物理 力学

2015/9-2013/10 Yuji.W

回転系.赤道上

◎ 地球の赤道上の地表面での運動 地球の自転の効果を考える

◇ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分; 
時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) e^(i*x)=expi(x) 物理定数  2015/08/14

☆回転系の運動方程式☆

「回転系の運動方程式」 2015/9

◆ 1質点[質量 m] 力 <F> 回転系XYZ系[慣性系と原点は同じ <w.>=<zu>*w.]

質点の位置 <r>=<Xu>*X+<Yu>*Y+<Zu>*Z <r.>=<Xu>*X+<Yu>*Y

 <V>=<Xu>*X'+<Yu>*Y'+<Zu>*Z'≠<r>'

 <Ac>=<Xu>*X''+<Yu>*Y''+<Zu>*Z''≠<r>''

■ 運動方程式 m*<Ac>=<F>+<V>#<w.>*2*m+<r.>*m*w.^2

右辺第1項=真の力

右辺第2項[方向:<V>に対して右方向直角] コリオリ力 

右辺第3項[大きさ=m*r.*w.^2 方向:動径方向] 遠心力 

☆フーコーの振り子.赤道上☆

◆ 地球の赤道上の地表面で振り子を振る 地球の自転の影響を考える

■ 遠心力は、鉛直方向上向きに働く。振り子の質量を少しだけ軽くする効果を生む。

コリオリ力は、南北方向(地球の自転軸方向)と、速度の方向の両方に垂直な方向に働く。

振り子の振幅が小さい場合、振り子は水平面での運動とみなせる。すると、コリオリ力は鉛直方向のみに働く。振り子の軌道面を変える方向には働かない。赤道上の振り子は、地球の自転によって、その軌道面を変えるという事は起きない。 

◇赤道上から自由落下◇

◎ 赤道上の上空から物を自由落下させる。

● 地球自転角速度=7.27*Ten(-5)_rad/sec

■ 地球の自転の効果を考える。地表面に静止している人が観測すれば、回転系での運動になるから、真の力の重力の他に、仮の力の遠心力とコリオリ力を考える必要がある。

遠心力は、赤道上では、鉛直方向上向きに働く。物体の質量を少しだけ軽くする効果を生む。自由落下運動は、質量に依らない運動だから、その効果は考える必要がない。

物体は、ほぼ真下に落ちるとすれば、コリオリ力は、その落ちる方向と、地球の自転軸に垂直な方向に働く。すなわち、その観測点の東向きに働く。物体は、真下ではなく、少しだけ東側にずれる。落下させる。ほぼ真下に落ちるとする。コリオリ力の影響を受け、東にわずかずれる。

重力、遠心力、コリオリ力のすべてが、質量に比例する力であるから、運動は質量に依らない。

◆ 赤道上 鉛直方向下向き z 地表 z=0 東 x軸 東にずれる量 X 2秒間の運動を考える

速さの平均値を使って求める

 2秒後の速さ=9.8*2=19.6_m/sec 速さの平均=9.8_m/sec

 2秒で落ちる距離=(1/2)*9.8*2^2=19.6_m

 単位質量当たりのコリオリ力の目安=2*9.8*[7.27*Ten(-5)]~1.4*Ten(-3)_N/kg

 コリオリ力によりずれる距離=(1/2)*[1.4*Ten(-3)]*2^2=2.8*Ten(-3)_m=2.8_mm

≫ 20mほど落ちて、3mmずれる 

{別解} 真面目に積分を使う

 速さ=g*t

 加速度=単位質量当たりのコリオリ力=2*(g*t)*w.

 ずれの速さ=g*w.*t^2

 ずれの距離=g*w.*t^3/3=9.8*[7.27*Ten(-5)]*2^3/3~1.9*Ten(-3)_m=1.9*_mm

≫ 20mほど落ちて、2mmずれる 

◇{別解}赤道上から自由落下◇

◎ 地球の自転を考えると、高い所ほど、東に向かう速さが大きいから、物は、東側にずれて落ちる。

◆ 地球の半径 Re 地表面からの高さ h 地球の自転角速度 w.

■ 高さ h の地点の動く速さ=(Re+h)*w.

 地表面の動く速さ=Re*w.

 その差=(Re+h)*w.-Re*w.=h*w.

