uz剛体振り子

☆ 剛体振り子 ☆

〇実体振り子棒振り子 ★ 2024.3-2015.7 Yuji.W

◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 #

◇ ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 成分は同じ

▢ 慣性系 (x,y,z) 質点系剛体以下 i=1,2,… 質量 mi 質点の位置 <ri>

.. Ixx=Σ{mi*(yi^2+zi^2)} Ixy=-Σ{mi*xi*yi} Ixz=-Σ{mi*xi*zi}
.. Iyy=Σ{mi*(xi^2+zi^2)} Iyz=-Σ{mi*yi*zi} Izz=Σ{mi*(xi^2+yi^2)}

原点に対する慣性テンソル [I]=[Ixx Ixy Ixz|Ixy Iyy Iyz|Ixz Iyz Izz]

.. <Ix)=<Ixx Ixy Ixz) <Iy)=<Ixy Iyy Iyz) <Iz)=<Ixz Iyz Izz)

.. [I]=[<Ix)&<Iy)&<Iz)]

角速度 <w> どの質点でも同じ質点系剛体の原点に対する角運動量 <L>

質点系剛体の原点に対する回転運動エネルギー Kr

▷ <L)=[I]*<w)=<Ix)*wx+<Iy)*wy+<Iz)*wz , <L>=<Ix>*wx+<Iy>*wy+<Iz>*wz

.. <L>;t=<w>#<L> Kr=(1/2)*<w>*<L>

▷ xy平面とyz平面とxz平面に対して、質量分布が対称であるとき、(慣性主軸をとったとき)

.. Ixy=Ixz=Iyz=0

.. <L)=<Ixx*wx Iyy*wy Izz*wz) , <L>=<Ixx*wx Iyy*wy Izz*wz>

▢ 剛体が固定軸(z軸)の周りをの回転角速度 <w>=<zu>*wz

z軸に対する質点系剛体の慣性モーメント <Iz>=<Ixz Iyz Izz>

質点系剛体の原点に対する角運動量 <L>=<Lx Ly Lz>

▷ <L)=<Iz)*wz , <L>=<Iz>*wz 一般に、x成分とy成分も持つ

▷ さらに、質量分布がxy平面に対して対称であるとき Ixz=Iyz=0 Lz=Izz*wz

▲ Izzを「慣性」と言う。おのおのの質点の回転半径は、剛体が回転しても変化しない。したがって、慣性も変化しない。 Izz=Σ{mi*(xi^2+yi^2)}=一定

〓剛体振り子〓

▢ 一様な重力場重力加速度 g

剛体質量 M 剛体は固定軸に対して摩擦なく、回転、振動できる

剛体の質量分布は、固定軸に垂直かつ質量の中心(重心)を通る平面に対して対称
固定軸がz軸であれば、慣性テンソルの Izz 成分のみあって、他の成分は 0
※ この条件がないと、ガタガタしてスムーズに振動しない

質量の中心(重心)に対する慣性モーメント Ic
質量の中心から固定軸までの距離 h 固定軸に対する慣性モーメント I=Icc+M*h^2

角運動量 L トルク N 振れ角 a |a|<<1 振動周期 Tc

▷ L=I*(a;t)

.. N=-M*g*sin(a)*h=-M*g*a*h

回転方程式 L;t=N より、

.. I*(a;;t)=-M*g*a*h

.. a;;t=-(M*g*h/I)*a

@l=I/(M*h)=(Ic+M*h^2)/(M*h)=h+Ic/(M*h) として、

.. a;;t=-(g/@l)*a ★ 剛体振り子

|a|<<1 で周期 Tc=2*Pi*root(@l/g) ★

〓剛体振り子〓《剛体振り子24.3 》

● 一様な棒長さ l 質量 M Ic=(1/12)*M*l^2 I=(1/3)*M*l^2

▢ 一様な重力場重力加速度 g

剛体質量 M 剛体は固定軸に対して摩擦なく、回転、振動できる

質量の中心(重心)に対する慣性モーメント Ic
質量の中心から固定軸までの距離 h 固定軸に対する慣性モーメント I=Ic+M*h^2

振れ角 a |a|<<1 振動周期 Tc

▷ @l=I/(M*h)=h+Ic/(M*h) として a;;t=-(g/@l)*a

|a|<<1 で Tc=2*Pi*root(@l/g)

〓棒振り子〓

▢ 一様な棒長さ l 質量 M Ic=(1/12)*M*l^2 棒の端を固定軸 h=(1/2)*l

▷ @l=h+Ic/(M*h)=(1/2)*l+(1/12)*l^2/[(1/2)*l]=(1/2)*l+(1/6)*l=(2/3)*l

.. Tc=2*Pi*root[(2/3)*l/g] ★

★ l=1_m g=9.81_m/sec^2 Tc=2*Pi*root[(2/3)/9.81]~1.64_sec ★

〓棒の端にかかる力〓

▢ 水平な棒の両端を支える。片方の端の支えを取り去る。その瞬間に、支えている方の端にかかる力 ?

長さ l 線密度 λ=一定 m=λ*l 端での慣性モーメント I=m*l^2/3

棒の両端を支え、水平にする。片方の端の支えを取り払った瞬間に、もう一方の端にかかる力 F ?

質量の中心が下に動いた距離(初めの瞬間のみ) x 0<x<<l

端に対する角運動量 L 端に対するトルク N=m*g/l

▷ 棒にかかる力は重力と、棒を支える力

質量の中心の運動方程式 m*(x;;t)=m*g-F

▷ N=(m*g)*(l/2)=m*g*l/2

.. (移動量 x のときの回転した角)=x/(l/2)=2*x/l .. L=I*[2*(x;t)/l]=(m*l^2/3)*(2*x/l)=(2/3)*m*l*(x;t)

回転方程式 (2/3)*m*l*(x;;t)=m*g*l/2

.. x;;t=(3/4)*g ★ 質量の中心が落ちる加速度支えがない場合の加速度の 3/4

▷ m*(x;;t)=m*g-F より、

.. (3/4)*m*g=m*g-F

.. F=m*g/4 ★ m*g/2 で支えていたのが、半分になる

{こんな事がわかるんだ!2018/1}

☆ uzお勉強しよう since2011 Yuji.W