物理 力学 剛体 2019.5-2018.2 Yuji.W
◇
積 * 商 / ベクトル <A> 内積
* 外積 # 微分 ;x 積分 $ 時間微分
' , ;t
10^x=Ten(x) e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
◇
デカルト座標単位ベクトル <xu>,<yu>,<zu>
円柱座標 (h,a,z)_C <Ah Aa
Az>_C 座標単位ベクトル <hu>,<au>,<zu>
球座標 (r,a,b)_S <Ar Aa
Ab>_S 座標単位ベクトル <ru>,<au>,<bu>
〓 2質点の運動、質量の中心系(重心系) 〓 .
◆ 2質点 質量 m1,m2 M=m1+m2 慣性系で位置 <r1>,<r2>
各質点の運動量 <p1>,<p2> 各質点の角運動量 <L1>,<L2>
質点にかかる外力 <F1>,<F2> 内力 <f1>,<f2>=-<f1>
質量の中心の位置 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M
質量の中心系で、
<r1G>=<r1>-<G> <r2G>=<r2>-<G> m1*<r1G>+m2*<r2G>=0
<p1G>=m1*(<r1G>;t) <L1G>=m1*<r1G>#(<r1G>;t)
<p2G> , <L2G> も同様
■ (<p1>+<p2>);t=<F1>+<F2> 内力は寄与しない
<r1>#<f1>+<r2>#<f2>=0 内力によるトルクは相殺される
(<L1>+<L2>);t=<r1>#<F1>+<r2>#<F2> 内力は寄与しない
■ M*(<G>;t)=<p1>+<p2>
M*(<G>;;t)=(<p1>+<p2>);t=<F1>+<F2> 内力は寄与しない
[M*<G>#(<G>;t)];t=<G>#(<F1>+<F2>) 各質点への外力が、あたかも質量の中心に働くとみなして計算する
■ <p1>+<p2>=<p1G>+<p2G>+M*(<G>;t)
<L1>+<L2>=<L1G>+<L2G>+M*<G>#(<G>;t)
■ (<p1G>+<p2G>);t=0 <p1G>+<p2G>=一定
(<L1G>+<L2G>);t=<r1G>#<F1>+<r2G>#<F2>
■ <p1G>;t=<f1>+<F1>*m2/M-<F2>*m1/M
※ 質量の中心系(重心系)は一般に慣性系ではないから、普通の運動方程式は成り立たない。
〓 2質点系剛体 〓 .
■ 距離が変わらない2質点を、「2質点系剛体」と呼ぶことにする。次のような事が言える。
① 2質点の運動で言える事はすべて、適用できる。
② 2質点を結ぶ線分上にある任意の点に対して、そこからの距離は変わらないから、その点に対して円運動になる。角速度ベクトルを使って、その点に対する速度を表す事ができる。
③ 角速度ベクトルの大きさは方向は変化してもよい。
④ 観測時刻における角速度ベクトルの大きさと方向は、2つの質点とも同じになる。
⑤ 観測時刻における角速度ベクトルの大きさと方向は、基準となる点の位置を変えても変わらない。
{以上の事がずーとはっきりしてなかった!2018/2}
〓 2質点系剛体の運動-慣性系で- 〓
◆ 2質点系剛体 質量 m1,m2 m1+m2=M 2質点間の距離 l=一定
質点①に対して 位置 <r1> 速度 <v1>=<r1>' 運動量 <p1>=m1*<v1>
角運動量
<L1>=<r1>#<p1>
質点②に対しても同様に <r2>,<v2>,<p2>,<L2>
質点①への力 外力 <F1> 内力 <f1> 質点②に対しても同様に <F2>,<f2>
<f2>=-<f1>
2質点系剛体の、剛体内の任意の点に対する角速度 <w>
■ 運動方程式 <p1>;t=<F1>+<f1> <p2>;t=<F2>+<f2>
<L1>;t=<r1>#(<F1>+<f1>) <L2>;t=<r2>#(<F2>+<f2>)
2質点系に成り立つことは、すべて2質点系剛体にも成り立つから、
(<p1>+<p2>);t=<F1>+<F2> 内力は寄与しない
