☆お勉強しようUz☆ 物理.力学

2016/9-2011 Yuji.W

回転系

◎ 系が回転している メリーゴーラウンド 地球 遠心力 コリオリ力

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

◇回転系の加速度◇

◎ 慣性系に対して、一定の速度で回転している系

『傾いた座標系』 2015/11

◆ 2つの平面上の座標系 xy系、XY系 原点は同じ

XY系は、xy系に対して、角度 a_rad だけ傾いている

■ <Xu>=<xu>*cos(a)+<yu>*sin(a) <Yu>=-<xu>*sin(a)+<yu>*cos(a)

 <xu>=<Xu>*cos(a)-<Yu>*sin(a) <yu>=<Xu>*sin(a)+<Yu>*cos(a)

■ ある点 xy系で (x,y) XY系で (X,Y)

 x=X*cos(a)-Y*sin(a) & y=X*sin(a)+Y*cos(a)

 X=x*cos(a)+y*sin(a) & Y=-x*sin(a)+y*cos(a)

■ 回転行列 [R(a)]=[cos(a) -sin(a) | sin(a) cos(a)]

 <x,y)=[R(a)]*<X,Y) <X,Y)=[R(-a)]*<x,y)

◆ 慣性系xyz系

回転系XYZ系 原点は同じ z軸とZ軸も同じ 回転系の角速度 w.=一定 <w.>=<zu>*w.

座標単位ベクトル 慣性系xyz系 <xu>,<yu>,<zu> 回転系XYZ系 <Xu>,<Yu>,<Zu>

質点の位置,速度,加速度 慣性系xyz系 <r>,<v>,<ac> 回転系XYZ系 <R>,<V>,<Ac>

■【速度、加速度の定義】

慣性系xyz系で、

 <r>=<xu>*x+<yu>*y+<z>*z  <r.>=<xu>*x+<yu>*y

 <v>=<xu>*x'+<yu>*y'+<zu>*z'=<r>'

 <ac>=<xu>*x''+<yu>*y''+<zu>*z''=<r>''

回転系XYZ系で、

 <r>=<Xu>*X+<Yu>*Y+<Zu>*Z  <r.>=<Xu>*X+<Yu>*Y

 <V>=<Xu>*X'+<Yu>*Y'+<Zu>*Z'≠<r>'

 <Ac>=<Xu>*X''+<Yu>*Y''+<Zu>*Z''≠<r>''  {この定義が核心!2015/9}

※ 2つの系の原点は同じだから、位置ベクトルの方向と大きさは同じ。(成分は違う)

■【 2つの系の座標単位ベクトルの関係 】

t=0 で <Xu>=<xu>,<Yu>=<yu> のとき、

 <Zu>=<zu>

 <Xu>=<xu>*cos(w.t)+<yu>*sin(w.t) <Yu>=-<xu>*sin(w.t)+<yu>*cos(w.t)

 <xu>=<Xu>*cos(w.t)-<Yu>*sin(w.t) <yu>=<Xu>*sin(w.t)+<Yu>*cos(w.t)

■【回転系の座標単位ベクトルの時間微分】

 <Xu>'=[-<xu>*sin(w.t)+<yu>*cos(w.t)]=<Yu>*w.

 <Yu>'=[-<xu>*cos(w.t)-<yu>*sin(w.t)]*w.=-<Xu>*w.

 <Zu>'=<zu>'=0

■【<r>'】

 <r>=<Xu>*X+<Yu>*Y+<Zu>*Z

時間微分して、

 (<Xu>*X)'=<Xu>'*X+<Xu>*X'=<Yu>*w.*X+<Xu>*X'

 (<Yu>*Y)'=<Yu>'*Y+<Yu>*Y'=-<Xu>*w.*Y+<Yu>*Y'

 (<Zu>*Z)'=<Zu>*Z'

 <r>'
=(<Xu>*X+<Yu>*Y+<Zu>*Z)'
=(<Yu>*w.*X+<Xu>*X')+(-<Xu>*w.*Y+<Yu>*Y')+<Zu>*Z'
=<Xu>*(X'-w.*Y)+<Yu>*(w.*X+Y')+<Zu>*Z'

■【<r>'',<Ac>】

 [<Xu>*(X'-w.*Y)]'
=<Xu>'*(X'-w.*Y)+<Xu>*(X'-w.*Y)'
=<Yu>*(w.*X'-w.^2*Y)+<Xu>*(X''-w.*Y')

 [<Yu>*(w.*X+Y')]'
=<Yu>'*(w.*X+Y')+<Yu>*(w.*X+Y')'
=-<Xu>*(w.^2*X+w.*Y')+<Yu>*(w.*X'+Y'')

 (<Zu>*Z')'=<Zu>*Z''

