物理 力学
2015/8-2015/6 Yuji.W
☆等加速度運動☆
◎ 質量変化なし 力一定 {運動方程式を使う!}
◇ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分; 時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) e^(i*x)=expi(x) 物理定数 ★
2015/08/14
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2015/8-2015/6 Yuji.W |
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☆等加速度運動☆ |
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◎ 質量変化なし 力一定 {運動方程式を使う!} |
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◇ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積# |
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◆ 1次元 等加速度運動 加速度 g 速さ v 距離 x 時間 t t=0 で x=0 , v=0 x=x1 で v=v1 x=x2 で v=v2 x=(x1+x2)/2 で v ? ■ v=g*t x=(1/2)*g*t^2 t を消去して x=(1/2)*g*(v/g)^2=v^2/(2*g) v=root(2*g*x) x1=v1^2/(2*g) x2=v2^2/(2*g) x1+x2=(v1^2+v2^2)/(2*g) v=root[2*g*(x1+x2)/2]=root[g*(x1+x2)]=root[(v1^2+v2^2)/2] v=root[(v1^2+v2^2)/2] ★ {簡単ではないぞ!2015/8} |
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◆ 一様な重力場 重力加速度 m 質点の質量 m 重力の方向 x軸 t=0 で x''=0 , x'=0 ■ 運動方程式 m*x''=m*g x''=g x'=g*t x=(1/2)*g*t^2 t=root(2*x/g) ■ エネルギー積分より、時間を求める式を作る エネルギー (1/2)*m*x'^2=m*g*x x'=root(2*g)*root(x) ★ dx/root(x)=root(2*g)*dt 2*root(x)=root(2*g)*t t=2*root(x)/root(2*g)=root(2*x/g) |
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◆ エレベーター 質量 M それの天井からひもでぶら下げた質点 質量 m 質点はエレベーターの床から高さ S の所にあった エレベーター全体を、力 F で上方に引き上げる ■ 質量一定、力一定だから、等加速度運動をする その加速度 a エレベーター全体の運動方程式 F-(M+m)*g=(M+m)*a ⇒ a=F/(M+m)-g ★ ■ ひもに働く張力 W 質点の運動方程式 W-m*g=m*a この a は、エレベーター全体の加速度と同じ W-m*g=m*[F/(M+m)-g] W=m*F/(M+m) ★ ■ ひもが切れた後の運動 エレベーター全体の加速度 a2 エレベーター全体の運動方程式 F-M*g=M*a2 ⇒ a2=F/M-g ★ 質点の加速度 a3=g 下向き ★ ■ 質点のエレベーターに対する加速度 (F/M-g)+g=F/M 質点が、エレベーターに対して、距離 S 落ちるのにかかる時間 t (1/2)*(F/M)*t^2=S ⇒ t=root(2*S*M/F) |
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● g=9.80665_m/sec^2=9.80665_N/kg=1_kg重/kg ◆ 質量 m のかご かごに座る人 質量 M かごにひもをつけ滑車にぶら下げる ひものもう一方の端は人が持つ ひもの張力 T T≧0 ひもが反発力を生む事はないとする かごの床が人に及ぼす抗力 N N≧0 とし、かごが人を引っ張る事はないとする かごと人が一体となって、下方に等加速度運動をする 加速度 a