2秒間、20mで ずれる距離=2*h*w.=2*20*[7.27*Ten(-5)]~2.9*Ten(-3)_m=2.9_mm

≫ 2秒間、20mで、3mmずれる 

◇回転系2の運動方程式◇

◆ <F>=m*<r>''

■ <r>'
=[<Xu>*X+<Yu>*Y+<Zu>*(Z+A)]'
=(<Xu>*X'+<Yu>*Y'+<Zu>*Z')+w.*[-<Zu>*X+<Xu>*(Z+A)]

 <r>''
=(<Xu>*X''+<Yu>*Y''+<Zu>*Z'')
+2*w.*(-<Zu>*X'+<Xu>*Z')-w.^2*[<Xu>*X+<Zu>*(Z+A)]

左辺=<F>/m

 m*<Ac>=<F>
+2*m*w.*(-<Xu>*Z'+<Zu>*X')+m*w.^2*[<Xu>*X+<Zu>*(Z+A)]

ここで、

 2*m*<V>#<w.>
=2*m*w.*(<Xu>*X'+<Yu>*Y'+<Zu>*Z')#<Yu>
=2*m*w.*(-<Xu>*Z'+<Zu>*X')

 <Xu>*X+<Zu>*(Z+A)=<r.> 回転軸からの距離

 m*<Ac>=<F>+2*m*<V>#<w.>+<r.>*m*w.^2〔〕赤道上

第2項 コリオリ力 ZX平面上にある <V>の、ZX平面への射影に対して右

第3項 遠心力

{きれいにまとまった!2013/10}

★ 赤道上での自由落下 X'<<1 のとき、

コリオリ力は赤道面上で、落下の方向に対して右向き、東向き

★ 単振り子

振れの幅が小さく、XY平面上を動くと見なせば、コリオリ力は<Zu>方向に働く。振り子の振動面になんの影響も与えない。赤道上のフーコーの振り子は、その振動面は変化しない。〔

「回転系2-地球の赤道上」

◆ 地球 半径 A

[○]回転系2(X,Y,Z) 赤道上の1点 原点 地表面 XY平面 東 X軸 北 Y軸
鉛直線 Z軸 角速度 <w.>=<Yu>*w.

 位置 <R>=<Xu>*X+<Yu>*Y+<Zu>*Z
 速度 <V>=<Xu>*X'+<Yu>*Y'+<Zu>*Z'
 加速度 <Ac>=<Xu>*X''+<Yu>*Y''+<Zu>*Z''

 自転軸からの距離 <r.>=<Xu>*X+<Zu>*(Z+A)

※ [○]回転系は慣性系でないから、<R>'=<V>,<V>'=<Ac>にならない{!}

■ m*<Ac>=<F>+2*m*<V>#<w.>+<r.>*m*w.^2〔〕赤道上

☆座標-[○]回転系3☆

◎ 回転する球の表面上の、小さな運動を考えよう。地球の地表面を想定する。

◆ 地球 半径 A 角速度 w. 緯度(xy平面と作る角) e

[+]慣性系(x,y,z) 地球の中心 原点 自転軸 z軸 赤道面 xy平面 位置 <r>

[○]回転系3(X,Y,Z) 緯度 e の1点 原点

地表面で東 X軸 北 Y軸 地表面に対する鉛直線 Z軸 位置 <R>

地表面の小さな動きに限定する Z=0 |X|<<A |Y|<<A

■ [○]回転系で <R>=<Xu>*X+<Yu>*Y <V>=<Xu>*X'+<Yu>*Y'
 加速度 <Ac>=<Xu>*X''+<Yu>*Y''〔

※ 慣性系でないから <R>'=<V>,<V>'=<Ac>にはならない

 <r>=<R>+<Zu>*A=<Xu>*X+<Yu>*Y+<Zu>*A

 <r.u>=<Zu>*Ce-<Yu>*Se 回転軸から外に向かう単位ベクトル
 <r.>=(<Zu>*Ce-<Yu>*Se)*A*Ce

 <zu>=<Yu>*Ce+<Zu>*Se

■ [○]回転系の座標単位ベクトルの時間微分を考えよう。

赤道上 e=0

 <Xu>'=-<Zu>*w. <Yu>'=0 <Zu>'=<Xu>*w.

