物理-力学　　2015/5　　Yuji.W

◎ トラス構造　つり合い　トルク　力のモーメント

〔表記2015/06/16〕ベクトル<>　座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu>　内積*　外積#
微分;　時間微分'　積分$　10^x=Ten(x)　e^(i*x)=expi(x)　物理定数 ★

■ トラス構造 truss　柱(部材)を組み合わせて構造物を作る。三角形が基本単位になる。

次のような「お約束」がある。

・ 一般に、2次元平面上の構造物を考える。

・柱の重さを考えない。

・柱同士は、摩擦のない、ちょうつがいで繋がっていて、自由に角度を変える事ができる。(節点)

・柱は変形しない。ただし、縮めようとすれば、押し戻そうとする力が生まれ、引っ張ろうとすれば、引き戻そうとする力が生まれる。柱に対して横向きの力は生じない。柱をなじるような力も生じない。力の方向は、柱の方向と一致する。(軸力)

ひとつの柱は、その両端にある節点を、等しい力で、その柱の方向に、引っ張るか、押し戻す。

・ 構造物全体を支える力を、複数の節点に加える。(支点)

・トラス構造全体がつり合っている。水平方向のつり合い、鉛直方向のつり合い、トルクのつり合いの式が作れる。

・ それぞれの接点でつり合っている。水平方向のつり合い、鉛直方向のつり合いの式が作れる。

■ 複数の節点に力を加えたときに、それぞれの柱(部材)に、どういう引力または斥力が働くかを求めたい。

解く時のコツ

�@ 構造物全体の力のつり合いを考える。支点にかかる力を求める事ができる。

�A それぞれの節点にかかる力のつり合いを考える。水平方向、鉛直方向があるから、節点の数の2倍の式ができる。その連立方程式を作れば解けるのだが、それは面倒であるので、次のようにする。

ジグゾーパズルを解く時のように、簡単に力の大きさを求められる節点を探す。支点になっている節点が求めやすいだろう。求められたら、隣にある節点のつり合いを考える。簡単に求められる事が多い。簡単に求められなくても、2元連立方程式を作れば求められるだろう。以上を繰り返して、順々に、それぞれの節点にかかる力を求める事ができる。

�B 柱(部材)にかかる力の大きさは、トラス構造全体にかかる外力に比例するだろう。したがって、外力の大きさに対する比を求めればすむ。計算が楽になるように、外力の大きさを適当に定めて、支点にかかる力、柱にかかる力を求めて、最後に、比に直せばよい。

◆

7本の柱(部材)の長さはみな等しい。正三角形３つできている。

下向きにに外力 P を加える。構造物全体は、2つの支点 A , E で、支えられている。

P=0 のとき、柱の重さは考えていないから、どこにも力は働かない。

支点 E は、ローラーをつけるなどして、鉛直方向の抗力 N2 のみが発生するようにする。水平方向の力はない。したがって、構造物全体のつり合いを考えれば、外力 N1 も鉛直方向のみの力になる ★ {核心!}

◇ 柱(部材)�@に生じる力の大きさ �@　以下、どの柱に生じる力も同じように表示する

■ 外力 P の大きさを適当に定める。分母の有理化をするのは面倒だから、有理化しないですむように　P=4*root3　と定めることにする。答が出たら、比を求めればよい。

構造物全体を考え、支点にかかる力を求める。

N1 , N2 は鉛直方向のみであるから、鉛直方向のつり合いの式と、トルク(力のモーメント)の式より、

　4*root3=P=N1+N2　N1:N2=1:3　⇒　N1=root3 , N2=3*root3

支点 A で、

鉛直方向　�@*roo3/2=N1=root3　⇒　�@=2　斥力

水平方向　�A=�@/2=1　引力

支点 B で、

鉛直方向　�@*root3/2=�B*root3/2　⇒　�B=�@=2　引力

水平方向　�C=�@/2+�B/2=2　斥力

以下、同様に求める。結果、

　�@=2 斥力　�A=1 引力　�B=2 引力　�C=2 斥力　�D=2 斥力　�E=3 引力　�F=6 斥力

{確かめ}　支点 E で、

水平方向　�E-�F/2=3-6/2=0　　鉛直方向　N2-�F*root3/2=3*root3-6*root3/2=0

つり合っている{!}

以上の値は、P=4*root3 と勝手に定めた場合の値だから、任意の値 P に対しては、

　�@/P=�B/P=�C/P=�D/P=2/(4*root3)=root3/6　�A/P=root3/12

　�E/P=root3/4　�F/P=root3/2 ★

◆ 3本の長さの等しい柱を組み合わせて、下図のような構造物を作る。かすがい�Cを入れて倒れないようにする。かすがい�Cは、柱�Aと�@のそれぞれの中点とくっついている。

力 P を水平方向に加える。かすがいは伸ばされるので、それを引き戻そうとする力が生まれる。それを N とする。Ｎ の水平方向成分を Nx とする。

P=0 のとき、どこにも力は生まれない。力 P を加えると、かすがいに働く力 N はどうなるか?

