物理 力学

2015/9-2014/7 Yuji.W

☆慣性抵抗あり.1次元☆

◎ 空気抵抗 慣性抵抗 pressure drag

◇ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分; 
時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) e^(i*x)=expi(x) 物理定数  2015/08/14

◇慣性抵抗あり.外力なし◇

◎ 1次元 外力なし 速さの2乗に比例する抵抗(慣性抵抗)

◆ 質点(質量m) 速さ v 初速度 v0 慣性抵抗力 Fp=Kp*v^2

 [Kp]=[力/速さ^2]=[質量/長さ]

■ x による力はないから、v に関する運動方程式を作って m*v'=-Kp*v^2

 v'/v^2=-Kp/m dv/v^2=-(Kp/m)*dt

積分して -1/v=-(Kp/m)*t+C v=1/[(Kp/m)*t-C]

t=0 ⇒ v0=-1/C C=-1/v0 v=1/[(Kp/m)*t+1/v0]=v0/[1+(v0*Kp/m)*t]

≫ v=v0/[1+(v0*Kp/m)*t] 

◇落下運動.慣性抵抗あり◇

◎ 1次元 一様な重力場(質量に比例する力) 速さの2乗に比例する抵抗(慣性抵抗)

◆ 質点(質量m) 1次元 鉛直方向 x軸 一様な重力場 慣性抵抗力 Fp=Kp*v^2 初速度 0

[Kp]=[力/速さ^2]=[質量/長さ]

次の量を定義する Tau=root[m/(Kp*g)]_時間 Vp=g*Tau=root(m*g/Kp)_速さ

■ 初速度 0 だから、慣性抵抗はなく、質点には重力のみが働き、自由落下を始める。初めのうちは、重力が慣性抵抗よりも大きく、徐々に速さが増す。速さが増せば、慣性抵抗も大きくなる。やがて、慣性抵抗が重力と同じになり、質点には力が働かない。それ以上は、速さは増さない。その時、

 m*g=Kp*v^2 v=root(m*g/Kp)=Vp  最終速度 これ以上速くならない

★ スカイダイビング Vp=50_m/sec

■ x に依る力はないから、v に対する運動方程式を作って m*v'=m*g-Kp*v^2

 m*v'=m*g-(m*g/Vp^2)*v^2

 v'=g-(g/Vp^2)*v^2=-(g/Vp^2)*(v^2-Vp^2) 

● 微分方程式 x'=k*(x^2-a^2) 〔k:定数 a:正の定数〕

 (x-a)/(x+a)=C*exp(2*k*a*t) x=a*[1+C*exp(2*k*a*t)]/[1-C*exp(2*k*a*t)]

『双曲線関数』 2015/9

{定義} cosh(x)=[exp(x)+exp(-x)]/2

 sinh(x)=[exp(x)-exp(-x)]/2

 tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)
 tanh(x)=[exp(x)-exp(-x)]/[exp(x)+exp(-x)]
 tanh(x)=[1-exp(-2*x)]/[1+exp(-2*x)]
 tanh(x)=[exp(2*x)-1]/[exp(2*x)+1]

 1-tanh(x)^2=1/cosh(x)^2

■ {ln[cosh(x/a)]};x=(1/a)*tanh(x/a)

 ${tanh(x/a)*dx}=a*ln[cosh(x/a)]

■ 微分方程式  v'=-(g/Vp^2)*(v^2-Vp^2)

 (v-Vp)/(v+Vp)=C*exp[-2*(g/Vp)*t]

t=0 で v=0 C=-1

 v=Vp*[1-exp(-2*t/Tau)]/[1+exp(-2*t/Tau)]=Vp*tanh(t/Tau)

■ ${tanh(t/Tau)*dt}=Tau*ln[cosh(t/Tau)]

 v=Vp*tanh[(g/Vp)*t]=Vp*tanh(t/Tau) 

 x=${v*dt}=Vp*Tau*ln[cosh(t/Tau)]  {よくできました!2013/10}

t を消去し、v,x の関係式を作る 

 v/Vp=tanh(t/Tau)

 x/(Vp*Tau)=ln[cosh(t/Tau)] exp[x/(Vp*Tau)]=cosh(t/Tau)

1-tanh(x)^2=1/cosh(x)^2 より tanh(x)^2=[cosh(x)^2-1]/cosh(x)^2 だから、

 (v/Vp)^2={exp[2*x/(Vp*Tau)]-1}/exp[2*x/(Vp*Tau)]

