物理 力学

2017/5-2015/7 Yuji.W

質点系の運動

質点系(複数の質点) 運動量 角運動量 トルク(力のモーメント) 質量の中心(重心) 質量の中心系(重心系) _

物理定数

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 #
 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 y;x 時間微分 x' 積分 ${f(x)*dx}

{復習}2質点の運動

『2質点の運動』

■ (<p1>+<p2>)'=<F1(外力)>+<F2(外力)>
 (<L1>+<L2>)'=<N1(外力)>+<N2(外力)> 内力は相殺される

■ 質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M <VG>=<G>'

 M*<VG>=<p1>+<p2> {忘れがちな性質!}

 M*<VG>'=<F1(外力)>+<F2(外力)>

 M*(<G>#<VG>)'=<G>#(<F1(外力)>+<F2(外力)>)

■ 質量の中心系(重心系)=[質量の中心を原点とし、慣性系に対して回転していない系] <r1G>=<r1>-<G> <r2G>=<r2>-<G> m1*<r1G>=-m2*<r2G>

 <p1G>+<p2G>=0 {質量の中心系を使う最大の利点!}

 <L1>+<L2>=<L1G>+<L2G>+M*<G>#<VG>

 K1+K2=K1G+K2G+(1/2)*M*VG^2

 <p1G>'=<F1(外力)>*m2/M-<F2(外力)>)*m1/M+<f21>
 <p2G>'=<F2(外力)>*m1/M-<F1(外力)>)*m2/M+<f12>

■ 一様な重力場 <VG>'=<g> <p1G>'=<f21> 慣性系として扱える

■ 相対座標 <r12>=<r1>-<r2>=<r1G>-<r2G>
相対速度 <v12>=<v1>-<v2>=<v1G>-<v2G>

質量の和 M=m1+m2 換算質量 m.=m1*m2/M

 m.*<v12>'=<F1(外力)>*m2/M-<F2(外力)>*m1/M+<f21>

 <r1G>=<r12>*m2/M <r2G>=-<r12>*m1/M

■ 孤立系(外力なし)で、

 <p1>+<p2>=一定 <L1>+<L2>=一定 <VG>=一定 <G>#<VG>=一定

 <f21>=<p1G>'=m.*<v12>'

◇質点系の運動◇

◎ 2質点の運動から拡張して

『質点系(複数の質点)の運動』

◆ それぞれの量の和 <p>,<L>,<pG>,<LG>,K,KG,<F(外力)>,<N(外力)>

質量の中心 <G> <VG>=<G>'

■ <p>'=<F(外力)> <L>'=<N(外力)>

■ M*<VG>=<p>
 M*<VG>'=<F(外力)> M*(<G>#<G>')'=<G>#<F(外力)>

■ <pG>=0 <L>=<LG>+M*<G>#<VG> K=KG+(1/2)*M*VG^2

{すっきりしてきたなあ!2017/5}

◇質量の中心◇

◎ 3質点

■【 質量の中心 】

質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)/M

■【 一様な重力場 】

一様な重力場の加速度 <g> 3質点に働く合力のつり合いの位置 <B>

点 <B> に対するトルクの和が 0 になればよいから、

 m1*<g>#(<r1>-<B>)+m2*<g>#(<r2>-<B>)+m3*<g>#(<r3>-<B>)=0

 <B>=<g>#(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)/M

 <B>=<g>#M*<G>/M=<g>#<G>

 

 

◇質量の中心系での、個々の質点の運動◇

◎ この問題に触れている資料は少ない

◆ 3質点 M=m1+m2+m3

質点が受ける力 外力 <F1>,<F2>,<F3> 全外力 <F>=<F1>+<F2>+<F3>

質点@からAへの内力 <f12> 質点Aから@への内力 <f21>
 <f12>+<f21>=0 同様に他の内力も考える

質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)/M <G>'=<VG>

質量の中心系での個々の質点の運動量 <p1G>,<p2G>,<p3G>

 <p1G>=<p1>-m1*<VG>

■ <p1G>'
=<p1>'-m1*<VG>'
=(<F1>+<f21>+<f31>)-m1*<F>/M
=<F1>*(m2+m3)/M-(<F2>+<F3>)*m1/M+(<f21>+<f31>)

■ 同質量の場合 m1=m2=m3=m

 <p1G>'=[2*<F1>-<F2>-<F3>)]/3+(<f21>+<f31>)〔〕{へー!2014/7}

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