お勉強しようwithUz 物理.力学

2016/2-2012/10 Yuji.W

強制振動,減衰振動.複素数

◎ 強制振動 減衰振動 複素数を使って解く

ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 積分${f(x)*dx} 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

{復習}2階線型微分方程式を複素数を使って解く

『物理量.複素数表示』 2016/2

◆ 2階/線型/微分方程式 x''+p(t)*x'+q(t)*x=f(t) @

複素数 z , {f(t)} zの実数部=x {f(t)}の実数部=f(t)

■ z''+p(t)*z'+q(t)*z={f(t)} A

 Aの解 z の実数部=@の解

{復習}振動する物理量を複素数で表す

『振動する物理量.複素数表示』 2016/2

■ {F0}=F0*expi(-Δ) 振動する物理量の複素数表示 {F0}*expi*(w*t)

 その実数部=F0*cos(w*t-Δ)

◇調和振動子の強制振動◇

◎ 複素数を使って解く

◆ 質量 m バネ定数 k 固有角振動数 w0=root(k/m)

変位 x 振動する外力 F0*cos(w*t)

 

■ m*x''=-k*x+F0*cos(w*t-Δ)

 x''+w0^2*x=(F0/m)*cos(w*t-Δ) 2階線型微分方程式

x ⇒ z F0*cos(w*t-Δ) ⇒ {F0}*expi(w*t) と、複素数で表して、

 z''+w0^2*z=({F0}/m)*expi(w*t) .

x''+w0^2*x=A*expi(w*t) 〔w0,A,w:定数〕

 x=C1*expi(w0*t)+C2*expi(-w0*t)+A*expi(w*t)/(w0^2-w^2)

 z=C1*expi(w0*t)+C2*expi(-w0*t)+expi(w*t)*{F0}/[m*(w0^2-w^2)]

実数部をとって、

 x=x0*cos(w0*t)+cos(w*t-Δ)*(F0/m)/(w0^2-w^2) .

◇減衰のある強制振動◇

◆ 調和振動子による力 -k*x 粘性抵抗 -Kv*x' Kv/m=2*Γ

強制振動の力 F0*cos(W*t)

固有角振動数 w0=root(k/m)~10Pi〔一般木造建築〕

root(w0^2-Γ^2)=w w0^2=w^2+Γ^2

※ Γ=Kv/m と定義することもある(ファインマンの本はそう)

w0>Γ>0 として話を進める

■ 運動方程式 m*x''=-k*x-Kv*x'+F0*cos(W*t)

 x''+(Kv/m)*x'+(k/m)*x=(F0/m)*cos(W*t)

 x''+2*Γ*x'+w0^2*x=(F0/m)*cos(W*t)

 x''+2*Γ*x'+(w^2+Γ^2)*x=(F0/m)*cos(W*t)

複素数化して、

 z''+2*Γ*z'+(w^2+Γ^2)*z=(F0/m)*expi(W*t) 

○2階線型微分方程式を解こう

 特性方程式 H(h)=h^2+2*Γ*h+(w^2+Γ^2)=0

 h=-Γ±i*w

基本解 E(-Γ*t)*expi(w*t) , E(-Γ*t)*expi(-w*t)

 H(i*W)=w0^2-W^2+2*i*Γ*W

 特殊解 (F0/m)/(w0^2-W^2+2*i*Γ*W)

一般解 z
=E(-Γ*t)*[C1*expi(w*t)+C2*expi(-w*t)]
+expi(W*t)*F0/[m*(w0^2-W^2+2*i*Γ*W)] 

実数部をとれば、次のように表すことができる。

 x
=x0*E(-Γ*t)*cos(w*t)
+cos(W*t-Δ)*(F0/m)/root[(w0^2-W^2)^2+4*Γ^2*W^2] 

 tan(Δ)=2*Γ*W/(w0^2-W^2)

{やったあ!できたみたい!2014/7}

■ t*Γ>>1 のとき(十分時間がたった時)

 x=cos(W*t-Δ)*(F0/m)/root[(w0^2-W^2)^2+4*Γ^2*W^2]

 x'=-W*sin(W*t-Δ)*(F0/m)/root[(w0^2-W^2)^2+4*Γ^2*W^2]

◇電気的共鳴◇

◎交流電源、抵抗、コンデンサー、コイルを直列につないだ回路を考えよう。

■Q={Q^}*expi(wt) V={V^}*expi(wt) Q と V の関係を知りたい。
{注}{Q^} と {V^} は、振幅と位相のずれの両方の情報が含まれている。

■抵抗 resistor R

 V=R*I=R*Q'

コンデンサー capacitor C

 V=Q/C

コイル coil  inductor L

 V=L*I'=L*Q"

■(w0)^2=1/(L*C) Γ=R/L

 L*Q"+R*Q'+Q/C=V

 {Q^}={V^}/{L[(w0)^2-w^2+i*Γ*w]}

◇振動子のエネルギー◇

■摩擦のある、一次元強制調和振動子 外力Fによってされる仕事率 P
 変位 x=(x0)*expi(wt+〜)

 運動方程式 m*x"+Γ*m*x'+m*(w0)^2*x=F

 P=F*x'=m*x'*x"+m*(w0)^2*x*x'+Γ*m*(x')^2
=(m/2){[(x')^2]+(w0)^2*[x^2]}'+Γ*m*(x')^2
=[(運動エネルギー)+(位置エネルギー)]'+Γ*m*(x')^2

 (Pの平均)
=[(運動エネルギー)+(位置エネルギー)]の時間微分の平均
+[Γ*m*(x')^2 の平均]=[Γ*m*(x')^2 の平均]

x'=iw*(x0)*expi(wt+〜)

[(x')^2 の平均]=w^2*(x0)^2/2

 (Pの平均)=Γ*m*w^2*(x0)^2/2 ★

■交流電源、抵抗、コンデンサー、コイルを直列につないだ回路では、

 (Pの平均)=R*(I^2 の平均)=R*(I0)^2/2 ★

  強制振動,共鳴,減衰振動  

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