 (v/Vp)^2=1-exp[-2*x/(Vp*Tau)]

 v=Vp*root{1-exp[-2*x/(Vp*Tau)]}

『落下運動.慣性抵抗あり』 2015/9

◆ 質点(質量m) 1次元 鉛直方向 x軸 一様な重力場 初速度 0

慣性抵抗力 Fp=Kp*v^2 [Kp]=[力/速さ^2]=[質量/長さ]

Tau=root[m/(Kp*g)]_時間 Vp=g*Tau=root(m*g/Kp)_速さ

■ v=Vp*tanh(t/Tau) x=Vp*Tau*ln[cosh(t/Tau)]

 v=Vp*root{1-exp[-2*x/(Vp*Tau)]}

『落下運動.慣性抵抗あり』 2015/9

t/Tau→

0

1

2

3

10

100

v/Vp

0

0.762

0.964

0.995

1

1

1

x/(Vp*Tau)

0

0.434

1.33

2.31

9.31

99.3

x ⇒ v

0

0.762

0.964

0.995

1

1

1

★ スカイダイビング Vp=50_m/sec Vp=root(m*g/Kp)

 Kp/m=g/Vp^2=9.8/50^2=0.00392

 v=Vp*tanh(g*t/Vp)=50*tanh(0.196*t)

 x=(Vp^2/g)*ln[cosh(g*t/Vp)]=255*ln[cosh(0.196*t)]

 v=50*root[1-exp(-2*x)]

自由落下で最高速度に達するのにかかる時間 T=2*Vp/g=100/9.8~10_sec

▲ 横軸 時間(sec) 縦軸 落下距離(m)

★ 野球のボール D=0.07_m m=0.15_kg

 Vp=2*root(0.15*9.8)/0.07=2*1.21/0.07~35_m/sec

 Kp/m=g/Vp^2=9.8/35^2=0.008

自由落下で最高速度に達するのにかかる時間 T=2*Vp/g=2*35/9.8~7.14_sec

◇投げ上げ.慣性抵抗あり◇

◎ 1次元 一様な重力場(質量に比例する力) 速さの2乗に比例する抵抗(慣性抵抗)

◆ 質点(質量m) 1次元 鉛直方向(上向き) x軸 一様な重力場

慣性抵抗力 Fp=Kp*v^2 [Kp]=[力/速さ^2]=[質量/長さ]

初速度(上向き) v0 Tau=root[m/(Kp*g)]_時間 Vp=g*Tau=root(m*g/Kp)_速さ

T=v0/g_時間 L=v0*T=v0^2/g_長さ

● 抵抗がない場合 t=T で 最高到達点 Y=L/2

■ 運動方程式 m*v'=-m*g-Kp*v^2  簡単に位置は求められないので、まず、速さを求める

 v'=-(Kp/m)*(v^2+m*g/Kp)=-(Kp/m)*(v^2+Vp^2)

 dv/(v^2+Vp^2)=-(Kp/m)*dt

『分子に (x^2+A^2)^n がある式の積分』 2015/9

◆ x=A*tan(a) と置く 〔x:-∞~0~∞〕=〔a:-Pi/2~0~Pi/2〕

 1/(x^2+A^2)=cos(a)^2/A^2 x;a=A/cos(a)^2

■ ${[1/(x^2+A^2)]*dx}=a/A

 ${[1/(x^2+A^2)^(3/2)]*dx}=sin(a)/A^2

 ${[1/(x^2+A^2)^2]*dx}=[2*a+sin(2*a)]/(4*A^3)

 ${[1/(A^2+x^2)^(5/2)]*dx}=(3*sin(a)-sin(a)^3)/(3*A^4)

 ${[x^2/(A^2+x^2)^(5/2)]*dx}=sin(a)^3/(3*A^2)

  dv/(v^2+Vp^2)=-(Kp/m)*dt

v=Vp*tan(a) arctan(v/Vp)=a と置いて積分すると a/Vp=-(Kp/m)*t+積分定数

 a=-(Kp*Vp/m)*t+積分定数

ここで Kp*Vp/m=Kp*root(m*g/Kp)/m=root(Kp*g/m)=1/Tau

 a=-t/Tau+積分定数

t=0 のとき v=v0 , a=a0=arctan(v0/Vp) 積分定数=arctan(v0/Vp)

 a=-t/Tau+arctan(v0/Vp)

 arctan(v/Vp)=-t/Tau+arctan(v0/Vp)

 v/Vp=tan[-t/Tau+arctan(v0/Vp)] 〔0≦t≦Tau*arctan(v0/Vp)〕 

〔Tau=root[m/(Kp*g)] Vp=g*Tau=root(m*g/Kp)〕

v=0 になるのは、 

 0=Vp*tan[-t/Tau+arctan(v0/Vp)] t/Tau=arctan(v0/Vp) 

