◎ 地球の赤道上の地表面での運動 地球の自転の効果を考える |
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◇ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積# |
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◆ 地球の赤道上の地表面で振り子を振る 地球の自転の影響を考える ■ 遠心力は、鉛直方向上向きに働く。振り子の質量を少しだけ軽くする効果を生む。 コリオリ力は、南北方向(地球の自転軸方向)と、速度の方向の両方に垂直な方向に働く。 振り子の振幅が小さい場合、振り子は水平面での運動とみなせる。すると、コリオリ力は鉛直方向のみに働く。振り子の軌道面を変える方向には働かない。赤道上の振り子は、地球の自転によって、その軌道面を変えるという事は起きない。 ★ |
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◎ 赤道上の上空から物を自由落下させる。 ● 地球自転角速度=7.27*Ten(-5)_rad/sec ■ 地球の自転の効果を考える。地表面に静止している人が観測すれば、回転系での運動になるから、真の力の重力の他に、仮の力の遠心力とコリオリ力を考える必要がある。 遠心力は、赤道上では、鉛直方向上向きに働く。物体の質量を少しだけ軽くする効果を生む。自由落下運動は、質量に依らない運動だから、その効果は考える必要がない。 物体は、ほぼ真下に落ちるとすれば、コリオリ力は、その落ちる方向と、地球の自転軸に垂直な方向に働く。すなわち、その観測点の東向きに働く。物体は、真下ではなく、少しだけ東側にずれる。落下させる。ほぼ真下に落ちるとする。コリオリ力の影響を受け、東にわずかずれる。 重力、遠心力、コリオリ力のすべてが、質量に比例する力であるから、運動は質量に依らない。 ◆ 赤道上 鉛直方向下向き z 地表 z=0 東 x軸 東にずれる量 X 2秒間の運動を考える ■ 速さの平均値を使って求める 2秒後の速さ=9.8*2=19.6_m/sec 速さの平均=9.8_m/sec 2秒で落ちる距離=(1/2)*9.8*2^2=19.6_m 単位質量当たりのコリオリ力の目安=2*9.8*[7.27*Ten(-5)]~1.4*Ten(-3)_N/kg コリオリ力によりずれる距離=(1/2)*[1.4*Ten(-3)]*2^2=2.8*Ten(-3)_m=2.8_mm ≫ 20mほど落ちて、3mmずれる ★ {別解} 真面目に積分を使う 速さ=g*t 加速度=単位質量当たりのコリオリ力=2*(g*t)*w. ずれの速さ=g*w.*t^2 ずれの距離=g*w.*t^3/3=9.8*[7.27*Ten(-5)]*2^3/3~1.9*Ten(-3)_m=1.9*_mm ≫ 20mほど落ちて、2mmずれる ★ |
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◎ 地球の自転を考えると、高い所ほど、東に向かう速さが大きいから、物は、東側にずれて落ちる。 ◆ 地球の半径 Re 地表面からの高さ h 地球の自転角速度 w. ■ 高さ h の地点の動く速さ=(Re+h)*w. 地表面の動く速さ=Re*w. その差=(Re+h)*w.-Re*w.=h*w. 2秒間、20mで ずれる距離=2*h*w.=2*20*[7.27*Ten(-5)]~2.9*Ten(-3)_m=2.9_mm ≫ 2秒間、20mで、3mmずれる ★ |
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◆ <F>=m*<r>'' ■
<r>' <r>'' 左辺=<F>/m m*<Ac>=<F> ここで、 2*m*<V>#<w.> <Xu>*X+<Zu>*(Z+A)=<r.> 回転軸からの距離 m*<Ac>=<F>+2*m*<V>#<w.>+<r.>*m*w.^2〔★〕赤道上 第2項 コリオリ力 ZX平面上にある <V>の、ZX平面への射影に対して右 第3項 遠心力 {きれいにまとまった!2013/10} ★ 赤道上での自由落下 X'<<1 のとき、 コリオリ力は赤道面上で、落下の方向に対して右向き、東向き ★ 単振り子 振れの幅が小さく、XY平面上を動くと見なせば、コリオリ力は<Zu>方向に働く。振り子の振動面になんの影響も与えない。赤道上のフーコーの振り子は、その振動面は変化しない。〔★〕
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◎ 回転する球の表面上の、小さな運動を考えよう。地球の地表面を想定する。 ◆ 地球 半径 A 角速度 w. 緯度(xy平面と作る角) e [+]慣性系(x,y,z) 地球の中心 原点 自転軸 z軸 赤道面 xy平面 位置 <r> [○]回転系3(X,Y,Z) 緯度 e の1点 原点 地表面で東 X軸 北 Y軸 地表面に対する鉛直線 Z軸 位置 <R> 地表面の小さな動きに限定する Z=0 |X|<<A |Y|<<A ■
[○]回転系で <R>=<Xu>*X+<Yu>*Y <V>=<Xu>*X'+<Yu>*Y' ※ 慣性系でないから <R>'=<V>,<V>'=<Ac>にはならない <r>=<R>+<Zu>*A=<Xu>*X+<Yu>*Y+<Zu>*A <r.u>=<Zu>*Ce-<Yu>*Se 回転軸から外に向かう単位ベクトル <zu>=<Yu>*Ce+<Zu>*Se ■ [○]回転系の座標単位ベクトルの時間微分を考えよう。 赤道上 e=0 <Xu>'=-<Zu>*w. <Yu>'=0 <Zu>'=<Xu>*w. 北極 e=Pi/2 <Xu>'=<Yu>*w. <Yu>'=-<Xu>*w. <Zu>'=0 緯度 e の地点で、 <Xu>'=-<r.u>*w.=(<Yu>*Se-<Zu>*Ce)*w. {実際に球を手にとって考えるべし!2014/6} |
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● <r.u>=<Zu>*Ce-<Yu>*Se <r.u>' ■
<r>' 第1項の時間微分 第2項の時間微分 第3項の時間微分 3つ足して、 <r>'' -2*(<r.u>*X'+<Xu>*Y'*Se)*w.-[<r.u>*(A*Ce-Y*Se)+<Xu>*X]*w.^2 左辺=<F>/m また <V>#<w.> |X|<<A |Y|<<A を考えて 右辺第3項=-<r.u>*A*Ce*w.^2 まとめて、 m*<Ac>=<F>+2*m*<V>#<w.>+<r.u>*A*Ce*w.^2〔★〕 {やったあ!まとまった!再挑戦2014/6}
▲ |<V>#<w.>|=|<V>のxy平面への射影|*w. |
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★ 回転系.赤道上 ★ |