♡　回転系の速度、加速度　♡.　◇ 時間微分 ;t

◆ 慣性系に対して回転している系を 回転系 と呼ぶことにする。次のような回転系を考える。一般に、回転系は慣性系ではない。普通の運動方程式は成り立たない。

慣性系と回転系の原点は同じ　z軸は同じ　xy平面も同一　回転速度は一定
慣性系 <xu>,<yu>,<zu>　回転系 <xRu>,<yRu>,<zu>

任意のベクトル <A>
慣性系で　<A>=<xu>*Ax+<yu>*Ay+<zu>*Az=<Ax Ay Az>
回転系で　<A>=<xRu>*ARx+<yRu>*ARy+<zu>*Az=<ARx ARy Az _R>

回転系の、慣性系に対する角速度 <w.>=<zu>*w.=一定　<w._R>=0
<慣性系の、回転系に対する角速度>=-<zu>*w.

位置ベクトル <r>　速度 <v>=<r>;t　加速度 <ac>=<v>;t=<r>;;t

■【 座標軸の時間変化 】

<xu>;t=<yu>;t=<zu>;t=0　<xRu>;t≠0　<yRu>;t≠0

時刻 t において、例えば、次のように書ける。

　<xRu>=<cos(w.*t) sin(w.t) 0>　<yRu>=<-sin(w.*t) cos(w.t) 0>

時間で微分すると、

　<xRu>;t=<-sin(w.*t) cos(w.t) 0>*w.=<yRu>*w.

　<yRu>;t=<-cos(w.*t) -sin(w.t) 0>*w.=-<xRu>*w.
さらに　<xRu>;;t=-<xRu>*w.^2　<yRu>;;t=<yRu>*w.^2

》<xRu>;t=<yRu>*w.　<yRu>;t=-<xRu>*w.
　<xRu>;;t=-<xRu>*w.^2　<yRu>;;t=-<yRu>*w.^2 ★_

{別解}　<w.> と、外積 # を使って、
　<xRu>;t=<w.>#<xRu>=<zu>#<xRu>*w.=<yRu>*w.
　<yRu>;t=<w.>#<yRu>=<zu>#<yRu>*w.=-<xRu>*w.

■【 位置ベクトル 】

慣性系で　<r>=<x y z>=<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z

回転系で　<r>=<xR yR z _R>=<xRu>*xR+<yRu>*yR+<zu>*z

一般に　x≠xR , y≠yR　だが、2つの系の原点は同じで、位置ベクトルの大きさと方向は同じであるから、同じベクトル <r> で表す事ができる。 ★_

■【 速度 】

慣性系で　<v>
=<r>;t=(<xu>*x+<yu>*y+<zu>*z);t=(<xu>*x);t+(<yu>*y);t+(<zu>*z);t

ここで　(<xu>*x);t=(<xu>;t)*t+<xu>*(x;t)=<xu>*(x;t)

また　(<yu>*y);t=<yu>*(y;t)　&　(<zu>*z);t=<zu>*(z;t)

　<v>=<xu>*(x;t)+<yu>*(y;t)+<zu>*(z;t)=<x;t　y;t　z;t> ★_

{こういう意味だったんだね!19.4}

回転系で　<v>
=<r>;t
=(<xRu>*xR+<yRu>*yR+<zu>*z);t
=(<xRu>*xR);t+(<yRu>*yR);t+(<zu>*z);t

ここで　(<xRu>*xR);t
=(<xRu>;t)*xR+<xRu>*(xR;t)
=<yRu>*xR*w.+<xRu>*(xR;t)

また　(<yRu>*yR);t=-<xRu>*yR*w.+<yRu>*(yR;t)
　(<zu>*z);t=<zu>*(z;t)

　<v>
=<r>;t
=[<xRu>*(xR;t)+<yRu>*(yR;t)+<zu>*(z;t)]+(-<xRu>*yR+<yRu>*xR)*w.
=<xR;t　yR;t　z;t _R>+<-yR　xR　0 _R>*w.

ここで　<xR;t　yR;t　z;t _R>=<v_R>　と表せば、

　<v>=<v_R>+<-yR　xR　0 _R>*w. ★_

★ <v_R>=0　&　yR=0　のとき　<v>=<yRu>*xR*w.

■【 加速度 】

慣性系で　<ac>=<v>;t=<x;;t　y;;t　z;;t> ★_

回転系で　<ac>
=<v>;t
=[<xRu>*(xR;t)+<yRu>*(yR;t)+<zu>*(z;t)];t
+[(-<xRu>*yR+<yRu>*xR);t]*w.