上記の3つの式から、

 <r>''
=[<Yu>*(w.*X'-w.^2*Y)+<Xu>*(X''-w.*Y')]
+[-<Xu>*(w.^2*X+w.*Y')+<Yu>*(w.*X'+Y'')]
+<Zu>*Z''
=(<Xu>*X''+<Yu>*Y''+<Zu>*Z'')
+(-<Xu>*Y'+<Yu>*X')*2*w.
-(<Xu>*X+<Yu>*Y)*w.^2
=<Ac>+(-<Xu>*Y'+<Yu>*X')*2*w.-<r.>*w.^2

ここで <V>#<w.>
=(<Xu>*X'+<Yu>*Y'+<Zu>*Z')#(<zu>*w.)
=(-<Yu>*X'+<Xu>*Y')*w.
=-(-<Xu>*Y'+<Yu>*X')*w. だから、

 <r>''=<Ac>-<V>#<w.>*2-<r.>*w.^2

 <Ac>=<r>''+<V>#<w.>*2+<r.>*w.^2 

※ 2つの系の座標の関係を考察するだけで、この式が得られた

☆回転系の運動方程式☆

◎ 回転系は、慣性系ではないから、普通の運動方程式は成り立たない。仮の力を想定する事で、運動方程式の形で表す事ができる。

◆ 1質点[質量 m] 力 <F> 慣性系xyz系 質点の位置 <r>

回転系XYZ系 慣性系と原点は同じ <w.>=<zu>*w.=一定

加速度 慣性系で <ac> 回転系で <Ac>

※ 2つの系で <r>,<F>は同じ大きさ、同じ方向

■ <ac>=<xu>*x''+<yu>*y''+<zu>*z''=<r>''
 <Ac>=<Xu>*X''+<Yu>*Y''+<Zu>*Z''≠<r>''

前項の考察より <Ac>=<r>''+<V>#<w.>*2+<r.>*w.^2

運動方程式 慣性系で m*<r>''=<F>

 m*<Ac>=<F>+<V>#<w.>*2*m+<r.>*m*w.^2  〔<r.>=<Xu>*X+<Yu>*Y〕

右辺第1項=真の力

右辺第2項[方向:<V>に対して右方向直角] コリオリ力 

右辺第3項[大きさ=m*r.*w.^2 方向:動径方向] 遠心力 

※ コリオリ力も遠心力も、質量に比例する力。「仮の力」の条件を満たす。

※ 座標単位ベクトルの変換を考えるだけで、コリオリ力や遠心力が出てくる{!}

「回転系の運動方程式」 2015/9

◆ 1質点[質量 m] 力 <F> 回転系XYZ系[慣性系と原点は同じ <w.>=<zu>*w.]

質点の位置 <r>=<Xu>*X+<Yu>*Y+<Zu>*Z <r.>=<Xu>*X+<Yu>*Y

 <V>=<Xu>*X'+<Yu>*Y'+<Zu>*Z'≠<r>'

 <Ac>=<Xu>*X''+<Yu>*Y''+<Zu>*Z''≠<r>''

■ 運動方程式 m*<Ac>=<F>+<V>#<w.>*2*m+<r.>*m*w.^2

右辺第1項=真の力

右辺第2項[方向:<V>に対して右方向直角] コリオリ力 

右辺第3項[大きさ=m*r.*w.^2 方向:動径方向] 遠心力 

◇例-回転系での運動◇

◆ 慣性系で、等速円運動をする質点 質量 m 半径 r 角速度 w

回転系:質点と共に回転する系 その角速度 w

■ 慣性系で 中心力 F=m*r*w^2

■ 回転系では、質点は静止している。力の和は、0 であると見なされる。

真の力は、中心力 F=m*r*w^2 のみ。

回転系で質点は静止しているから、仮の力コリオリ力は働かない。

仮の力遠心力は働き、その大きさは m*r*w^2

回転系で、真の力と遠心力がつり合い、静止する事になる。


◆ 慣性系で静止 質量 m 原点からの距離 r

回転系:原点を中心に、反時計回りに角速度 w で回転する系

■ 慣性系で 真の力=0

■ 回転系で、質点は、時計回りに角速度 w で、等速円運動 回転半径 r

コリオリ力 方向:動く方向の右垂直:中心(原点)に向かう

 大きさ=2*m*w*(r*w)=2*m*r*w^2

遠心力 方向:半径方向 大きさ=m*r*w^2

2力の合計 方向:中心(原点)に向かう 大きさ=2*m*r*w^2-m*r*w^2=m*r*w^2

中心力 m*r*w^2 を受け、半径 r 、角速度 w で等速円運動をする


◆ 慣性系で静止 質量 m 原点からの距離 r

回転系:原点を中心に、時計回りに角速度 w で回転する系

■ 慣性系で 真の力=0

■ 回転系で、質点は、反時計回りに角速度 w で、等速円運動 回転半径 r

コリオリ力は、動く方向の左垂直方向 中心(原点)に向かう 後は前問と同じ

☆地表面での重力.遠心力.コリオリ力の大きさ☆

◎ 地球赤道上で

◆ 地球の半径 Re=6378.137_km 自転角速度 w.=7.27*Ten(-5)_rad/sec

単位質量当たりの重力 g=9.8_N/kg

単位質量当たりの遠心力 Fc/m=Re*w.^2

単位質量当たりのコリオリ力の最大値 Fco/m=2*V*w.

