物理 力学 2018/3 Yuji.W
【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 # 座標単位<x>,<y>,<z>
円柱座標 <r.u>,<au>,<z> 球座標 <ru>,<au>,<bu>
【累乗】3^2=9 10^x=Ten(x) 【微積】xで微分 f(x);x 時間微分 ' 積分 $
【ネイピア数e】e^x=exp(x) 対数 底a log(a,x) 底e ln(x) 底10 LOG(x)
【虚数単位i】i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) 複素数zの共役複素数 \z
〓 剛体の運動 〓 .
◆ 剛体 質量 M
質量の中心 <G> 質量の中心の速さ <VG>
<質量の中心の角運動量>=M*<G>#<VG>
質量の中心に対する角運動量 <LG> 質量の中心に対する慣性モーメント Ic
剛体の角速度 <w>
原点に対する運動量 <p> 原点に対する角運動量 <L>
■ <p>=M*<VG>
<L>=<LG>+M*<G>#<VG>
<LG>=Ic*<w>
※ 一般には 質量の中心に対する慣性テンソル [Ic] <LG>=[Ic]*<w>
〓 棒と質点の衝突 〓 .
@ 摩擦のない水平面上の運動 静止している棒に質点が衝突し、棒にくっつく。
「ファインマン物理学問題集Ⅰ」の問題16.16 (p71)
◆ 摩擦のない水平面上の運動 密度が一様な棒(太さが無視できる) 質量 m 長さ l
同じ質量 m の質点が、棒に対して垂直な方向から、速さ v で、棒の端に衝突し、くっついた。
衝突後の系全体(棒と質点)の質量の中心の位置は、棒の端から 1/4 の所にある。
系全体(棒と質点)の質量の中心の速さ VG
系全体(棒と質点)の質量の中心に対する、棒と質点の角運動量 Lc 角速度 w
衝突後の、系全体(棒と質点)の質量の中心に対する慣性モーメント Ic
運動エネルギー 衝突前 K0 衝突後 K
■ (系全体の運動量)=(質量の中心の運動量) であるから
m*v=2*m*VG
VG=v/2 ★_
■ 衝突前 等速直線運動をする質点の角運動量 Lc=m*v*(l/4)=m*v*l/4
衝突後 Lc=Ic*w
ここで Ic=[m*l^2/12+m*(l/4)^2]+m*(l/4)^2=(5/24)*m*l^2 だから、
m*v*l/4=[(5/24)*m*l^2]*w
w=(6/5)*v/l ★_
■ K0=(1/2)*m*v^2
K
=(1/2)*(2*m)*VG^2+(1/2)*Ic*w^2
=(1/2)*(2*m)*(v/2)^2+(1/2)*[(5/24)*m*l^2]*[(6/5)*(v/l)]^2
=(1/4)*m*v^2+(3/20)*m*v^2
=(2/5)*m*v^2
K/K0=(2/5)/(1/2)=4/5 ★_
{わかってくるとおもしろいなあ!2018/3}
〓 棒と質点の衝突-2- 〓 .
@ 摩擦のない机の上を、棒が回転しつつ横滑りする。それに質点が衝突する。
「ファインマン物理学問題集Ⅰ」の問題16.12 (p70)
◆ 摩擦のないxy平面上 密度が一様な棒(太さが無視できる) 質量 M 長さ l
質量の中心に対する慣性モーメント
Ic=(1/12)*M*l^2
質量の中心の速度 <x>*V 角速度 w
棒がy軸と平行になった瞬間に、質点が衝突し、棒は静止し、質点は跳ね返った。完全弾性衝突(エネルギーが保存される)
質点の質量 m 速度 -<x>*v 衝突後 <x>*\v
衝突した位置 棒の質量の中心からの距離 Y
棒と質点が及ぼしあった撃力 Ps
■ 棒の運動量の変化量 M*V=Ps ①
質点の運動量の変化量 m*(v+\v)=Ps ②
棒の角運動量の変化量 Ic*w=Ps*Y ③
エネルギー保存 (1/2)*M*V^2+(1/2)*Ic*w^2+(1/2)*m*v^2=(1/2)*m*\v^2 ④
既知量 M m V l Ic w 未知量 v \v Ps Y とする。
①②より Ps を消去して M*V=m*(v+\v) ⑤
④より M*V^2+Ic*w^2+m*v^2=m*\v^2 ⑥
⑤⑥より \v を消去して、
M*m*V^2+Ic*w^2*m+m^2*v^2=(M*V-m*v)^2
v=(1/2)*{V*[(M/m)-1]-(Ic/M)*w^2/V}
Ic=(1/12)*M*l^2 を使って
v=[(M/m)-1]*V/2-l^2*w^2/(24*V) ★_
⑤より \v
=(M/m)*V-v
=(M/m)*V-[(M/m)-1]*V/2+l^2*w^2/(24*V)
=[(M/m)+1]*V+l^2*w^2/(24*V) ★_
①より Ps=M*V ★_
③より Y=Ic*w/Ps=Ic*w/(M*V)=l^2*w/(12*V) ★_
Y/l=l*w/(12*V) ★_
★ M/m=2 (l/2)*w=V のとき、
v=V/2-V/6=V/3 \v=3*V+V/6=(19/6)*V Y/l=1/6