☆強制振動、複素微分方程式Uz

　物理　力学　振動　2021.2-2012.10　Yuji Watanabe

☆ 強制振動、複素微分方程式 ☆

○ 共鳴　複素数を使う

2*3=6　6/2=3　3^2=9　1000=10^3=Ten(3)　　　　　　　　　　　2021.2.8
微分 ;　2階微分 ;;　偏微分 :　積分 $　ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <Au>　内積 *　外積 #　　　000

〓〓〓　複素/線型/2階/定数係数/斉次/微分方程式　〓〓〓　

▢ 実数変数 t　複素数 z=z(t)　複素数定数 p,q

複素線型2階定数係数微分方程式　z;;t+p*(z;t)+q*z=0

■ 特性方程式　h^2+p*h+q*h^2=0　解 h1,h2　※ 複素数になってもよい

元の方程式の解は、積分定数を C1,C2 として、

　z=C1*exp(h1*t)+C2*exp(h2*t)

▢ z;;t-2*p*(z;t)+p^2*z=0　特性方程式　h^2-2*p*h+p^2=0　解 h=p=重根

■ 元の方程式の解は、積分定数を C1,C2 として、

　z=C1*exp(p*t)+C2*t*exp(p*t)

〓〓〓　複素/線型/2階/定数係数/非斉次/微分方程式　〓〓〓　

▢ t の関数 z(t),f(t)　p,q:定数　方程式 z;;t+p*(z;t)+q*z=f(t)

■ z;;t+p*(z;t)+q*z=0　の基本解 z1 , z2　※ 特性方程式を利用する

z;;t+p*(z;t)+q*z=f(t)　の特殊解 \z　※ 適当に見つける

積分定数 C1,C2 として、与式の一般解　z=C1*z1+C2*z2+\z

※ \z は　f(t)の定数倍　または　t*f(t)　の定数倍になることが多い

〓〓〓　複素/線型/2階/定数係数/非斉次/微分方程式{計算例}　〓〓〓　

◙ z;;t+w0^2*z=z0*expi(w*t)　w0,w:正の定数　0<w<w0 ◙

特性方程式　h^2+w0^2=0　h=±i*w0　

基本解 expi(±w0*t)

特殊解　\z=expi(w*t)*z0/(w0^2-w^2)

一般解　z=C1*expi(w0*t)+C2*expi(-w0*t)+expi(w*t)*z0/(w0^2-w^2)

〓〓〓　強制振動、複素数を使って解く　〓〓〓　

▢ 調和振動子[質量 m　バネ定数 k　固有角振動数 w0=root(k/m)]　変位 x

振動する外力 f0*cos(w*t) を加える

■ 運動方程式　m*(x;;t)=-k*x+f0*cos(w*t)

　x;;t+w0^2*x=(f0/m)*cos(w*t)　2階線型微分方程式

複素数に置き換える　x ⇒ z　cos(w*t) ⇒ expi(w*t)

　z;;t+w0^2*z=(f0/m)*expi(w*t)　★　

特性方程式　h^2+w0^2=0　h=±i*w0　

基本解 expi(±w0*t)

特殊解　\z=expi(w*t)*(f0/m)/(w0^2-w^2)

一般解　z=C1*expi(w0*t)+C2*expi(-w0*t)+expi(w*t)*(f0/m)/(w0^2-w^2)

一般解の実数部をとって、

　x=C1*cos(w0*t)+C2*cos(-w0*t)+cos(w*t)*(f0/m)/(w0^2-w^2)　★　

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