■ Fc/m=[6.4*Ten(6)]*[7.27*Ten(-5)]^2~0.034_N/kg

V=10_m/sec で Fco/m=2*10*7.27*Ten(-5)~0.0015_N/sec

◇回転系で円運動-逆走◇

◎ メリーゴーラウンド上で逆走し、円運動をする。

◆ メリーゴーラウンド 反時計回り それと共に回転する系 回転系 w.

走る人  質量 m 時計回りに円運動 半径 r 角速度 -w 体を傾けることによって向心力を得る

■ 回転系で、水平方向には次の3つの力が働く

遠心力 Fce=m*r*w.^2 外向き
コリオリ力 Fco=2*m*V*w.=2*m*(r*w)*w.=2*m*r*w*w. 内向き
体を傾けて得る力 F 内向き

以上の3つから、向心力(円運動力) m*r*w^2 内向き を得る必要がある

 m*r*w^2=F+2*m*r*w*w.-m*r*w.^2

 F=m*r*(w^2-2*w*w.+w.^2)=m*r*(w-w.)^2

慣性系で考えれば、人が円運動をする角速度 (w.-w)

水平方向に働く力は、F だけであって F=向心力(円運動力)=m*r*(w-w.)^2

----- まとめ -----

 Fce=m*r*w.^2 Fco=2*m*r*w*w. F=m*r*(w-w.)^2

★IF{ 人が回転系で静止 w=0 }

 Fce=m*r*w.^2 Fco=0 F=m*r*w.^2

遠心力が働く 体を内側に倒し、遠心力に対抗する力を作り出す必要がある

★IF{ w=w./2 } Fce=Fco 体を傾ける角度は小さくなる

★IF{ w=w. } Fco=2*Fce F=0

普通に真っすぐ立って走ればよい 慣性系で静止している(移動しない)

★IF{ w>w. } F=m*r*(w-w.)^2

 コリオリ力は増すのだが、それより、円運動をするために必要な向心力が大きくなり、また体を傾けて走る必要がある

■ 3つの力の関係

横軸:w/w. 縦軸:力の大きさ/(-遠心力) 円運動力=向心力

・遠心力は、人の動きの速さに依らず、一定

・コリオリ力 ∝ w/w.

・向心力 ∝ (w/w.)^2

・w=w./2 で 遠心力とコリオリ力がつり合う

・w=w. で 遠心力+コリオリ力 だけで、向心力に等しくなる。体を倒す必要がなくなる

・not[w=w.]で 遠心力+コリオリ力 だけでは、向心力に足りない。内側に体を倒し、必要な中心力を作る必要がある。

◇コリオリ力と回転系の角運動量◇

■ 質量mの質点が、半径R1、角速度W1、運動エネルギーT1で回転している。それを、回転軸に向かって引っ張り、半径R2にする(R1>R2)、角速度W2、運動エネルギーT2とすると、W1<W2

力のモーメント N=0 だから、角運動量Lは保存される。
 L=m*R1^2*W1=m*R2^2*W2

回転系で考えると、中心に向かって、物を動かすと、回転の向きと同じ接線方向にコリオリ力が働く。逆向きに力を加えつつ、中心に向かって引っ張らなければならない。このときに、力のモーメントが加わり、角運動量が増加する(慣性系では保存される!)。

力のモーメント N=L'=(m**W*r^2)'=2*m*W*r' コリオリ力

---☆---

◇回転系で等速直線運動◇

◆ 質点(質量 m) a=w*t

慣性系 x=t*cos(a) y=t*sin(a)

回転系 角速度 w X=t Y=0

■ 慣性系で、

 x'=cos(a)-w*t*sin(a) x''=-2*w*sin(a)-w^2*t*cos(a)
 y'=sin(a)+w*t*cos(a) y''=2*w*cos(a)-w^2*t*sin(a)

 Fx=-2*m*w*sin(a)-m*w^2*t*cos(a) Fy=2*m*w*cos(a)-m*w^2*t*sin(a)

■ 回転系で、

 X'=1 Y=0

 FX
=Fx*cos(a)+Fy*sin(a)
=(-2*m*w*sin(a)-m*w^2*t*cos(a))*cos(a)
+(2*m*w*cos(a)-m*w^2*t*sin(a))*sin(a)
=-m*w^2*t

 FY
=-Fx*sin(a)+Fy*cos(a)
=-(-2*m*w*sin(a)-m*w^2*t*cos(a))*sin(a)
+(2*m*w*cos(a)-m*w^2*t*sin(a))*cos(a)
=2*m*w

 <F>=-<Xu>*m*w^2*t+<Yu>*2*m*w

 <Fco>=-<Yu>*2*m*w

 <Fce>=<Xu>*m*w^2*t

  回転系  

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