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☆ ヨーヨー ☆ |
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〇 慣性モーメント 2024.3-2012.8 Yuji.W ★ |
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◇ 2*3=6
Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x) |
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〓 剛体.慣性テンソル 〓 《 剛体.慣性テンソル24.3 》 ◇ ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 成分は同じ ▢ 慣性系 (x,y,z) 質点系剛体 以下 i=1,2,… 質量 mi 質点の位置 <ri> .. Ixx=Σ{mi*(yi^2+zi^2)} Ixy=-Σ{mi*xi*yi}
Ixz=-Σ{mi*xi*zi} 原点に対する慣性テンソル [I]=[Ixx Ixy Ixz|Ixy Iyy Iyz|Ixz Iyz Izz] .. <Ix)=<Ixx Ixy Ixz) <Iy)=<Ixy Iyy Iyz) <Iz)=<Ixz Iyz Izz) .. [I]=[<Ix)&<Iy)&<Iz)] 角速度 <w> どの質点でも同じ 質点系剛体の原点に対する角運動量 <L> 質点系剛体の原点に対する回転運動エネルギー Kr ▷ <L)=[I]*<w)=<Ix)*wx+<Iy)*wy+<Iz)*wz , <L>=<Ix>*wx+<Iy>*wy+<Iz>*wz .. <L>;t=<w>#<L> Kr=(1/2)*<w>*<L> ▷ xy平面とyz平面とxz平面に対して、質量分布が対称であるとき、(慣性主軸をとったとき) Ixy=Ixz=Iyz=0 .. <L)=<Ixx*wx Iyy*wy Izz*wz) , <L>=<Ixx*wx Iyy*wy Izz*wz> ▢ 剛体が固定軸(z軸)の周りをの回転 角速度 <w>=<zu>*wz z軸に対する質点系剛体の慣性モーメント <Iz>=<Ixz Iyz Izz> 質点系剛体の原点に対する角運動量 <L>=<Lx Ly Lz> ▷ <L)=<Iz)*wz , <L>=<Iz>*wz 一般に、x成分とy成分も持つ ▷ さらに、質量分布がxy平面に対して対称であるとき Ixz=Iyz=0 Lz=Izz*wz ▲ Izzを 「慣性」と言う。おのおのの質点の回転半径は、剛体が回転しても変化しない。したがって、慣性も変化しない。 Izz=Σ{mi*(xi^2+yi^2)}=一定 |
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〓 ヨーヨー 〓 ◇ ◎ ヨーヨーを重力に任せ落とす。回転しながら落ちていく。 ▢ ヨーヨー 密度一定の円柱とみなす 半径 R 質量 M 慣性モーメント Ic=(1/2)*M*R^2 ひもは鉛直方向にあるとみなす 回転角 a 落ちた距離 x=R*a ひもがヨーヨーを引っ張る力(鉛直方向上向き) T ▷ 運動方程式 M*(x;;t)=M*g-T ① 回転の方程式 】 Ic*(a;;t)=T*R x で表して (Ic/R^2)*(x;;t)=T ② ①②より、張力 T を消去して (M+Ic/R^2)*(x;;t)=M*g .. x;;t=g/[1+Ic/(M*R^2)] 修正重力加速度 @g=g/[1+Ic/(M*R^2)]=(2/3)*g .. x;;t=(2/3)*g ★ ▷ T=(Ic/R^2)*(x;;t)=(M/2)*(2/3)*g=M*g/3 ★ ひもには、ヨーヨーの重さの 1/3 しか、力がかからない{!} |
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〓 ヨーヨー.エネルギー 〓 ◇ ▢ 並進運動エネルギー Kt 回転エネルギー Kr 位置エネルギー U 時刻 0 で静止している ▷ x;;t=(2/3)*g x;t=(2/3)*g*t x=(1/3)*g*t^2 ▷ U=-M*g*x=-M*g*[(1/3)*g*t^2]=-(1/3)*M*g^2*t^2 ≫ U=-(1/3)*M*g^2*t^2 ★ .. Kt=(1/2)*M*(x;t)^2=(1/2)*M*[(2/3)*g*t]^2=(2/9)*M*g^2*t^2 ≫ Kt=(2/9)*M*g^2*t^2 ★
.. Kr=(1/2)*Ic*(a;t)^2 ≫ Kr=(1/9)*M*g^2*t^2 ★ ▷ U+Kt+Kr=M*g^2*t^2*(-1/3+2/9+1/9)=0 ★ ▲ 落ちることによって得る位置エネルギーの分の 1/3 が回転することに使われ、残りの 2/3 が運動エネルギーになる。{物理は本当にうまくできている!矛盾しない!2015/7} |
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