物理 力学 2018/6-2011 Yuji.W

トルク(力のモーメント)  ☆

◎ トルク 力のモーメント 偶力 回転の位置エネルギー torque 外積の理解がポイント _ 00

◇ ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $
 
ネイピア数 e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)

デカルト座標単位ベクトル <x>,<y>,<z> 球座標単位ベクトル <ru>,<a>,<b>

〓 トルク 〓

◆ 1質点 質量 m 質点の位置(力が作用する位置) <r> 質点に働く力 <F> ※ ベクトルを勝手に平行移動してはダメ。作用点が大事{!}

運動量 <p>=m*<r>' 運動方程式 <p>'=<F>

原点に対する角運動量 <L>=<r>#<p>

■【 トルクの定義 】

原点に対するトルク <N>=<r>#<F>

※ 角運動量もトルクも点に対する量である。軸に対する量であると誤解しやすい。

■【 角運動量とトルク 】

運動方程式 <p>'=<F> ※ これは「原理」だから、証明できない。

 <L>'
=(<r>#<p>)'
=<r>'#<p>+<r>#<p>'
=(<p>/m)#<p>+<r>#<p>'

ここで 任意のベクトル <A> で <A>#<A>=0 だから、

 第1項=0

第2項は運動方程式を使って <r>#<p>'=<r>#<F>=<N>

⇒ <L>'=<N> _角運動量の時間変化に対する方程式

■ <r>の終点が、<F>の始点になっているから、<r>と<F>を含む平面は必ず存在する。その平面を xy平面 とすれば、

 <r>=<x y 0> <F>=<Fx Fy 0> とする事ができる。

 <L>=<r>#<p>=<z>*(x*py-y*px) <N>=<r>#<F>=<z>*(x*Fy-y*Fx) _

※ 観測時刻にだけ言える事である。一般に、<r>と<F>を含む平面は変化する。定まった平面ではない。しかし、時間に依らず、<r>も<F>もxy平面上にあるという条件があれば、<L>も<N>もz成分しか持たない。

■ |<r>#<F>|
=(<F>の始点の原点からの距離)*(<F>の方位角成分)
=(原点から<F>への垂線の長さ)*(<F>の大きさ)

原点から<F>への垂線の長さを「力の腕の長さ」と言う

 (力の腕の長さ)=|<r>#(<F>)|/F _

また (<F>の方位角成分)=|<r>#(<F>)|/r _

〓 {計算例}トルク 〓

<r>=<8 6 0> <F>=<30 40 0>

 r=10 F=50

 <r>#<F>=<z>*(8*40-6*30)=<z>*140 |<r>#<F>|=140

 (力の腕の長さ)=|<r>#(<F>)|/F=140/50=2.8

 (<F>の方位角成分)=|<r>#(<F>)|/r=140/10=14

〓 偶力によるトルク 〓

偶力 方向が平行で逆向き、大きさが等しい2つの力

◆ 偶力 <F>,-<F> 作用点 <r>,-<r> 偶力による原点に対するトルク <N>

■ <N>=<r>#<F>+(-<r2>)#(-<F>)=2*<r>#<F>

〓 トルクの基準点 〓

◎ 基準点を変えたときのトルクの関係

◆ 1質点の運動 位置(力の作用点) <r> 力 <F>

原点に対するトルク <N>=<r>#<F> 位置 <h> に対するトルク <Nh>

■ <Nh>=(<r>-<h>)#<F>=<r>#<F>-<h>#<F>=<N>-<h>#<F>

 <N>=<Nh>+<h>#<F> _力<F>の作用点は、あくまで<r>であるが、<h>の所に作用しているとして計算する


◎ 2つの力の力によるトルク、基準点を変えたときのトルクの関係

◆ 力 <F1>,<F2> 作用点 <r1>,<r2>

原点に対する全トルク <N> 任意の位置 <h> に対する全トルク <Nh>

■ <N>=<r1>#<F1>+<r2>#<F2>

 <Nh>
=(<r1>-<h>)#<F1>+(<r2>-<h>)#<F2>
=(<r1>#<F1>+<r2>#<F2>)-<h>#(<F1>+<F2>)
=<N>-<h>#(<F1>+<F2>)

 <N>=<Nh>+<h>#(<F1>+<F2>) _2つの力があたかも<h>の所に作用しているとして計算しなさいという意味

■ <F1>+<F2>=0 のとき <N>=<Nh> _トルクの基準点をどこにしても同じ結果になる。

{つり合いを考えるときに役立つ式である。明記してある資料は見つからない。高校のときに使っていた!2016/1}

■ <N>=<Nh> & <h>≠0 のとき <F1>+<F2>=0 _

〓 2質点のトルク 〓

◆ 2質点 m1,m2 位置 <r1>,<r2>

質点Aから質点@への内力 <f21> 質点@から質点Aへの内力 <f12>
それぞれの質点に働く外力 <F1(外力)>,<F2(外力)> 全トルク <N>

内力に関して、次の3つの性質が成り立つとする。

@ それぞれの質点に働く力の作用点は、質点がある位置
A 作用・反作用の法則より <f21>+<f12>=0
B 内力の方向は、2質点を結ぶ直線上にある ※ Bは、ニュートンは明記していない

