物理 力学 2019.4-2018.2 Yuji.W
◇ 積 * 商 / 10^x=Ten(x) ネイピア数
e 虚数単位 i e^(i*x)=expi(x)
微分 ;x 時間微分
;t 時間微分
' 積分 $
ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 内積
* 外積 # |<A>|=A <A>/A=<Au>
◇ デカルト座標単位ベクトル <xu>,<yu>,<zu>
円柱座標 (h,a,z)_C <Ah Aa
Az>_C 座標単位ベクトル <hu>,<au>,<zu>
球座標 (r,a,b)_S <Ar Aa
Ab>_S 座標単位ベクトル <ru>,<au>,<bu>
♡ 剛体の運動 ♡ .
◆ 剛体 全質量 M 質量の中心 <G> 角速度 <w>
原点に対する角運動量 <L> 質量の中心に対する角運動量 <LG>
原点に対する慣性テンソル [I] 質量の中心に対する慣性テンソル [Ic]
外力の和 <F>
外力による、原点に対するトルクの和 <N>
外力による、質量の中心に対するトルクの和
<NG>
■ M*<G>''=<F> M*(<G>#<G>')'=<G>#<F>
<L>=[I]*<w> <L>'=<N> <LG>=[Ic]*<w> <LG>'=<NG>
♡ 鉛筆に撃力を加える ♡ .
@ 机の上にある鉛筆をはじく
◆ xy平面のy軸上に密度が一様な鉛筆(太さが無視できる)
質量 M 長さ l 初めの鉛筆の両端の位置 (0,0) , (0,l)
質量の中心に対する慣性モーメント Ic=(1/12)*M*l^2 鉛筆と平面に摩擦なし
鉛筆は初め静止している。
撃力 <F>=<xu>*F0 を、非常に短い時間 Δt の間に、鉛筆の (k*l ,
0) の所に加える。〔
k:正の定数 k≦1/2 〕
■ 質量の中心はx軸方向に動く
運動方程式 M*(質量の中心の速さの時間微分)=F0
Δt 後の質量の中心の速さ <VG>
<VG>=<xu>*F0*Δt/M
■
<鉛筆の、質量の中心に対する角運動量の時間微分>
=<質量の中心に対するトルク>
=<zu>*F0*(1/2-k)*l
Δt 後 <鉛筆の、質量の中心に対する角運動量>=<zu>*F0*(1/2-k)*l*Δt
また、鉛筆の、質量の中心に対する角速度を <w>=<zu>*w とすれば、
<鉛筆の、質量の中心に対する角運動量>=Ic*<w>=<zu>*Ic*w
Ic*w=F0*(1/2-k)*l
w=F0*(1/2-k)*Δt*l/Ic
<w>=<zu>*F0*(1/2-k)*Δt*l/Ic
■
Δt 後の鉛筆の、元々原点にあった方の端の速度 <v0>
もう一方の端の速度 <v>
<v0>
=<VG>+<w>#(-<yu>*l/2)
=<xu>*F0*Δt/M+[<zu>*F0*(1/2-k)*l/Ic]#(-<yu>*l/2)
=<xu>*F0*Δt/M+<xu>*F0*(1/2-k)*(Δt/2)*(l^2/Ic)
=<xu>*(F0*Δt/M)*[1+(1/4-k/2)*(M*l^2/Ic)] ★_
同様にして <v>=<xu>*(F0*Δt/M)*[1-(1/4-k/2)*(M*l^2/Ic)] ★_
■ 棒の場合 Ic=(1/12)*M*l^2
<VG>=<xu>*(F0*Δt/M)
<w>=<zu>*(F0*Δt/M)*(6-12*k)/l
(l/2)*<w>=<zu>*(F0*Δt/M)*(3-6*k)
<v0>=<xu>*(F0*Δt/M)*(4-6*k) <v>=<xu>*(F0*Δt/M)*(-2+6*k) ★_
★ k=1/2 質量の中心に撃力を加えた場合
<w>=0 <v0>=<v>=<xu>*(F0*Δt/M)
★ k=0 鉛筆の端に撃力を加えた場合
<w>=<zu>*(F0*Δt/M)*6/l (l/2)*<w>=<zu>*(F0*Δt/M)*3
<v0>=<xu>*4*(F0*Δt/M) <v>=-<xu>*2*(F0*Δt/M)
■ 鉛筆の一方の端が動かない場合 <v>=0
1-(1/4-k/2)*(M*l^2/Ic)=0
k=1/2-2*Ic/(M*l^2) ★_
棒の場合 Ic=(1/12)*M*l^2 k=1/2-1/6=1/3 ★_棒の端から 1/3 の所に撃力が加わると、もう一方の端は動かない{!} この点を、衝撃の中心 と呼ぶ
♡ 2本の鉛筆に撃力を加える ♡ .
