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2016/2-2015/7 Yuji.W

剛体振り子

◎ 剛体 重さに広がりがある場合

ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 積分${f(x)*dx} 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

{復習}単振り子

◆ 一様な重力場 重力加速度 g ひもの長さ h=一定(伸びない) 質点の質量 m

■ 加速度=h*a'' 運動方程式 m*h*a''=-m*g*sin(a)=-m*g*a

 a''=-(g/h)*a

 周期 T=2Pi*root(h/g) .

◇剛体振り子◇

◆ 剛体 質量 M 支点と質量の中心の距離 h 慣性モーメント I

力は重力のみ トルク N 振れ角 a |a|<<1 周期 T

■ N=-M*g*h*sin(a)=-M*g*h*a

運動方程式 I*a''=N=-M*g*h*a

単振動と同じになって T=2Pi*root[I/(M*g*h)] .

■ 単振り子 I=M*h^2 T=2Pi*root[M*h^2/(M*g*h)]=2Pi*root(h/g)

◇棒振り子◇

◆ 棒 長さ l 線密度 λ=一定 M=λ*l 端での慣性モーメント I=M*l^2/3

端を軸として振らす 振れ角 a |a|<<1 周期 T

■ h=l/2 I/(M*g*h)=(M*l^2/3)/(M*g*l/2)=(2/3)*l/g

 T=2Pi*root[(2/3)*l/g] .

質量がすべて (2/3)*l の所に集中した単振り子の周期と同じ

▲ 質点の慣性モーメントは、支点からの距離の2乗に比例するから、支点から遠い位置にある質点ほど、その寄与が大きくなる。棒のつり合いを考えるのだったら、全質量が (1/2)*l の所にあると考えられるが、慣性モーメントの場合は、中心からより遠い方にずれて (2/3)*l という所に、全質量が集まると考えることができる。

  剛体振り子  

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