■ 内力の性質より、

 <r1>#<f21>+<r2>#<f12>
=<r1>#<f21>-<r2>#<f21>
=(<r1>-<r2>)#<f21>
=0

 <r1>#<f21>+<r2>#<f12>=0 _内力によるトルクは相殺される

■ <r1>#(<F1(外力)>+<f21>)+<r2>#(<F2(外力)>+<f12>)
=(<r1>#<F1(外力)>+<r2>#(<F2(外力)>)
+(<r1>#<f21>+<r2>#<f12>)
=<r1>#<F1(外力)>+<r2>#(<F2(外力)>

 <r1>#(<F1(外力)>+<f21>)+<r2>#(<F2(外力)>+<f12>)
=(<r1>#<F1(外力)>+<r2>#(<F2(外力)>) 
_内力によるトルクは相殺される

〓 一様な重力場 〓

◎ 一様な重力場 他の外力なし 質量の中心 重心

◆ <F1>=-<z>*m1*g <F2>=-<z>*m2*g <F3>=-<z>*m3*g

■ <F>=-<z>*(m1+m2+m3)*g=-<z>*M*g

 <N>
=<r1>#<F1>+<r2>#<F2>+…
=-(m1*<r1>+m2*<r2>+…)#<z>*g
=-<G>#<z>*M*g
=<G>#<F>

 <NG>=<N>-<G>#<F>=0 .質量の中心に対するトルクが0

質量の中心でつり合う ⇒ 質量の中心を「重心(重さのつり合う点)」と考えることができる

〓 回転の位置エネルギー 〓

◆ xy平面にある円[半径 R 中心:原点]

円周上を動く質点 質点の位置 <r>=R*[<x>*cos(a)+<y>*sin(a)]

質点に働く力 <F>=<x>*F0=一定 回転の位置エネルギー U(a)

U(a)=-${Fa(a)*R*da}[a:0~a]=-R*${Fa(a)*da}[a:0~a]

〓 トルクと回転エネルギー 〓

◎ 運動エネルギー=力*移動した距離 回転エネルギーの場合はどうなるか

◆ トルク <N>=<Nx Ny Nz> 力の作用点の方位角(z軸の周りの回転角) a

力がz軸の周りにした仕事 Wrz

■ dWrz=(力の方位角成分)*(z軸からの距離)*da=Nz*da

『トルクによる回転エネルギー』 2016/1

◆ トルク <N>=<Nx Ny Nz> 力の作用点の方位角(z軸の周りの回転角) a

力がz軸の周りにした仕事 Wrz

■ dWrz=Nz*da

〓 トルクと回転エネルギー 〓

◎ 運動エネルギー=力*移動した距離 回転エネルギーの場合はどうなるか

◆ トルク <N>=<Nx Ny Nz> 力の作用点の方位角(z軸の周りの回転角) a

力がz軸の周りにした仕事 Wrz

■ dWrz=(力の方位角成分)*(z軸からの距離)*da=Nz*da

『トルクによる回転エネルギー』 2016/1

◆ トルク <N>=<Nx Ny Nz> 力の作用点の方位角(z軸の周りの回転角) a

力がz軸の周りにした仕事 Wrz

■ dWrz=Nz*da

〓 一定の力によるトルクと位置エネルギー 〓

◎ 一定の力を受け、円周上を動く

◆ 力 <F>=<z>*F0=一定 作用点は円周上[xz平面上にある 半径 r0 中心:原点]

作用点の位置[z軸からの角度 a <r>=<sin(a) 0 cos(a)>*r0 ]

トルク <N> 回転の位置エネルギー U(a)

■ <N>
=<r>#<F>
=(<sin(a) 0 cos(a)>*r0)#(<z>*F0)
=-<yu>*F0*r0*sin(a) 
.

■ U(a)-U(0)
=F0*r0*${sin(a)*da}[a:0~a]
=F0*r0*[-cos(a)][a:0~a]
=F0*r0*[1-cos(a)]

ここで U(0)=0 とすれば U(a)=F0*r0*[1-cos(a)] .

別に U(Pi/2)=0 とすれば U(Pi/2)-U(0)=F0*r0*[1-cos(Pi/2)]=F0*r0

 U(0)=-F0*r0

 U(a)-(-F0*r0)=F0*r0*[1-cos(a)]

 U(a)=-F0*r0*cos(a) .

ここで <r>*<F>=(<sin(a) 0 cos(a)>*r0)*(<z>*F0)=F0*r0*cos(a) だから、

 U(a)=-<r>*<F> .

『トルクによる回転の位置エネルギー』 2016/3

◆ 力 <F>=<z>*F0=一定 作用点は円周上[xz平面上にある 半径 r0 中心:原点] その位置[z軸からの角度 a <r>=<sin(a) 0 cos(a)>*r0 ]

トルク <N> 回転の位置エネルギー U(a)

■ <N>=<r>#<F>=-<yu>*F0*r0*sin(a)

■ U(0)=0 とすれば U(a)=F0*r0*[1-cos(a)]

U(Pi/2)=0 とすれば U(a)=-F0*r0*cos(a)=-<r>*<F>

{ちゃんと説明してある資料は見つからない!2016/3}

お勉強しよう 2018-2011 Yuji Watanabe ☆

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