▲ v0=Vp のとき arctan(v0/Vp)=arctan(1)=Pi/4~0.785

 v/Vp=tan[-t/Tau+Pi/4]

t/Tau→

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Pi/4

v/Vp

1

0.82

0.66

0.53

0.41

0.29

0.19

0.09

0

■ tan[-t/Tau+arctan(v0/Vp)]=-t/Tau+arctan(v0/Vp) と見なせる場合

 x
=Vp*${v*dt}〔t:0~t〕
=Vp*${[-t/Tau+arctan(v0/Vp)]*dt}〔t:0~t〕
=Vp*[-t^2/(2*Tau)+arctan(v0/Vp)*t]〔t:0~t〕
=-(1/2)*(Vp/Tau)*t^2+Vp*arctan(v0/Vp)*t
=-(1/2)*g*t^2+Vp*arctan(v0/Vp)*t

t/Tau=arctan(v0/Vp) のとき(v=0)、

 x
=-(1/2)*g*Tau^2*arctan(v0/Vp)^2+Vp*Tau*arctan(v0/Vp)^2
=(1/2)*g*Tau^2*arctan(v0/Vp)^2 

  最高到達点

≫ x=(1/2)*g*Tau^2*arctan(v0/Vp)^2  最高到達点

v0=Vp のとき 最高到達点 x
=(1/2)*g*Tau^2*arctan(1)^2
=(1/2)*g*Tau^2*(Pi/4)^2
~0.31*g*Tau^2 


◎ 以上は、v と t の関係であった v と x の関係を知りたい

◇ 微分 ;x 時間微分 '

■ 運動方程式 m*v'=-m*g-Kp*v^2

 v'=(v;x)*x'=(v;x)*v を使って、

 m*(v;x)*v=-m*g-Kp*v^2

 (v;x)*v=-g-(Kp/m)*v^2=-(Kp/m)*[v^2+m*g/Kp]=-(Kp/m)*[v^2+Vp^2]

 dv*v/[v^2+Vp^2]=-(Kp/m)*dx

${[x/(x^2+A^2)]*dx}=(1/2)*${d(x^2)/(x^2+A^2)}=(1/2)*ln(x^2+A^2)

 ln(v^2+Vp^2)=-2*(Kp/m)*x+積分定数

t=0 で v=v0 , x=0 として ln(v0^2+Vp^2)=積分定数

 ln(v^2+Vp^2)=-2*(KP/m)*x+ln(v0^2+Vp^2)

 ln[(v^2+Vp^2)/(v0^2+Vp^2)]=-2*(KP/m)*x

 x=-(1/2)*(m/Kp)*ln[(v^2+Vp^2)/(v0^2+Vp^2)]

m/Kp=g*Tau^2 とも表せるから、

 x=-(1/2)*g*Tau^2*ln[(v^2+Vp^2)/(v0^2+Vp^2)] 

▲ v=v0 のとき x=-(1/2)*g*Tau^2*ln[(v0^2+Vp^2)/(v0^2+Vp^2)]=0

v=0 のとき x
=-(1/2)*g*Tau^2*ln[Vp^2/(v0^2+Vp^2)]
=-(1/2)*g*Tau^2*ln{1/[1+(v0/Vp)^2]}
=+(1/2)*g*Tau^2*ln[1+(v0/Vp)^2]

≫ x=(1/2)*g*Tau^2*ln[1+(v0/Vp)^2] 〔g*Tau^2=m/Kp〕  最高到達点

v0=Vp のとき 最高到達点 x=(1/2)*g*Tau^2*ln(2)~0.35*g*Tau^2 

※ tan[-t/Tau+arctan(v0/Vp)]=-t/Tau+arctan(v0/Vp) と見なせる場合の最高到達点の結果が、v0=Vp のとき、

 最高到達点 x~0.31*g*Tau^2 であった{いいね〜!2015/9}

『一様な重力場での投げ上げ.慣性抵抗あり』 2015/9

◆ 質点(質量m) 1次元 鉛直方向(上向き) x軸 一様な重力場

慣性抵抗力 Fp=Kp*v^2 初速度(上向き) v0

Tau=root[m/(Kp*g)]_時間 g*Tau^2=m/Kp Vp=g*Tau=root(m*g/Kp)_速さ

■ 運動方程式 m*v'=-m*g-Kp*v^2

 v/Vp=tan[-t/Tau+arctan(v0/Vp)]

v=0 になるのは t/Tau=arctan(v0/Vp)

v'=(v;x)*x'=(v;x)*v を使って 運動方程式 m*(v;x)*v=-m*g-Kp*v^2

 x=-(1/2)*g*Tau^2*ln[(v^2+Vp^2)/(v0^2+Vp^2)]

