お勉強しよう 〕 物理.力学

2016/10-2012 Yuji.W

位置エネルギー.1次元

. 位置エネルギー≠ポテンシャル 保存力 ☆ potential energy conservative force

◇ ベクトル<A> 単位ベクトル<Au> 内積* 外積# 〔物理定数〕.  .
◆ ネイピア数 e 虚数単位 i exp(i*x)=expi(x) 微分;x 積分$ 10^x=Ten(x)

◇一定の力による位置エネルギー.1次元◇

◎ 一定の力が働く場合

◆ 1質点の直線上の運動 x軸正の方向に一定の大きさの力 F0

x=x1 から x=x2 まで動かすのに、その力がした仕事 W(x1~x2)

その力の位置エネルギー U(x)

 (位置エネルギーの差)=U(x1)-U(x2)=(その力が x1~x2 で、した仕事) .

■ W(x1~x2)=F0*(x2-x1)

 U(x1)-U(x2)=W(x1~x2)=F0*(x2-x1)

基準点:x2 U(x2)=U0 とすれば U(x1)=U0+F0*(x2-x1)

基準点:x1 U(x1)=U0 とすれば U(x2)=U0-F0*(x2-x1)


◎ 力の方向:正の方向

◆ 一様な重力場 重力加速度 g 質点の質量 m 重力の方向:z軸正の方向

1質点が重力を受け、z=z1 から z=z2 まで落ちる

重力がした仕事 W(z1~z2) 重力の位置エネルギー U(z)

■ W(z1~z2)=m*g*(z2-z1)

 U(z1)-U(z2)=W(z1~z2)=m*g*(z2-z1)

基準点:z1=0 U(z1)=0 とすれば U(z2)=-m*g*z2 .


◎ 力の方向:負の方向

◆ 一様な重力場 重力加速度 g 質点の質量 m 重力の方向:z軸負の方向

1質点が重力を受け、z から 原点まで落ちる

重力がした仕事 W(z~0) 重力の位置エネルギー U(z) U(0)=0

■ W(z1~0)=-m*g*(0-z)=m*g*z

 U(z)-U(0)=W(z~0)=m*g*z

 U(z)=m*g*z .

{別解} U(0)-U(z)=(-m*g)*(z-0)

 U(z)=U(0)-(-m*g)*(z-0)=m*g*z ‖

◇重力ポテンシャル◇

◎ 位置エネルギーとポテンシャルは区別すべき{!}

◆ 一様な重力場 重力加速度 g 質点の質量 m 重力の方向:z軸負の方向

重力の位置エネルギー U(z) 基準点:原点 U(0)=0

 (重力ポテンシャル)=(単位質量あたりの重力位置エネルギー) φ(z)

■ U(z)=m*g*z

 φ(z)=U(z)/m=g*z .

◇位置エネルギー.1次元◇

◆ 1質点の直線上の運動 x軸の方向に力 F(x)

x=x1 から x=x2 まで動かすのに、その力がした仕事 W(x1~x2)

その力の位置エネルギー U(x)

■ x~x+dx 動かすのにした仕事 dW=F(x)*dx

 W(x1~x2)=${F(x)*dx}[x:x1~x2]

 (位置エネルギーの差)=U(x1)-U(x2)=${F(x)*dx}[x:x1~x2] .

■ x2⇒x0 x1⇒x と書き直し x0=定数 x=変数 と考えれば、

 U(x)-U(x0)=${F(x)*dx}[x:x~x0]=-${F(x)*dx}[x:x0~x]

≫ U(x)=-${F(x)*dx}[x:x0~x]+U(x0)

また U(x);x=-F(x)

『位置エネルギー.1次元』 2016/10

◆ 1質点の直線上の運動 x軸の方向に力 F(x) 位置エネルギー U(x)

■ U(x)=-${F(x)*dx}[x:x0~x]+U(0) U(x);x=-F(x)

※ F(x)がx軸の正の方向に向いていれば F(x)>0 とする

{やっと、符号の謎が解明できた!2016/10}

◇1電荷による位置エネルギー◇

◆ 原点に電荷 Q 別の電荷 q 原点からの距離 r に別の電荷 q

電荷qが電荷Qによる力を受け r1~r2 まで移動する事を考える

電荷qが受ける力の大きさ F(r) 電荷Qがした仕事 W(r1~r2)