�@ [<xRu>*(xR;t)];t=<yRu>*(xR;t)*w.+<xRu>*(xR;;t)
�A [<yRu>*(yR;t)];t=-<xRu>*(yR;t)*w.+<yRu>*(yR;;t)
�B [<zu>*(z;t)];t=<zu>*(z;;t)

�C (<xRu>*yR);t=<yRu>*yR*w.+<xRu>*(yR;t)
�D (<yRu>*xR);t=-<xRu>*xR*w.+<yRu>*(xR;t)

　<ac>
=(�@+�A+�B)+(-�C+�D)*w.
=<xR;;t　yR;;t　z;;t _R>+2*<-yR;t　xR;t　0 _R>*w.-<xR yR 0 _R>*w.^2

ここで　<xR;;t　yR;;t　z;;t _R>=<ac_R>　と表せば、

　<ac>=<ac_R>+2*<-yR;t　xR;t　0 _R>*w.-<xR yR 0 _R>*w.^2 ★_

★ yR=0 , z=0　&　xR;;=0　のとき

　<ac>=<yRu>*2*(xR;t)*w.-<xRu>*xR*w.^2

----- まとめ -----

■ <xRu>;t=<yRu>*w.　<yRu>;t=-<xRu>*w.
　<xRu>;;t=-<xRu>*w.^2　<yRu>;;t=<yRu>*w.^2

■ <r>=<x y z>=<xR yR z _R>

■ <v>=<r>;t=<x;t　y;t　z;t>

<v_R>=<xR;t　yR;t　z;t _R>　として　<v>=<v_R>+<-yR　xR　0 _R>*w.

■ <ac>=<v>;t=<x;;t　y;;t　z;;t>

<ac_R>=<xR;;t　yR;;t　z;;t _R>　として、

　<ac>=<ac_R>+2*<-yR;t　xR;t　0 _R>*w.-<xR yR 0 _R>*w.^2

♡　角速度を使って　♡.　

◆ 回転系の、慣性系に対する角速度 <w.>=<zu>*w.=一定

■ ベクトルの外積 # を使って、

　<w.>#<xRu>=<zu>#<xRu>*w.=<yRu>*w.
　<w.>#<yRu>=<zu>#<yRu>*w.=-<xRu>*w.　

　<xRu>;t=<w.>#<xRu>　<yRu>;t=<w.>#<yRu>

■ <w.>#<r>=<zu>#<xR yR z _R>*w.=<-yR　xR　0 _R>*w.

　<v>=<v_R>+<w.>#<r> ★_

■ <w.>#<v_R>
=<zu>#<xR;t　yR;t　z;t _R>*w.
=<zu>#<-yR;t　xR;t　0 _R>*w.

また　<w.>#(<w.>#<r>)
=<zu>#(<w.>#<r>)*w.
=<zu>#<-yR　xR　0 _R>*w.^2
=-<xR　yR　0 _R>*w.^2

　<ac>=<ac_R>+2*<w.>#<v_R>+<w.>#(<w.>#<r>) ★_

♡　例-回転系での運動　♡.　

◆ 慣性系で、等速円運動をする質点　質量 m　半径 r　角速度 w

回転系:質点と共に回転する系　その角速度 w

■ 慣性系で　中心力 F=m*r*w^2

■ 回転系では、質点は静止している。力の和は、0 であると見なされる。

真の力は、中心力 F=m*r*w^2 のみ。

回転系で質点は静止しているから、仮の力コリオリ力は働かない。

仮の力遠心力は働き、その大きさは　m*r*w^2

回転系で、真の力と遠心力がつり合い、静止する事になる。

◆ 慣性系で静止　質量 m　原点からの距離 r

回転系:原点を中心に、反時計回りに角速度 w で回転する系

■ 慣性系で　真の力=0

■ 回転系で、質点は、時計回りに角速度 w で、等速円運動　回転半径 r

コリオリ力　方向:動く方向の右垂直:中心(原点)に向かう

　大きさ=2*m*w*(r*w)=2*m*r*w^2

遠心力　方向:半径方向　大きさ=m*r*w^2

2力の合計　方向:中心(原点)に向かう　大きさ=2*m*r*w^2-m*r*w^2=m*r*w^2

中心力 m*r*w^2 を受け、半径 r 、角速度 w で等速円運動をする

◆ 慣性系で静止　質量 m　原点からの距離 r

回転系:原点を中心に、時計回りに角速度 w で回転する系

■ 慣性系で　真の力=0

■ 回転系で、質点は、反時計回りに角速度 w で、等速円運動　回転半径 r

コリオリ力は、動く方向の左垂直方向　中心(原点)に向かう　後は前問と同じ

♡　地表面での重力.遠心力.コリオリ力の大きさ　♡.　

◎ 地球赤道上で

◆ 地球の半径 Re=6378.137_km　自転角速度 w.=7.27*Ten(-5)_rad/sec

単位質量当たりの重力 g=9.8_N/kg

単位質量当たりの遠心力 Fc/m=Re*w.^2

単位質量当たりのコリオリ力の最大値 Fco/m=2*V*w.

