1質点円運動の回転半径と回転エネルギー◎ 剛体　回転エネルギー ★_2018.1

〓　1質点円運動の回転エネルギー　〓 .

◆ 質量 m　位置 <r>　角速度 <w>

<r>'=<w>#<r>　回転エネルギー Kr

● (<A>#<B>)^2=(<A>#<B>)*(<A>#<B>)=A^2*B^2-(<A>*<B>)^2

■ (<r>')^2=(<w>#<r>)^2=w^2*r^2-(<w>*<r>)^2

　Kr=(1/2)*m*[w^2*r^2-(<w>*<r>)^2]

■ <w>=<z>*wz　<r>=<x y z>　のとき、

　(<r>')^2=wz^2*(x^2+y^2+z^2)-wz^2*z^2=(x^2+y^2)*wz^2

　Kr=(1/2)*m*(x^2+y^2)*wz^2

〓　1質点円運動の回転エネルギー　〓 .

◆ 質量 m　円運動　角速度 <w>=<z>*wz　質点の、z軸からの距離 r.

z軸に対する慣性モーメント Iz=m*r.^2　回転エネルギー Kr

■ Kr=(1/2)*Iz*wz^2

〓　1質点の円運動の回転半径を変える　〓 .

◆ 1質点　質量 m　xy平面上、z軸の周りを円運動

回転している質点を回転軸側に引っ張り、回転半径を小さくする。

回転半径 r0,r　角速度 w0,w　z軸に対する慣性モーメント I0,I

z軸に対する角運動量 L0,L　回転エネルギー K0,K

■ 初め　I0=m*r0^2　L0=I0*w0　K0=(1/2)*I0*w0^2

途中および最後　I=m*r^2　L=I*w　K=(1/2)*I*w^2

　I/I0=(m*r^2)/(m*r0^2)=(r/r0)^2

■ 加える力は回転軸を通るから、その回転軸に対するトルクは生じない。角運動量は保存される。

　1=L/L0=(I*w)/(I0*w0)=(m*r^2*w)/(m*r0^2*w0)=(r^2*w)/(r0^2*w0)

　w/w0=(r0/r)^2 ★_

回転半径が小さくなれば、角速度は大きくなる

■ K/K0
=[(1/2)*I*w^2]/[(1/2)*I0*w0^2]
=(I/I0)*(w/w0)^2
=(r/r0)^2*(r0/r)^4
=(r0/r)^2 ★_

----- まとめ -----

　I0=m*r0^2　L0=I0*w0　K0=(1/2)*I0*w0^2

　I/I0=(r/r0)^2　L/L0=1　w/w0=(r0/r)^2

　K/K0=(r0/r)^2　K-K0=K0*[(r0/r)^2-1]

〓　1質点の円運動の回転半径を変えるときの仕事　〓 .

◆ 質点を回転軸側に引っ張る力 F　その力がする仕事 W

■ 回転する質点をゆっくり内側に引き寄せる。中心軸方向への速さが生じないようする。

　F=m*r*w^2=m*r*[w0*(r0/r)^2]^2=m*r0^4*w0^2/r^3

力の方向と半径の方向は逆であることに注意して、

　W
=-${F*dr}[r:r0~r]
=-m*r0^4*w0^2*${dr/r^3}[r:r0~r]
=-m*r0^4*w0^2*[-(1/2)/r^2][r:r0~r]
=-(1/2)*m*r0^4*w0^2*(1/r0^2-1/r^2)
=+(1/2)*m*r0^2*w0^2*[(r0/r)^2-1]

ここで　K0=(1/2)*I0*w0^2=(1/2)*m*r0^2*w0^2　だから、

　W=K0*[(r0/r)^2-1] ★_

回転エネルギーの差　K-K0=K0*[(r0/r)^2-1]　と一致している。 ★_

{素晴らしい!2018/1}

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▢ ◇回転半径を小さくすると◇
◎ 質点にひもをつけ、円運動をさせる。ひもを引っ張り、回転半径を半分にした場合のエネルギーの増減を考えよう。
▢ 等速円運動　質量 m　回転半径 r0　角速度 w0　運動エネルギー K0
　K0=(1/2)*m*r0^2*w0^2
回転半径 r のとき　角速度 w(r)　運動エネルギー K(r)=(1/2)*m*r^2*w(r)^2
ひもを中心に向け、ゆっくり引っ張る。
　力 F(r)　ひもを引っ張るときにした仕事 W(r)
▷ ひもを引っ張る力は原点を通るから、原点に対するトルクは 0　⇒
角運動量は保存される　m*r0^2*w0=m*r^2*w(r)　w(r)=w0*(r0/r)^2
回転半径を半分にすると、
　半径 1/2　角速度 4倍　⇒　運動エネルギー (1/2)^2*4^2=4_倍
運動エネルギーの増加量 ΔK
　ΔK=(1/2)*m*r0^2*w0^2*3=(3/2)*m*r0^2*w0^2〔★〕
▷ F(r)=m*r*w(r)^2=m*r*[w0*(r0/r)^2]^2=m*r0^4*w0^2/r^3
F(r) の向きと、r の向きは逆だから、
　W
=-${F(r)*dr}[r:r0~r0/2]
=-m*r0^4*w0^2*${(1/r^3)*dr}[r:r0~r]
=-m*r0^4*w0^2*[-(1/2)/r^2][r:r0~r]
=+(1/2)*m*r0^4*w0^2*(4-1)/r0^2
=(3/2)*m*r0^2*w0^2〔★〕
▲ ひもを引っ張ってした仕事が、運動エネルギーの増加になっている〔★〕
　運動エネルギー ∝ [(回転半径)*(角速度)]^2　だから、
回転半径が小さくなっているのに、運動エネルギーが増加したのは、角速度がより大きくなったからである。すなわち、
回転している質点を、その遠心力に逆らって、中心に引き寄せると、その分のエネルギーが運動エネルギーの増加になり、角速度が大きくなる。速く回転するようになる。〔★〕
▲ 「回転半径を小さくすると、速く回転するようになる。なぜか。角運動量が保存されるからだ。そして　角運動量 ∝ (回転半径)*(角速度)　であるからだ。」という説明がよくある。そりゃそうなのだろうけど、いきなり、角運動量が出てきて納得できなかった。
エネルギーの増減を考えると、上記のように説明がつく。その方が分かりやすいと思う。エネルギーの方が、角運動量うんぬんより、まだ、イメージがわくと思う。
ただし、定量的に考えるときに、角運動量保存の式は使っている。{!2013/9}

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