物理 力学

2017/5-2011 Yuji.W

トルク(力のモーメント)

トルク 力のモーメント 偶力 torque _ 物理定数

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 縦ベクトル <A) 内積 * 外積 #
 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 y;x 
時間微分 x' 積分 ${f(x)*dx}

{復習}ベクトル.外積

『外積 #』 2016/1

2つの任意のベクトル <A>,<B> ベクトルの間の角 a

■ |<A>#<B>|=A*B*sin(a)

■ <A>#<B> の方向 ※ 次の4つの言い方はどれも同じ事

@ <A>と<B>が作る平面に垂直 A <A>に垂直、<B>にも垂直
B <A>に垂直な平面と、<B>に垂直な平面との交線
C <B>に垂直な面上にあって、<A>のその面への射影ベクトルに垂直

■ <A>#<B>=<Ay*Bz-Az*By Az*Bx-Ax*Bz Ax*By-Ay*Bx>

■ (<r>#<A> のz成分)=(z軸からの距離)*(<A>の方位角成分)

■ 円柱座標(r.,a,z)で
 
<r>#<A>=<zu>*r.*Aa+<au>*(z*Ar.-r.*Az)-<r.u>*z*Aa

◇トルク◇

■ 力 <F>=<Fx Fy Fz> 力が作用する位置 <r>=<x y z> ※ ベクトルを勝手に平行移動してはダメ。作用点が大事{!}

 z軸の周りのトルク Nz=(z軸からの距離)*(力の方位角方向成分) z軸の周りに回転させようとする作用の大きさ

同様にx軸、y軸も定義して <N>=<Nx Ny Nz>

■ 外積の性質より、

 Nz=(z軸からの距離)*(力の方位角方向成分)=(<r>#<F>のz軸方向成分)

同様にx軸、y軸の周りのトルクも考えて、

 <N>=<r>#<F> .<N>⊥<r> & <N>⊥<F> {盲点!この方向の関係を理解しないと混乱する!歳差運動が理解できなくなる!2016/1}

■ 円柱座標(r.,a,z)で、
<r>=<r.u>*r.+<zu>*z <F>=<r.u>*Fr.+<au>*Fa+<zu>*Fz

 <N>=<r>#<F>=-<r.u>*z*Fa+<bu>*(z*Fr.-r.*Fz)+<zu>*r.*Fa

▲ <F> ∝ <au> のとき <N>=-<r.u>*z*Fa+<zu>*r.*Fa 半径方向成分が残る{!}

{繰り返し復習しているが、そのたびに理解が深まると思う!それまでの理解が浅かったという事…!2015/7}

『トルク(力のモーメント)』 2016/1

■ 力 <F> 作用点 <r> トルク <N>=<r>#<F> <N>⊥<r> & <N>⊥<F>

■ Nz=(z軸からの距離)*(力の方位角成分)

■ 円柱座標(r.,a,z)で、
<r>=<r.u>*r.+<zu>*z <F>=<r.u>*Fr.+<au>*Fa+<zu>*Fz

 <N>=-<r.u>*z*Fa+<bu>*(z*Fr.-r.*Fz)+<zu>*r.*Fa

▲ <r>,<F> xy平面上 ⇒ <N> ∝ <zu>

★ <r>=<5 0 0> <F>=<30 40 0> <N>=<0 0 200>

★ <r>=<0 5 0> <F>=<30 40 0> <N>=<0 0 -150>

★ <4 3 0> <F>=<30 40 0>  <N>=<0 0 70>

◇偶力によるトルク◇

偶力 方向が平行で逆向き、大きさが等しい2つの力

◆ 偶力 <F>,-<F> 作用点 <r>,-<r> 偶力による原点に対するトルク <N>

■ <N>=<r>#<F>+(-<r2>)#(-<F>)=2*<r>#<F>

◇トルクの基準点◇

◎ 基準点を変えたときのトルクの関係

◆ 力 <F> 作用点 <r>

原点に対するトルク <N> 任意の位置 <h> に対するトルク <Nh>

■ <N>=<r>#<F>

 <Nh>=(<r>-<h>)#<F>=<r>#<F>-<h>#<F>=<N>-<h>#<F>

 <N>=<Nh>+<h>#<F> _力<F>の作用点は、あくまで<r>であるが、<h>の所に作用しているとして計算しなさいという意味


◎ 2つの力の力によるトルク、基準点を変えたときのトルクの関係

◆ 力 <F1>,<F2> 作用点 <r1>,<r2>

原点に対する全トルク <N> 任意の位置 <h> に対する全トルク <Nh>

■ <N>=<r1>#<F1>+<r2>#<F2>

 <Nh>
=(<r1>-<h>)#<F1>+(<r2>-<h>)#<F2>
=(<r1>#<F1>+<r2>#<F2>)-<h>#(<F1>+<F2>)
=<N>-<h>#(<F1>+<F2>)