電荷qの電荷Qによる位置エネルギー U(r)

電荷Qによるポテンシャル(電位) φ(r)=U(r)/q

◇ クーロン力定数 ke

■ F(r)=ke*q*Q/r^2

 W(r1~r2)=ke*q*Q*${dr/r^2}[r:r1~r2]

ここで ${dr/r^2}[r:r1~r2]=[-1/r][r:r1~r2]=1/r1-1/r2

 W(r1~r2)=ke*q*Q*(1/r1-1/r2)

 U(r1)-U(r2)=ke*q*Q*(1/r1-1/r2)

r2 を 基準点:無限遠 U(r2)=0 とすれば、

 U(r1)=ke*q*Q*/r1

一般に U(r)=ke*q*Q*/r φ(r)=U(r)/q=ke*Q*/r .

{いろいろな事がまとまってきた!2016/10}

☆位置エネルギー.1次元の運動☆

保存力 位置だけの関数で表す事のできる力 F

スカラー関数 U を使って次のように表せる F=-U;x .

 dU=(U;x)*dx=-F*dx=位置エネルギーの増加量

※ マイナスがついているのは、エネルギーの高い方から低い方に、力の方向にしたいからである。

★ |-www-● バネ(ばね定数 k) 質点(質量 m)

 U(x)=(1/2)*k*x^2 F=-U;x=-k*x

★ |-www-●-www-●-www-| バネ3つ(ばね定数 k) 2質点(質量 m)

質点の位置(平衡点からのずれ) x1,x2

 U(x1,x2)=(1/2)*k*[x1^2+x2^2+(x1-x2)^2]

質点1への力 F1=-U;x1=-k*[x1+(x1-x2)]=-k*(2*x1-x2)

質点2への力 F2=-U;x2=-k*[x2-(x1-x2)]=-k*(2*x2-x1)

{なるほど、こうやって求めていくのだ。わかってなかった!2014/3}

★ ●---◎ 2質点(質量 m1,m2) 位置 x1,x2 x1>x2 重力のみ働く

 U(x1,x2)=-G*m1*m2/(x1-x2)

質点1への力 F1=-U;x1=-G*m1*m2/(x1-x2)^2
質点2への力 F2=-U;x2=+G*m1*m2/(x1-x2)^2

★ ●---◎---○ 3質点(質量 m1,m2,m3) 位置 x1,x2,x3 x1>x2>x3 重力のみ働く

 U(x1,x2,x3)=-G*[m1*m2/(x1-x2)+m2*m3/(x2-x3)+m1*m3/(x1-x3)]

質点1への力 F1=-U;x1=-G*m1*[m2/(x1-x2)^2+m3/(x1-x3)^2]
質点2への力 F2=-U;x2=+G*m2*[m1/(x1-x2)^2-m3/(x2-x3)^2]
質点3への力 F3=-U;x3=+G*m3*[m1/(x1-x3)^2+m2/(x2-x3)^2]

{うまくできてるなあ。ここまで教えてほしかったなあ!2014/3}

重力と摩擦力の違いについて 

両方とも一定の力 F が働く場合 位置エネルギー U=F*x と立式できるが、摩擦力については、普通、そういう扱いはしない。理由は、

@ 摩擦力は、エネルギーを消費するだけであって、その力から他に有用なエネルギーに変換する事はできない。

A どの方向に動かしても、摩擦力は、エネルギーを消費するだけである。

B ある地点から動かし、またその地点に戻ってきた場合、摩擦力がした仕事は 0 にはならない。

☆エネルギー保存.1次元の運動☆

◆ 1質点1次元の運動 質量 m 位置 x 速さ v=x'

運動エネルギー K=(1/2)*m*v^2 位置エネルギー U 力 F=-U;x

■ 時間微分 '  運動方程式 m*v'=F を使うと、

 (K+U)'
=K'+U'
=m*v*v'-(U;x)*x'
=m*v*v'-F*v
=v*(m*v'-F)
=v*0
=0

 (K+U)'=0 .K+U は時間に依らない一定の値

.  位置エネルギー.1次元  .

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