最高到達点 x=(1/2)*g*Tau^2*ln[1+(v0/Vp)^2]

◇粘性抵抗+慣性抵抗.一様な重力場◇

◎ 1次元 一様な重力場(質量に比例する力)

◆ 質点(質量m) 初速度 0 重力 Fg=m*g 抵抗力 Fr=Kv*v+Kp*v^2

■ 重力と抵抗がつり合うのは m*g=Kv*Vvp+Kp*Vvp^2

 Kp*Vvp^2+Kv*Vvp-m*g=0 

 Vvp=[-Kv+root(Kv^2+4*Kp*m*g)]/(2*Kp)  -の項は不適切

ここで Vvp.=[+Kv+root(Kv^2+4*Kp*m*g)]/(2*Kp)  と置くと、

 Vvp のもうひとつの解(不適切な解)=-Vvp. と表せる。

 Vvp+Vvp.=root(Kv^2+4*Kp*m*g)/Kp

 Kp*Vvp^2+Kv*Vvp-m*g=Kp*(v-Vvp)*(v+Vvp.) 

■ 力、運動の方向をx軸とする。

運動方程式 m*v'=m*g-Kv*v-Kp*v^2 

 右辺=-Kp*(v-Vvp)*(v+Vvp.)

 v'/[(v-Vvp)*(v+Vvp.)]=-Kp/m

 1/[(v-Vvp)*(v+Vvp.)]=[1/(v-Vvp)-1/(v+Vvp.)]/(Vvp+Vvp.)

 v'*[1/(v-Vvp)-1/(v+Vvp.)]=-Kp*(Vvp+Vvp.)/m

両辺を時間で積分して、Kp*(Vvp+Vvp.)/m=k と置くと、

 ln[(v-Vvp)/(v+Vvp.)]=-k*t+C

 (v-Vvp)/(v+Vvp.)=-(Vvp/Vvp.)*exp(-k*t) t=0 で v=0

 v-Vvp=-(v+Vvp.)*(Vvp/Vvp.)*exp(-k*t)

 v+v*(Vvp/Vvp.)*exp(-k*t)=-Vvp*exp(-k*t)+Vvp

 v*[1+(Vvp/Vvp.)*exp(-k*t)]=Vvp*[1-exp(-k*t)]

 v=Vvp*[1-exp(-k*t)]/[1+(Vvp/Vvp.)*exp(-k*t)] 

 ※ k=Kp*(Vvp+Vvp.)/m
 Vvp=[-Kv+root(Kv^2+4*Kp*m*g)]/(2*Kp)
 Vvp.=[+Kv+root(Kv^2+4*Kp*m*g)]/(2*Kp)

☆人工衛星の速さ☆

◎ 人工衛星の速さ

◆ 地球の表面上高さ H 質量 m 速さ v_m/sec 円運動

地球の半径(赤道) Re=6.378*Ten(6)_m 地球の重力加速度{定義値}=9.807_m/sec^2

■ v^2/(Re+H)=g*[Re/(Re+H)]^2

 v=root(g*Re)*root[Re/(Re+H)]

ここで root(g*Re)=root[9.807*6.378*Ten(6)]=7.909*Ten(3)_m

 v=7.909*Ten(3)*root[Re/(Re+H)]_m/sec

★ H=200_km のとき、

 root[Re/(Re+H)]=root(6378/6578)~0.9847

 v=7.909*Ten(3)*0.9847~7.788_m/sec 

☆人工衛星が受ける空気抵抗☆

◆ 人工衛星 質量 10_kg 断面積 0.5_m^2

高さ 200_km 円軌道 速さ 7.788_m/sec

空気の密度 1.6*Ten(-10)_kg/m^3

■ 力=運動量の変化量

空気分子の速さは無視できるとする。人工衛星に対して、相対速度 7.788_m/sec で衝突し、ほぼ止まるとする。

 力
=運動量の変化量
=1秒間あたりの運動量の変化量
=1.6*Ten(-10)*0.5*7.788
~6.23*Ten(-10)_N

慣性抵抗あり.1次元

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