 <N>=<Nh>+<h>#(<F1>+<F2>) _2つの力があたかも<h>の所に作用しているとして計算しなさいという意味

■ <F1>+<F2>=0 のとき <N>=<Nh> _トルクの基準点をどこにしても同じ結果になる。

{つり合いを考えるときに役立つ式である。明記してある資料は見つからない。高校のときに使っていた!2016/1}

■ <N>=<Nh> & <h>≠0 のとき <F1>+<F2>=0 _

◇2質点のトルク◇

◆ 2質点 m1,m2 位置 <r1>,<r2>

質点Aから質点@への内力 <f21> 質点@から質点Aへの内力 <f12>
それぞれの質点に働く外力 <F1(外力)>,<F2(外力)> 全トルク <N>

内力に関して、次の3つの性質が成り立つとする。

@ それぞれの質点に働く力の作用点は、質点がある位置
A 作用・反作用の法則より <f21>+<f12>=0
B 内力の方向は、2質点を結ぶ直線上にある ※ Bは、ニュートンは明記していない

■ 内力の性質より、

 <r1>#<f21>+<r2>#<f12>
=<r1>#<f21>-<r2>#<f21>
=(<r1>-<r2>)#<f21>
=0

 <r1>#<f21>+<r2>#<f12>=0 _内力によるトルクは相殺される

■ <r1>#(<F1(外力)>+<f21>)+<r2>#(<F2(外力)>+<f12>)
=(<r1>#<F1(外力)>+<r2>#(<F2(外力)>)
+(<r1>#<f21>+<r2>#<f12>)
=<r1>#<F1(外力)>+<r2>#(<F2(外力)>

 <r1>#(<F1(外力)>+<f21>)+<r2>#(<F2(外力)>+<f12>)
=(<r1>#<F1(外力)>+<r2>#(<F2(外力)>) 
_内力によるトルクは相殺される

◇一様な重力場◇

◎ 一様な重力場 他の外力なし 質量の中心 重心

◆ <F1>=-<zu>*m1*g <F2>=-<zu>*m2*g <F3>=-<zu>*m3*g

■ <F>=-<zu>*(m1+m2+m3)*g=-<zu>*M*g

 <N>
=<r1>#<F1>+<r2>#<F2>+…
=-(m1*<r1>+m2*<r2>+…)#<zu>*g
=-<G>#<zu>*M*g
=<G>#<F>

 <NG>=<N>-<G>#<F>=0 .質量の中心に対するトルクが0

質量の中心でつり合う ⇒ 質量の中心を「重心(重さのつり合う点)」と考えることができる

◇トルクと回転エネルギー◇

◎ 運動エネルギー=力*移動した距離 回転エネルギーの場合はどうなるか

◆ トルク <N>=<Nx Ny Nz> 力の作用点の方位角(z軸の周りの回転角) a

力がz軸の周りにした仕事 Wrz

■ dWrz=(力の方位角成分)*(z軸からの距離)*da=Nz*da

『トルクによる回転エネルギー』 2016/1

◆ トルク <N>=<Nx Ny Nz> 力の作用点の方位角(z軸の周りの回転角) a

力がz軸の周りにした仕事 Wrz

■ dWrz=Nz*da

◇一定の力によるトルクと位置エネルギー◇

◎ 一定の力を受け、円周上を動く

◆ 力 <F>=<zu>*F0=一定 作用点は円周上[xz平面上にある 半径 r0 中心:原点]

作用点の位置[z軸からの角度 a <r>=<sin(a) 0 cos(a)>*r0 ]

トルク <N> 回転の位置エネルギー U(a)

■ <N>
=<r>#<F>
=(<sin(a) 0 cos(a)>*r0)#(<zu>*F0)
=-<yu>*F0*r0*sin(a) 
.

■ U(a)-U(0)
=F0*r0*${sin(a)*da}[a:0~a]
=F0*r0*[-cos(a)][a:0~a]
=F0*r0*[1-cos(a)]

ここで U(0)=0 とすれば U(a)=F0*r0*[1-cos(a)] .

別に U(Pi/2)=0 とすれば U(Pi/2)-U(0)=F0*r0*[1-cos(Pi/2)]=F0*r0

 U(0)=-F0*r0

 U(a)-(-F0*r0)=F0*r0*[1-cos(a)]

 U(a)=-F0*r0*cos(a) .

ここで <r>*<F>=(<sin(a) 0 cos(a)>*r0)*(<zu>*F0)=F0*r0*cos(a) だから、

 U(a)=-<r>*<F> .

『トルクによる回転の位置エネルギー』 2016/3

◆ 力 <F>=<zu>*F0=一定 作用点は円周上[xz平面上にある 半径 r0 中心:原点] その位置[z軸からの角度 a <r>=<sin(a) 0 cos(a)>*r0 ]

トルク <N> 回転の位置エネルギー U(a)

■ <N>=<r>#<F>=-<yu>*F0*r0*sin(a)

■ U(0)=0 とすれば U(a)=F0*r0*[1-cos(a)]

U(Pi/2)=0 とすれば U(a)=-F0*r0*cos(a)=-<r>*<F>

{ちゃんと説明してある資料は見つからない!2016/3}

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