物理 力学 2018/3 Yuji.W
【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 # 座標単位<x>,<y>,<z>
円柱座標 <r.u>,<au>,<z> 球座標 <ru>,<au>,<bu>
【累乗】3^2=9 10^x=Ten(x) 【微積】xで微分 f(x);x 時間微分 ' 積分 $
【ネイピア数e】e^x=exp(x) 対数 底a log(a,x) 底e ln(x) 底10 LOG(x)
【虚数単位i】i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) 複素数zの共役複素数 \z
〓 剛体の運動 〓 .
◆ 剛体 質量 M
質量の中心 <G> 質量の中心の速さ <VG>
<質量の中心の角運動量>=M*<G>#<VG>
質量の中心に対する角運動量 <LG> 質量の中心に対する慣性モーメント Ic
剛体の角速度 <w>
原点に対する運動量 <p> 原点に対する角運動量 <L>
■ <p>=M*<VG>
<L>=<LG>+M*<G>#<VG>
<LG>=Ic*<w>
※ 一般には 質量の中心に対する慣性テンソル [Ic] <LG>=[Ic]*<w>
〓 輪と質点の衝突 〓 .
@ 摩擦のない机の上に輪がある。それに質点が衝突する。
「ファインマン物理学問題集Ⅰ」の問題16.13 (p70)
◆ 摩擦のない平面上に、木でできた輪が置かれている。輪はxy平面上にある。
輪の密度は一定で、幅は狭い 質量 m 半径
R
その輪に、質点とみなせる弾丸が衝突し、輪に突き刺さり、輪とともに動くようになる。弾丸は、輪の接線方向に衝突する。弾性衝突ではない。エネルギーは保存されない。
弾丸の質量(輪と同じ) m 衝突前の速さ v
衝突直前の質量の中心の位置は、輪の中心と弾丸が衝突した点との中点
衝突後の輪と弾丸の質量の中心の速さ VG 輪と弾丸の角速度 w
衝突前の弾丸(等速直線運動)の、輪と弾丸の質量の中心に対する角運動量 Lc0
衝突後の輪と弾丸の、その質量の中心に対する角運動量 Lc
衝突前の系の運動エネルギー K0 衝突後の系の運動エネルギー K
■ 運動量保存 m*v=2*m*VG
VG=v/2 ★_
■ 衝突前、等速直線運動の角運動量 Lc0=m*v*(R/2)=m*v*R/2
角運動量も保存されるから Lc=Lc0=m*v*R/2 ★_
■ 衝突後の輪と弾丸の質量の中心は、輪の中心から R/2 だけずれたところにあって、そこに対する角運動量 Ic は、
輪の分 m*R^2+m*(R/2)^2 弾丸の分 m*(R/2)^2
Ic=[m*R^2+m*(R/2)^2]+m*(R/2)^2=(3/2)*m*R^2
Lc=Ic*w
w=Lc/Ic=(m*v*R/2)/[(3/2)*m*R^2]=v/(3*R) ★_
■ 衝突前 弾丸だけ K0=m*v^2/2
衝突後 並進運動 (1/2)*(2*m)*VG^2=m*(v/2)^2=m*v^2/4
回転運動 (1/2)*Ic*w^2
=(1/2)*Ic*w^2
=(1/2)*[(3/2)*m*R^2]*[v/(3*R)]^2
=m*v^2/12
K=m*v^2/4+m*v^2/12=m*v^2/3
》K0=m*v^2/2 K=m*v^2/3 ★_保存されない