@ 「ファインマン物理学問題集Ⅰ」の問題16.11 (p70)
◆ 平面上 密度が一様な鉛筆(太さが無視できる)2本 質量 M 長さ l 鉛筆と平面との摩擦なし
質量の中心に対する慣性モーメント Ic=(1/12)*M*l^2
鉛筆① y軸上正の方向にある 一方の端は原点
鉛筆② x軸上負の方向にある 一方の端は原点
2本の鉛筆は摩擦のない方法でつながれている。
2本の鉛筆は初め静止している。鉛筆①の原点でない端を、x軸の方向に撃力 Ps を加える。
2本の鉛筆に働く内力による撃力
ps
鉛筆①の質量の中心の速さ VG 鉛筆①の角速度 w
■ 鉛筆① M*VG=Ps+ps & Ic*w=(Ps-ps)*l/2
撃力を加えた直後の鉛筆①の両端の速さは VG+(l/2)*w VG-(l/2)*w
鉛筆②の速さ VG-(l/2)*w だから、
M*[VG-(l/2)*w]=-ps
まとめると
M*VG=Ps+ps & 2*Ic*w=Ps*l-ps*l & 2*M*VG-M*l*w=-2*ps
既知量 M Ps Ic l 未知量 VG ps w だから、解ける。
まず ps を消去すると、
2*Ic*w=Ps*l-(M*VG-Ps)*l
2*Ic*w=Ps*l-M*VG*l+Ps*l
2*Ic*w-2*Ps*l+M*VG*l=0 ③
また 2*M*VG-M*l*w=-2*(M*VG-Ps)
2*M*VG-M*l*w=-2*M*VG+2*Ps
4*M*VG-M*l*w-2*Ps=0 ④
③④より w を消去して、
(M*l^2+8*Ic)*M*VG=2*Ps*(M*l^2+2*Ic)
ここで Ic=(1/12)*M*l^2 を代入すれば、
(5/3)*M^2*l^2*VG=(14/6)*Ps*M*l^2
VG=(7/5)*Ps/M ★_
ps=M*VG-Ps=(7/5)*Ps-Ps=(2/5)*Ps
w=(3/10)*Ps*l/Ic=(3/10)*Ps*l/[(1/12)*M*l^2]=(18/5)*Ps/(M*l)
鉛筆①の両端の速さ(力を加えた直後)
VG+(l/2)*w=(7/5)*Ps/M+(l/2)*(18/5)*Ps/(M*l)=(16/5)*Ps/M
VG-(l/2)*w=(7/5)*Ps/M-(l/2)*(18/5)*Ps/(M*l)=-(2/5)*Ps/M
鉛筆②の速さ(力を加えた直後)=-(2/5)*Ps/M=-(2/5)*(5/7)*VG=-(2/7)*VG ★_
----- まとめ -----
VG=(7/5)*Ps/M l*w=(18/5)*Ps/M ps=(2/5)*Ps
鉛筆②の速さ(力を加えた直後)=-(2/5)*Ps/M=-(2/7)*VG
{やったあ!できた!2018/3}
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