■ 以下のように仮定する。

・柱やかすがいの重さはない。

・柱やかすがいは変形しない。ただし、縮めようとすれば、押し戻そうとする力が生まれ、引っ張ろうとすれば、引き戻そうとする力が生まれる。

・柱同士は、摩擦のない、ちょうつがいで繋がっていて、自由に角度を変える事ができる。

・それぞれの柱やかすがいで、つり合いの式が成り立つ。今の問題では、水平方向のつり合い、鉛直方向のつり合い、力のモーメントのつり合いの式が作れる。

■ 以下、水平方向に働く力のみを考える。

柱�@ 力のモーメントより　Nx=2*F

柱�A 水平方向のつり合いより　P+F=Nx

かすがい�C N=root2*Nx

�@�A�Bより　Nx=2*P　N=2*root2*P~2.818*P ★ 3倍近い力がかかる

{やっと理解できた!2015/5}

■ 仮想仕事の原理を使って求めよう。

力 P を加える事により、かすがいは伸びるように力が働き、かすがいの中には、縮もうとする力が生じる。

柱�Aが右へ 微少量 Δx だけ移動したとして、

　P が柱�Aにした仕事=P*Δx

　Nx が柱�Aにした仕事=-Nx*Δx　　力の方向と動きの方向が逆

　Nx が柱�@にした仕事=Nx*Δx/2

仮想仕事の原理より　P*Δx-Nx*Δx+Nx*Δx/2=0　Nx=2*P

N=root2*Nx　だったから　N=2*root2*P ★

◎ ファインマンの問題

◆ 柱(部材)11本を組み合わせて、次の構造物を作る。

柱の長さ　水平な柱 6m　斜めの柱 5m　節点 E に外力 W　支点 A,G

支点 G は、支える土台との間にローラーを設け、鉛直方向の抗力のみが働くとする。

■ 斜めの柱の軸力 1 とすると、その水平成分 3/5　その鉛直成分 4/5　となる。

それぞれの柱の軸力は、外力 W に比例するから、W の大きさを適当に定め、最後に、それとの比を求めればよい。ここでは　W=12　とする。(分数にならないようにしている)

構造物全体のつり合いを考える

外力 W と、支点 G にかかる外力は、鉛直方向だけだから、支点 A にかかる外力も鉛直方向のみになる。{核心!}

鉛直方向　N1+N2=W=12　　トルク(力のモーメント)　N1:N2=1:2

　N1=4 , N2=8

次に、7個の節点でのつり合いを考えるのだが、最も簡単な所から順に考えて、

節点 G で　鉛直方向　�J*4/5=N2=8　⇒　�J=10　斥力

　水平方向　�I=�J*3/5=10*3/5=6　引力

節点 F で　鉛直方向　�H*4/5=�J*4/5　⇒　�H=�J=10　引力

　水平方向　�G=�H*3/5+�J*3/5=10*3/5+10*3/5=12　斥力

節点 E で　鉛直方向　�F*4/5=W-�H*4/5=12-10*4/5=4　⇒　�F=5　引力

　水平方向　�E=�I+�H*3/5-�F*3/5=6+10*3/5-5*3/5=6+6-3=9　引力

以下、同様に考えていって、

　�D=5 斥力　�C=6 斥力　�B=4 引力　�A=3 引力　�@=5 斥力

　{確かめ}　節点 A で　水平方向　�A-�@*3/5=3-5*3/5=0
　　鉛直方向　N1-�@*4/5=4-5*4/5=0

-----　まとめ　-----

�@=5 斥力　�A=3 引力　�B=4 引力　�C=6 斥力　�D=5 斥力　�E=9 引力

�F=5 引力　�G=12 斥力　�H=10 引力　�I=6 引力　�J=10 斥力

水平方向下部の柱�A�E�Iは、伸ばされるように外力が働くから、引力が生じている。
水平方向上部の柱�C�Gは、縮むように外力が働くから、斥力が生じている。
�D�Iは、外力を支えないといけないから、引力が生じる。
�D�Jは、縮むように外力が働くから、斥力が生じている。

以上の値は、W=12 としたときの値だから、その比は次のようになる。

　�@/W=5/12　�A/W=1/4　�B/W=1/3　�C/W=1/2　�D/W=5/12　�E/W=3/4

　�F/W=5/12　�G/W=1　�H/W=5/6　�I/W=1/2　�J/W=5/12

柱�Gには、外力 W と同じ大きさの力が働く{!}

{解けた!最初はちんぷんかんぷんだったけど、トラスの原理を理解したら、うまく解けていった!2015/5}

◎ ファインマンの問題

◆ 柱(部材)11本を組み合わせて、次の構造物を作る。　全重量 W=3*root3/2

すべての柱の長さは等しいとする　※ 図の数字は間違っている

支点A,Gには、鉛直方向のみに抗力が働くとする

例えば、柱�Eに働く力を �Eと表す

水平方向:x軸　鉛直方向:y軸

■ N2=root3　�J=2 斥力　�H=2 引力　�G=2 斥力

　�G/W=2/(3*root3/2)=4*root3/9

★　トラス構造のつり合い　★