーの運動 慣性モーメント 角運動量 トルク エネルギー _物理定数

【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
【関数】10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

◇ヨーヨー◇

◎ ヨーヨーを重力に任せ落とす。回転しながら落ちていく。

◆ ヨーヨー 密度一定の円柱とみなす 半径 R 質量 M 慣性モーメント I=M*R^2/2

ひもは鉛直方向にあるとみなす 回転角 a 落ちた距離 x=R*a

ひもがヨーヨーを引っ張る力(鉛直方向上向き) T

■【 落下の加速度 】

運動方程式 M*x''=M*g-T @

回転の方程式 】 I*a''=T*R

x で表して (I/R^2)*x''=T A

@Aより、張力 T を消去して (M+I/R^2)*x''=M*g

 x''/g=M/(M+I/R^2)

I/R^2=M/2 だから x''/g=2/3 _ゆっくり落ちていく

■【 張力 T 】

 T=(I/R^2)*x''=(M/2)*(2/3)*g=M*g/3 _ひもには、ヨーヨーの重さの 1/3 しか、力がかからない{!}

◇エネルギー.ヨーヨー◇

◆ 並進運動エネルギー Kt 回転エネルギー Kr 位置エネルギー U

時刻 0 で静止している

■【 速さ、位置 】

 x''=(2/3)*g x'=(2/3)*g*t x=(1/3)*g*t^2

■【 エネルギー 】

 Kt=(1/2)*M*x'^2=(1/2)*M*[(2/3)*g*t]^2=(2/9)*M*g^2*t^2

 Kr=(1/2)*I*a'^2
=(1/2)*(I/R^2)*x'^2
=(1/2)*(M/2)*[(2/3)*g*t]^2
=(1/9)*M*g^2*t^2

 U=-M*g*x=-M*g*[(1/3)*g*t^2]=-(1/3)*M*g^2*t^2

■【 エネルギー保存 】

 (Kt+Kr+U)/(M*g^2)=(2/9)*t^2+(1/9)*t^2-(1/3)*t^2=0 _エネルギーは保存される。落ちることによって得る位置エネルギーの分の 1/3 が回転することに使われ、残りの 2/3 が運動エネルギーになる。

{物理は本当にうまくできてる!矛盾しない!2015/7}

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