☆2粒子の衝突Uz

　物理　力学　　2017/10-2011　Yuji.W

☆ 2粒子の衝突 ☆

◎ 2粒子　衝突　質量の中心系　重心系 ★_〔物理定数〕

【ベクトル】<A>　単位ベクトル <-u>　座標単位ベクトル <x>　内積 *　外積 #
【関数】10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　微分 ;　時間微分 '　積分 $

◇ 質量の中心系.2質点 ◇

◆ 質量 m1,m2　m1+m2=M　位置 <r1>,<r2>

運動量 <p1>,<p2>　角運動量 <L1>,<L2>　運動エネルギー K1,K2

質点②から質点①への内力 <f21>　質点①から質点②への内力 <f12>
それぞれの質点に働く外力 <F1>,<F2>　外力によるトルク <N1>,<N2>

質量の中心系の物理量には G を添付する

■ <G>=(<r1>*m1+<r2>*m2)/M

　<r1G>=<r1>-<G>　<r2G>=<r2>-<G>　m1*<r1G>+m2*<r2G>=0

■ M*<G>'=<p1>+<p2>　M*<G>''=<F1>+<F2>

　[<G>#(M*<G>')]'=<G>#(<F1>+<F2>)

■ <p1G>'=<F1>*m2/M-<F2>*m1/M+<f21>
　<p2G>'=<F2>*m1/M-<F1>*m2/M+<f12>

■ <p1G>+<p2G>=0　(<L1G>+<L2G>)'=<N1G>+<N2G>

■ <L1>+<L2>=<L1G>+<L2G>+<G>#(<p1>+<p2>)

　K1+K2=(K1G+K2G)+(1/2)*M*VG^2

◇ 2粒子の衝突 ◇

◆ 2粒子　質量 m1=1_kg　m2=2_kg

粒子①が静止していた粒子②に衝突
衝突前 <v1>=< 0 6 0>_m/sec　衝突後 <\v1>=<2 2 0>_m/sec　<\v2> ?

■【 <\v2> 】

運動量は保存されるから　1*< 0 6 0>=1*<2 2 0>+2*<\v2>

　<\v2>=<-1 2 0> ★_

■【運動エネルギー】

　K1=(1/2)*1*6^2=18_J　K2=0　K1+K2=18_J

　\K1=(1/2)*1*(2^2+2^2)=4_J　\K2=(1/2)*2*(1^2+2^2)=5_J

　\K1+\K2=9_J

　(K1+K2)-(\K1+\K2)=18-9=9_J ★_

■【質量の中心系で】

　<\v1G>=<\v1>-<G>'=<2 2 0>-<0 2 0>=<2 0 0>

質量の中心系で運動量の和は 0 であるから、

　0=1*<\v1G>+2*<\v2G>=1*<2 0 0>+2*<\v2G>

　<\v2G>=<-1 0 0> ★_

　<\v2>=<\v2G>+<G>'=<-1 0 0>+<0 2 0>=<-1 2 0>

■【質量の中心系での運動エネルギー】

　<\v1G>=<2 0 0>

　<\v2G>=<-1 0 0>

　K1G=(1/2)*1*4^2=8　K2G=(1/2)*2*2^2=4　K1G+K2G=8+4=12_J

　\K1G=(1/2)*1*2^2=2　\K2G=(1/2)*2*1^2=1　\K1G+\K2G=2+1=3_J

　(K1G+K2G)-(\K1G+\K2G)=12-3=9_J

まとめて、

　K1+K2=18　\K1+\K2=9　エネルギーは保存されていない

　K1G+K2G=12　\K1G+\K2G=3　エネルギーは保存されていない

■【質量の中心の運動エネルギー】

　(1/2)*M*(<G>')^2=(1/2)*3*2^2=6

次の関係式を満たしている

　K1+K2=K1G+K2G+6　\K1+\K2=\K1G+\K2G+6 ★_

■【失われる運動エネルギー】

　ΔK=(K1+K2)-(\K1+\K2)=18-9=9_J

　ΔKG=(K1G+K2G)-(\K1G+\K2G)=12-3=9_J

　ΔK=ΔKG ★_失われる運動エネルギーは熱となる。系に依らない量である。{おもしろい!2017/10}

◇ 2粒子の衝突-2- ◇

◆ 2質点　質量 m1=2_kg , m2=3_kg　m1+m2=M=5_kg

速度 <v1>=<3 2 -1>_m/sec , <v2>=<-2 2 4>_m/sec

　v1^2=14　v2^2=24

衝突し合体する　その速度 <\v>　外力なし

運動エネルギーは保存されない　運動量は保存される

質量の中心の速度 <VG>　質量の中心系で <v1G>,<v2G>,<\vG>=0

運動エネルギー K1,K2,\K　質量の中心系で K1G,K2G,\KG=0

■【衝突後の速度】

　質量の中心の速度 <VG>
=(m1*<v1>+m2*<v2>)/M
=(2*<3 2 -1>+3*<-2 2 4>)/5
=<0 2 2>

　VG^2=8

　<\v>=<\vG>+<VG>=<0 0 0>+<0 2 2>=<0 2 2>_m/sec

　\v^2=8

■【質量の中心系での速度】

　<v1G>=<v1>-<VG>=<3 2 -1>-<0 2 2>=<3 0 -3>　v1G^2=18

　<v2G>=<v2>-<VG>=<-2 2 4>-<0 2 2>=<-2 0 2>　v2G^2=8

■【運動エネルギー】

　K1=(1/2)*2*14=14　K2=(1/2)*3*24=36　\K=(1/2)*5*8=20

　K1G=(1/2)*2*18=18　K2G=(1/2)*3*8=12　\KG=0

　(1/2)*M*VG^2=(1/2)*5*8=20

▲ K1+K2=14+36=50_J　K1G+K2G=18+12=30_J

　K1+K2=(K1G+K2G)+(1/2)*M*VG^2　が成り立っている

▲ K1+K2-\K=14+36-20=30_J　K1G+K2G-\KG=18+12-0=30_J

失われた運動エネルギーは、系に依らない