物理 力学 2021.8-2014.7 Yuji.W

☆ 運動.慣性抵抗あり ☆

〇 空気抵抗 速さの2乗に比例する抵抗 慣性抵抗 pressure drag 外力なし.慣性抵抗あり 一様な重力場.落下運動.慣性抵抗あり  

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● 2*3=6 6/2=3 3^2=9 1000=10^3=Ten(3|   000 py- 0table-202012 
微分 : 偏微分 ; 積分 $ ネイピア数 e 虚数単位 i e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 単位ベクトル <Au> 内積 * 外積 #   2021.8 

〓 微分方程式.変数分離 〓 

◎ 変数 x x の関数 y y の関数 z ${z*(y;x)*dx}=${z*dy}

〇 微分方程式 g(y)*(y;x)=f(x)

● ${g(y)*dy}=${f(x)*dx} 

〓 慣性抵抗 〓 

慣性抵抗係数 Kp 慣性抵抗力 Fp=Kp*v^2

空気密度 ρ 地球の地表付近で 1.29_kg/m^3 物体の断面積 A

物体の形による定数 Cd 平面で 1 球で 1/2 物体の表面に凹凸がない 物体は回転していない

● Kp=(1/2)*Cd*ρ*A

● 球 半径 R_m

 Kp=(1/2)*(1/2)*1.29*(Pi*R^2)~1.01*R^2  

★ 硬球 半径 37_mm Kp=1.01*0.037^2~0.0014


〓 外力なし.慣性抵抗あり 〓 

◎ 速さの2乗による抵抗力を受け、徐々に遅くなる

直線上の運動 質点(質量m) 外力なし 時間 t 速さ v t=0 で v=v0 >0

速さの2乗に比例する抵抗(慣性抵抗) 慣性抵抗力 Fp=Kp*v^2 [Kp]=[kg/m]

 Tau=m/(Kp*v0)

● 運動方程式 v;t=-(Kp/m)*v^2

 (v;t)/v^2=-Kp/m 変数分離形の微分方程式

t で積分すると、

 (左辺)=${(v;t)*dt/v^2}=${dv/v^2}=-1/v

 (右辺)=-Kp/m*${1*dt}=-(Kp/m)*t

積分定数 C として -1/v=-(Kp/m)*t+C 

t=0 で v=v0 だから C=-1/v0

 1/v=(Kp/m)*t+1/v0 

 v0/v=1+(Kp*v0/m)*t=1+t/Tau

 v/v0=1/(1+t/Tau)  

〓 y;x+a*y^2=b 〓 

〇 正の定数 a,b 微分方程式 y;x+a*y^2=b x=0 のとき y=0

● -root(b/a)<y<root(b/a) で 増加関数 漸近線 y=root(b/a) , y=-root(b/a)

● 解 y=root(b/a)*tanh[root(a*b)*x] 


〓 一様な重力場.落下運動.慣性抵抗あり 〓 

◎ スカイダイビング  初速度 0 だから、慣性抵抗はなく、質点には重力のみが働き、自由落下を始める。初めのうちは、重力が慣性抵抗よりも大きく、徐々に速さが増す。速さが増せば、慣性抵抗も大きくなる。やがて、慣性抵抗が重力と同じになり、質点には力が働かない。それ以降は、等速直線運動になる。

直線上の運動 質点(質量m) 一様な重力場 重力加速度 g

時間 t 速さ v 慣性抵抗力 Fp=Kp*v^2 [Kp]=[kg/m]

 Vp=root(m*g/Kp) Tau=Vp/g=root[m/(Kp*g)]

t=0 で v=0

● 慣性抵抗が重力と釣り合うとき、

 m*g=Kp*v^2 v=root(m*g/Kp)=Vp  最終速度 

★ スカイダイビング Vp=50_m/sec

● 運動方程式 v;t=-(g/Vp^2)*v^2+g

Tau=Vp/g として 解 v=Vp*tanh(t/Tau)  

 x=${v*dt}=Vp*Tau*ln[cosh(t/Tau)]  

t->∞ tanh(t/Tau)->1 v->Vp

● v/Vp=tanh(t/Tau) & x/(Vp*Tau)=ln[cosh(t/Tau)] より、時間を消去して、速さと距離の関係を求める。

 exp[x/(Vp*Tau)]=cosh(t/Tau)

1-tanh(x)^2=1/cosh(x)^2 より tanh(x)^2=[cosh(x)^2-1]/cosh(x)^2 だから、

 (v/Vp)^2={exp[2*x/(Vp*Tau)]-1}/exp[2*x/(Vp*Tau)]

 (v/Vp)^2=1-exp[-2*x/(Vp*Tau)]

 v=Vp*root{1-exp[-2*x/(Vp*Tau)]}  

t/Tau

0

1

2

3

10

100

v/Vp

0

0.762

0.964

0.995

1

1

1

x/(Vp*Tau)

0

0.434

1.33

2.31

9.31

99.3


〓 {計算例}一様な重力場.落下運動.慣性抵抗あり 〓 

スカイダイビング Vp=50_m/sec

● Vp=root(m*g/Kp) より、

 Kp/m=g/Vp^2=9.8/50^2=0.00392

 v=Vp*tanh(g*t/Vp)=50*tanh(0.196*t)

 x=(Vp^2/g)*ln[cosh(g*t/Vp)]=255*ln[cosh(0.196*t)]

 v=50*root[1-exp(-2*x)]

自由落下で最高速度に達するのにかかる時間 T=2*Vp/g=100/9.8~10_sec

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