北極 e=Pi/2

 <Xu>'=<Yu>*w. <Yu>'=-<Xu>*w. <Zu>'=0

緯度 e の地点で、

 <Xu>'=-<r.u>*w.=(<Yu>*Se-<Zu>*Ce)*w.
 <Yu>'=-<Xu>*w.*Se <Zu>'=<Xu>*w.*Ce〔

{実際に球を手にとって考えるべし!2014/6}

◇[○]回転系3の運動方程式◇

● <r.u>=<Zu>*Ce-<Yu>*Se

 <r.u>'
=<Zu>'*Ce-<Yu>'*Se
=<Xu>*w.*Ce^2+<Xu>*w.*Se^2
=<Xu>*w.

■ <r>'
=(<Xu>*X+<Yu>*Y+<Zu>*A)'
=(<Xu>*X'+<Yu>*Y')
+w.*[(<Yu>*Se-<Zu>*Ce)*X-<Xu>*Se*Y+<Xu>*Ce*A]
=(<Xu>*X'+<Yu>*Y')
+w.*[<Xu>*(A*Ce-Y*Se)+X*(<Yu>*Se-<Zu>*Ce)]
=(<Xu>*X'+<Yu>*Y')+<Xu>*(A*Ce-Y*Se)*w.-<r.u>*X*w.

 第1項の時間微分
=(<Xu>*X'+<Yu>*Y')'
=(<Xu>*X''+<Yu>*Y'')-(<r.u>*X'+<Xu>*Y'*Se)*w.

 第2項の時間微分
=-<Xu>*Y'*Se*w.-<r.u>*(A*Ce-Y*Se)*w.^2

 第3項の時間微分
=-(<r.u>*X*w.)'
=-<r.u>*X'*w.-<Xu>*X*w.^2

3つ足して、

 <r>''
=(<Xu>*X''+<Yu>*Y'')-(<r.u>*X'+<Xu>*Y'*Se)*w.
-<Xu>*Y'*Se*w.-<r.u>*(A*Ce-Y*Se)*w.^2
-<r.u>*X'*w.-<Xu>*X*w.^2
=(<Xu>*X''+<Yu>*Y'')

-2*(<r.u>*X'+<Xu>*Y'*Se)*w.-[<r.u>*(A*Ce-Y*Se)+<Xu>*X]*w.^2

 左辺=<F>/m

また <V>#<w.>
=(<Xu>*X'+<Yu>*Y')#<zu>*w.
=(<Xu>*X'+<Yu>*Y')#(<Yu>*Ce+<Zu>*Se)*w.
=<Zu>*X'*Ce-<Yu>*X'*Se+<Xu>*Y'*Se
=(<Zu>*Ce-<Yu>*Se)*X'+<Xu>*Y'*Se
=<r.u>*X'+<Xu>*Y'*Se

|X|<<A |Y|<<A を考えて 右辺第3項=-<r.u>*A*Ce*w.^2

まとめて、

 m*<Ac>=<F>+2*m*<V>#<w.>+<r.u>*A*Ce*w.^2〔

{やったあ!まとまった!再挑戦2014/6}

「回転する球の表面上の運動」

◆ 球 半径 A 角速度 <w.>=<zu>*w.

[+]慣性系(x,y,z) 球の中心 原点 自転軸 z軸 赤道面 xy平面 位置 <r>

[○]回転系3(X,Y,Z) xy平面から角度 e の1点 原点

地表面で東 X軸 北 Y軸 地表面に対する鉛直線 Z軸 位置 <R>

地表面の小さな動きに限定する Z=0 |X|<<A |Y|<<A

■ <R>=<Xu>*X+<Yu>*Y
 <V>=<Xu>*X'+<Yu>*Y'
 加速度 <Ac>=<Xu>*X''+<Yu>*Y''

 <r>=<Xu>*X+<Yu>*Y+<Zu>*A

 <r.u>=<Zu>*Ce-<Yu>*Se <r.>=(<Zu>*Ce-<Yu>*Se)*A*Ce

 <zu>=<Yu>*Ce+<Zu>*Se

 <V>#<w.>=<r.u>*X'+<Xu>*Y'*Se

 m*<Ac>=<F>+2*m*<V>#<w.>+<r.u>*A*Ce*w.^2

▲ |<V>#<w.>|=|<V>のxy平面への射影|*w.

 回転系.赤道上 

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