■ Fc/m=[6.4*Ten(6)]*[7.27*Ten(-5)]^2~0.034_N/kg

V=10_m/sec で　Fco/m=2*10*7.27*Ten(-5)~0.0015_N/sec

♡　回転系で円運動-逆走　♡.　

◎ メリーゴーラウンド上で逆走し、円運動をする。

◆ メリーゴーラウンド 反時計回り　それと共に回転する系 回転系 w.

走る人　 質量 m　時計回りに円運動　半径 r　角速度 -w　体を傾けることによって向心力を得る

■ 回転系で、水平方向には次の3つの力が働く

遠心力 Fce=m*r*w.^2　外向き
コリオリ力 Fco=2*m*V*w.=2*m*(r*w)*w.=2*m*r*w*w.　内向き
体を傾けて得る力 F　内向き

以上の3つから、向心力(円運動力)　m*r*w^2　内向き　を得る必要がある

　m*r*w^2=F+2*m*r*w*w.-m*r*w.^2

　F=m*r*(w^2-2*w*w.+w.^2)=m*r*(w-w.)^2

慣性系で考えれば、人が円運動をする角速度 (w.-w)

水平方向に働く力は、F だけであって　F=向心力(円運動力)=m*r*(w-w.)^2

-----　まとめ　-----

　Fce=m*r*w.^2　Fco=2*m*r*w*w.　F=m*r*(w-w.)^2

★IF{ 人が回転系で静止　w=0 }

　Fce=m*r*w.^2　Fco=0　F=m*r*w.^2

遠心力が働く　体を内側に倒し、遠心力に対抗する力を作り出す必要がある

★IF{ w=w./2 }　Fce=Fco　体を傾ける角度は小さくなる

★IF{ w=w. }　Fco=2*Fce　F=0

普通に真っすぐ立って走ればよい　慣性系で静止している(移動しない)

★IF{ w>w. }　F=m*r*(w-w.)^2

　コリオリ力は増すのだが、それより、円運動をするために必要な向心力が大きくなり、また体を傾けて走る必要がある

■ 3つの力の関係

横軸:w/w.　縦軸:力の大きさ/(-遠心力)　円運動力=向心力

・遠心力は、人の動きの速さに依らず、一定

・コリオリ力 ∝ w/w.

・向心力 ∝ (w/w.)^2

・w=w./2 で　遠心力とコリオリ力がつり合う

・w=w. で　遠心力+コリオリ力 だけで、向心力に等しくなる。体を倒す必要がなくなる

・not[w=w.]で　遠心力+コリオリ力 だけでは、向心力に足りない。内側に体を倒し、必要な中心力を作る必要がある。

♡　コリオリ力と回転系の角運動量　♡.　

■ 質量mの質点が、半径R1、角速度W1、運動エネルギーT1で回転している。それを、回転軸に向かって引っ張り、半径R2にする(R1>R2)、角速度W2、運動エネルギーT2とすると、W1<W2

力のモーメント N=0 だから、角運動量Lは保存される。
　L=m*R1^2*W1=m*R2^2*W2

回転系で考えると、中心に向かって、物を動かすと、回転の向きと同じ接線方向にコリオリ力が働く。逆向きに力を加えつつ、中心に向かって引っ張らなければならない。このときに、力のモーメントが加わり、角運動量が増加する(慣性系では保存される！)。

力のモーメント N=L;t=(m**W*r^2);t=2*m*W*r;t　コリオリ力

---☆---

♡　回転系で等速直線運動　♡.　

◆ 質点(質量 m)　a=w*t

慣性系　x=t*cos(a)　y=t*sin(a)

回転系　角速度 w　\x=t　\y=0

■ 慣性系で、

　x;t=cos(a)-w*t*sin(a)　x;;t=-2*w*sin(a)-w^2*t*cos(a)
　y;t=sin(a)+w*t*cos(a)　y;;t=2*w*cos(a)-w^2*t*sin(a)

　Fx=-2*m*w*sin(a)-m*w^2*t*cos(a)　Fy=2*m*w*cos(a)-m*w^2*t*sin(a)

■ 回転系で、

　\x;t=1　\y=0

　F\x
=Fx*cos(a)+Fy*sin(a)
=(-2*m*w*sin(a)-m*w^2*t*cos(a))*cos(a)
+(2*m*w*cos(a)-m*w^2*t*sin(a))*sin(a)
=-m*w^2*t

　F\y
=-Fx*sin(a)+Fy*cos(a)
=-(-2*m*w*sin(a)-m*w^2*t*cos(a))*sin(a)
+(2*m*w*cos(a)-m*w^2*t*sin(a))*cos(a)
=2*m*w

　<F>=-<xRu>*m*w^2*t+<yRu>*2*m*w

　<Fco>=-<yRu>*2*m*w

　<Fce>=<xRu>*m*w^2*t