■ 人の運動方程式 M*a=M*g-N-T かごの運動方程式 m*a=m*g+N-T かご全体(人を含む)の運動方程式 (M+m)*a=(M+m)*g-2*T 以上の3つの式のうち2式があれば、残りの式は導ける。以下、最初の2式を使うことにする。 質量 M,m と、抗力 N がわかるとすれば、未知数は a,T の2つであり、解ける。 (M-m)*a=(M-m)*g-2*N ⇒ a=g-2*N/(M-m) ★ a>0 のとき下向き M*m*g-m*N-m*T=M*m*g+M*N-M*T ⇒ T=N*(1+m/M)/(1-m/M) ★ ■ つり合っている 加速度 a=0 ⇒ N=(m-M)*g/2 T=(m+M)*g/2 ★ M=81.72_kg m=13.62_kg N=34.05_kg重 T=47.67_kg重 ■ 自由落下 a=g ⇒ T=N=0 ひもの張力も、かごからの抗力も 0 ★ M=81.72_kg m=13.62_kg N/g=45.4_kg ※ 重力加速度 g=1_kg重/kg m/M=1/6 N/(M*g)=5/9 N/(m*g)=10/3 (M-m)*g/N=9/5-3/10=15/10=3/2 N/[(M-m)*g]=2/3 a=g-2*N/(M-m)=g-2*(2/3)*g=-g/3 ★ 上方に、重力加速度の 1/3 で持ち上がっていく T 滑車にかかる力=2*T=127.12_kg重 ★ {やっとできた! g=1_kg重/kg が、わかってなかった!2015/6} |
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◆ 台車3つ 質量 M,m1,m2 摩擦なし 台車m1,m2が、台車Mに対して、相対的に運動しない 台車Mに加える力 F ひもの張力 T 右方向への加速度 a
■ 水平方向の運動方程式2つ (M+m1+m2)*a=F m1*a=T 鉛直方向の運動方程式 m2*g=T F=g*(M+m1+m2)*m2/m1 ★ {いい問題!複雑そうだけど、基本的にひとつひとつ考えれば解ける!2015/6} |
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◎ 楔を使って、重い物を持ち上げる ◆ 直角二等辺三角形の楔 ①,② 楔①に右側に力を加え、重い物体③を持ち上げたい ②は固定されている 摩擦は働かない
①②の質量 m ③の質量 M ①に加える力(水平方向) F ①と③の間の抗力 水平方向分力 N1 鉛直方向分力 N1 ②と③の間の抗力 水平方向分力 N2 鉛直方向分力 N2 ①の水平方向の変位量 X ③の変位量 <x y> ■ 変位量の関係 x=y=X/2 {核心!} 運動方程式 楔① 水平方向 F-N1=m*X'' 式① 楔③ 水平方向 N1-N2=M*x''=M*X''/2 式② 鉛直方向 N1+N2-M*g=M*y''=M*X''/2 式③ 式 ①*2+②+③ N1,N2を消去する 2*F-M*g=(2*m+M)*X'' X''=(2*F-M*g)/(2*m+M) ★. x''=y''=X''/2=(2*F-M*g)/[2*(2*m+M)] ★. N1=F-m*X''=F-m*(2*F-M*g)/(2*m+M)=M*(F-m*g)/(2*m+M) N2 ★ m=8.0_kg M=384_kg F=592_kg重 重力加速度 g_m/sec 1_kg重=g_N X''=(2*592-384)/(16+384)=800/400=2_kg重/kg=2*g_m/sec x''=y''=2*g/2=g N1-N2=384*g N1+N2=768*g N1=1152/2=576*g_N=576_kg重 N2=192_kg重 ②と③の間の抗力の大きさ=N2*root2=192*root2~271_kg重 |
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◆ 重り(質量 m) ひもの長さ L ひもの支点から H だけ下がった水平面で重りが等速円運動をする ひもの張力 T 回転半径 r=root(L^2-H^2) その角速度 w 周期 T ■ 運動方程式 水平方向 m*r*w^2=T*r/L 鉛直方向 m*g=T*H/L 張力Tを消去して (m*r*w^2)/(m*g)=(T*r/L)/(T*H/L) w=root(g/H) ⇒ T=2Pi/w=2Pi*root(H/g) ★.高さだけに依る |
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◆ <r(t)>''=<0 0 -9.8>_m/sec <r(0)>'=<7 3 0>_m/sec <r(0)>=<7 0 4.9>_m ■
<r(t)> ◆ <r(t)>''=<0 0 -9.8>_m/sec <r(0)>'=<-7 3 0>_m/sec <r(0)>=<49 0 4.9>_m ■
<r(t)> |
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◎ 非等加速度運動 ◆ 1質点 質量 1_kg 位置 r(t)=<t t^2/2+t -(4/Pi^2)*sin(Pi*t/2)>_m ■ <r(t)>'=<1 t+1 -(2/Pi)*cos(Pi*t/2)>_m/sec <r(t)>''=<0 1 sin(Pi*t/2)>_m/sec^2 t=0 のとき r(0)=<0> <r(0)>'=<1 1 -2/Pi> <r(0)>''=<0 1 0> t=1 のとき r(1)=<1 3/2 -4/Pi^2> <r(1)>'=<1 1 0> <r(1)>''=<0 1 1> t=1 のときの曲率半径 Rc=|<r(1)>'|^2/|<r(t)>''|=(root2)^2/root2=root2 |
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★ 等加速度運動 ★ |