(<L1>+<L2>);t=<r1>#<F1>+<r2>#<F2> 内力は寄与しない
■【 質量の中心系(重心系)で 】
質量の中心(重心) <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M
<r1G>=<r1>-<G> <v1G>=<r1G>'
<p1G>=m1*<v1G> <L1G>=<r1G>#<p1G>
同様に <r2G>,<v2G>,<p2G>,<L2G> とすると、
M*(<G>;;t)=<F1>+<F2> 内力は寄与しない
[M*<G>#(<G>;t)];t=<G>#(<F1>+<F2>)
(<p1G>+<p2G>);t=0
(<L1G>+<L2G>);t=<r1G>#<F1>+<r2G>#<F2>
さらに
2質点間の任意の点に対する角速度 <w>
質量の中心系で 位置 <r1G>,<r2G>=-<r2G>
質量の中心に対する角運動量の和 <LG>
■ <LG>
=m*<r1G>#<r1G>'+m*<r2G>#<r2G>'
=m*<r1G>#<r1G>'+m*(-<r1G>)#(-<r1G>')
=2*m*<r1G>#<r1G>'
ここで <r1G>'=<w>#<r1G> であるから、
<r1G>#<r1G>'=<r1G>#(<w>#<r1G>)
ベクトル3重積 <A>#(<B>#<C>)=<B>*(<A>*<C>)-<C>*(<A>*<B>) を使って、
<r1G>#(<w>#<r1G>)
=<w>*(<r1G>*<r1G>)-<r1G>#(<r1G>*<w>)
=<w>*(l/2)^2-<r1G>#(<r1G>*<w>) だから、
<LG>=<w>*m*l^2/2-<r1G>#(<r1G>*<w>)*2*m
さらに <w>=<wu>*w <r1G>=<r1Gu>*r1G=<r1Gu>*l/2 と表せば、
<LG>
=<wu>*(m*l^2/2)*w-<r1Gu>#(<r1Gu>*<wu>)*(m*l^2/2)*w
=[<wu>-<r1Gu>#(<r1Gu>*<wu>)]*(m*l^2/2)*w
》<LG>=[<wu>-<r1Gu>#(<r1Gu>*<wu>)]*(m*l^2/2)*w ★_
■ <r1Gu>⊥<wu> のとき <r1Gu>*<wu>=0
<LG>=<wu>*(m*l^2/2)*w ★_
■ <wu>=<r1Gu> のとき、
<wu>-<r1Gu>#(<r1Gu>*<wu>)
=<r1Gu>-<r1Gu>#(<r1Gu>*<r1Gu>)
=<r1Gu>-<r1Gu>
=0 だから、
<LG>=0 ★_
〓 2質点系剛体の運動 〓
◆ 2質点系剛体 質量 m1,m2 m1+m2=M 2質点間の距離 l=一定
質点①に対して 位置 <r1> 速度 <v1>=<r1>' 運動量 <p1>=m1*<v1>
角運動量
<L1>=<r1>#<p1>
質点②に対しても同様に <r2>,<v2>,<p2>,<L2>
質点①への力 外力 <F1> 内力 <f1> 質点②に対しても同様に <F2>,<f2>
<f2>=-<f1>
2質点系剛体の、剛体内の任意の点に対する角速度 <w>
■【 慣性系で 】
運動方程式 <p1>;t=<F1>+<f1> <p2>;t=<F2>+<f2>
<L1>;t=<r1>#(<F1>+<f1>) <L2>;t=<r2>#(<F2>+<f2>)
2質点系に成り立つことは、すべて2質点系剛体にも成り立つから、
(<p1>+<p2>);t=<F1>+<F2> 内力は寄与しない
(<L1>+<L2>);t=<r1>#<F1>+<r2>#<F2> 内力は寄与しない
■【 質量の中心系(重心系)で 】
質量の中心(重心) <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M
<r1G>=<r1>-<G> <v1G>=<r1G>'
<p1G>=m1*<v1G> <L1G>=<r1G>#<p1G>
同様に <r2G>,<v2G>,<p2G>,<L2G> とすると、
M*(<G>;;t)=<F1>+<F2> 内力は寄与しない
[M*<G>#(<G>;t)];t=<G>#(<F1>+<F2>)
(<p1G>+<p2G>);t=0
(<L1G>+<L2G>);t=<r1G>#<F1>+<r2G>#<F2>
さらに
2質点間の任意の点に対する角速度 <w>
質量の中心系で 位置 <r1G>,<r2G>=-<r2G>
質量の中心に対する角運動量の和 <LG>
■ <LG>
=m*<r1G>#<r1G>'+m*<r2G>#<r2G>'
=m*<r1G>#<r1G>'+m*(-<r1G>)#(-<r1G>')
=2*m*<r1G>#<r1G>'
ここで <r1G>'=<w>#<r1G> であるから、
<r1G>#<r1G>'=<r1G>#(<w>#<r1G>)
ベクトル3重積 <A>#(<B>#<C>)=<B>*(<A>*<C>)-<C>*(<A>*<B>) を使って、
<r1G>#(<w>#<r1G>)
=<w>*(<r1G>*<r1G>)-<r1G>#(<r1G>*<w>)
=<w>*(l/2)^2-<r1G>#(<r1G>*<w>) だから、
<LG>=<w>*m*l^2/2-<r1G>#(<r1G>*<w>)*2*m
さらに <w>=<wu>*w <r1G>=<r1Gu>*r1G=<r1Gu>*l/2 と表せば、
<LG>
=<wu>*(m*l^2/2)*w-<r1Gu>#(<r1Gu>*<wu>)*(m*l^2/2)*w
=[<wu>-<r1Gu>#(<r1Gu>*<wu>)]*(m*l^2/2)*w
》<LG>=[<wu>-<r1Gu>#(<r1Gu>*<wu>)]*(m*l^2/2)*w ★_
■ <r1Gu>⊥<wu> のとき <r1Gu>*<wu>=0
<LG>=<wu>*(m*l^2/2)*w ★_
■ <wu>=<r1Gu> のとき、
<wu>-<r1Gu>#(<r1Gu>*<wu>)
=<r1Gu>-<r1Gu>#(<r1Gu>*<r1Gu>)
=<r1Gu>-<r1Gu>
=0 だから、
<LG>=0 ★_
〓 同質量2質点系剛体の質量の中心系での運動 〓
@ 同質量2質点の質量の中心系は、2質点の中点にある。2質点の、質量の中心系での運動は、質量の中心系に対する円運動になる。質量の中心系での運動量の和は、もちろん 0 である。角運動量の和はどうなるか?
◆ 同質量の2質点 質量 m M=2*m 2質点間の距離 l=一定
2質点間の任意の点に対する角速度 <w>
質量の中心系で 位置 <r1G>,<r2G>=-<r2G>
質量の中心に対する角運動量の和 <LG>
■ <LG>
=m*<r1G>#<r1G>'+m*<r2G>#<r2G>'
=m*<r1G>#<r1G>'+m*(-<r1G>)#(-<r1G>')
=2*m*<r1G>#<r1G>'
ここで <r1G>'=<w>#<r1G> であるから、
<r1G>#<r1G>'=<r1G>#(<w>#<r1G>)
ベクトル3重積 <A>#(<B>#<C>)=<B>*(<A>*<C>)-<C>*(<A>*<B>) を使って、
<r1G>#(<w>#<r1G>)
=<w>*(<r1G>*<r1G>)-<r1G>#(<r1G>*<w>)
=<w>*(l/2)^2-<r1G>#(<r1G>*<w>) だから、
<LG>=<w>*m*l^2/2-<r1G>#(<r1G>*<w>)*2*m
さらに <w>=<wu>*w <r1G>=<r1Gu>*r1G=<r1Gu>*l/2 と表せば、
<LG>
=<wu>*(m*l^2/2)*w-<r1Gu>#(<r1Gu>*<wu>)*(m*l^2/2)*w
=[<wu>-<r1Gu>#(<r1Gu>*<wu>)]*(m*l^2/2)*w
》<LG>=[<wu>-<r1Gu>#(<r1Gu>*<wu>)]*(m*l^2/2)*w ★_
■ <r1Gu>⊥<wu> のとき <r1Gu>*<wu>=0
<LG>=<wu>*(m*l^2/2)*w ★_
■ <wu>=<r1Gu> のとき、
<wu>-<r1Gu>#(<r1Gu>*<wu>)
=<r1Gu>-<r1Gu>#(<r1Gu>*<r1Gu>)
=<r1Gu>-<r1Gu>
=0 だから、
<LG>=0 ★_
☆ お勉強しよう since 2011 Yuji.W ☆