物理 力学

2015/9-2014/7 Yuji.W

☆放物運動.空気抵抗あり

◎ 空気抵抗があるときの放物運動 粘性抵抗 慣性抵抗

◇ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分; 
時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) e^(i*x)=expi(x) 物理定数  2015/08/14

☆空気抵抗☆

■ 空気抵抗は、物体の速さに比例するもの、速さの2乗に比例するものを考えることができる。

@粘性抵抗 速さに比例する抵抗 抵抗力 Fv=Kv*v

  [Kv]=[N*sec/m]=[(Kg*m/sec^2)*(sec/m)]=[Kg/sec]

A慣性抵抗(圧力抵抗) 速さの2乗に比例する抵抗 物体が大気分子と衝突する効果

 抵抗力 Fp=Kp*v^2

■ 空気密度 ρ=1.29_kg/m^3 地球の地表付近

 A慣性抵抗係数 Kp=(1/2)*Cd*ρ*面積

Cd は、物体の形による定数 平面で 1 球で 1/2

■ @+A 球(直径 D)で Fr=β*D*v+Γ*D^2*v^2

 β=1.6*Ten(-4)_N*sec/m^2

 Γ=(1/2)*Cd*ρ*(Pi/4)=(1/16)*1.29*Pi=0.25_N*sec^2/m^4

 Fp/Fv
=Γ*D^2*v^2/(β*D*v)
={0.25/[1.6*Ten(-4)]}*D*v
~1600*D*v

D の単位を mm にすれば Fp/Fv~1.6*D*v

▲ 雨粒 1mm 1m/sec Fp/Fv~1 粘性抵抗と慣性抵抗が同程度

野球のボール、落下する人間 Fp/Fv>>1 慣性抵抗が主になる

■ 慣性抵抗による最終速度 Vp=root(m*g/Kp)

球(直径D)の場合 Kp=Γ*D^2=0.25*D^2 Vp=2*root(m*g)/D

★ 野球のボール D=0.07_m m=0.15_kg

 Vp=2*root(0.15*9.8)/0.07=2*1.21/0.07~35_m/sec

★ 人間スカイダイビング 普通 Vp=50_m/sec

記録 Vp=372_m/sec (35_sec)

☆放物運動.粘性抵抗あり☆

◎ 一様な重力場 速度に比例する抵抗

◆ 粒子の質量 m 抵抗力 Fv=Kv*v 水平方向 x軸 鉛直方向(上向き) y軸

初速度[xy平面上 速さ v0 x軸と作る角 a] 速度 <v>=<vx vy> 位置 <r>=<x y>

Tau=m/Kv_時間 V=g*Tau_速さ

『粘性抵抗あり.外力なし.1次元の運動』 2015/8

◆ 1質点1次元 質量 m 速さ v(t) 初速度 v0 粘性抵抗力 Fv=Kv*v

平均時間 Tau=m/Kv_時間

■ v=v0*exp(-t/Tau) x=v0*Tau*[1-exp(-t/Tau)]

『粘性抵抗あり.一様な重力場.投げ上げ.1次元』 2015/8

◆ 質点 質量 m 位置(鉛直上方に) x 粘性抵抗係数 Kv

Tau=m/Kv_時間 V=g*Tau_速さ

■ v=(v0+V)*exp(-t/Tau)-V x=(v0+V)*Tau*[1-exp(-t/Tau)]-V*t

■ 慣性抵抗の大きさと方向

 慣性抵抗の大きさ=Kv*root(vx^2+vy^2) 方向 ∝ <vx vy>

 慣性抵抗のx成分=[Kv*root(vx^2+vy^2)]*[vx/root(vx^2+vy^2)]=Kv*vx 

同様に 慣性抵抗のy成分=Kv*vy 

{以上の事がわからず、ずいぶん悩んだ!2015/8}

■ 水平方向 外力は働かないから、

 vx=v0*cos(a)*exp(-t/Tau) x=v0*cos(a)*Tau*[1-exp(-t/Tau)] 

鉛直方向 一様な重力が働き、

 vy=[v0*sin(a)+V]*exp(-t/Tau)-V y=[v0*sin(a)+V]*Tau*[1-exp(-t/Tau)]-V*t 

 〔Tau=m/Kv_時間 V=g*Tau_速さ〕

t->∞ で、 

 vx->0 x->v0*cos(a)*Tau vy->-V y->∞ まっすぐ下に、等速で落ちる運動

☆粘性抵抗ありの場合の水平到達距離☆

◎ 一様な重力場 速度に比例する抵抗

◆ 水平到達距離 X その時の時刻 T ただし [Kv<<1 Tau>>1] の場合

■ exp(-t/Tau)=1-t/Tau とすると、有用な結果を得られないので、

 exp(-t/Tau)=1-t/Tau+(t/Tau)^2 とする

t=T で y=0 , x=X

 X=v0*cos(a)*(1-T/Tau)*T @

 0=[v0*sin(a)+V]*Tau*[T/Tau-(T/Tau)^2]-V*T A

Aより T≠0 として T=v0*sin(a)*Tau/[v0*sin(a)+V]

 1-T/Tau
=1-v0*sin(a)/[v0*sin(a)+V]
={[v0*sin(a)+V]-v0*sin(a)}/[v0*sin(a)+V]
=V/[v0*sin(a)+V] 

 X
=v0*cos(a)*{V/[v0*sin(a)+V]}*{v0*sin(a)*Tau/[v0*sin(a)+V]}
=[sin(2*a)/2]*v0^2*V*Tau/[v0*sin(a)+V]^2
=[sin(2*a)/2]*v0^2*g*Tau^2/[v0*sin(a)+g*Tau]^2 

さらに v0/V=v0/(g*Tau)<<1 と見なせれば、

 X=[sin(2*a)/2]*v0^2*g*Tau^2/(g*Tau)^2=[sin(2*a)*(v0^2/g)]/2

ここで [~]=[抵抗のない場合の水平到達距離] だから、

 X=[抵抗のない場合の水平到達距離]/2 

☆放物運動.慣性抵抗あり☆

◎ 一様な重力場 放物運動 速度の2乗に比例する抵抗

◆ 質量 m 水平方向 x軸 鉛直方向 y軸 重力加速度 g

速度 <v>=<vx,vy>=<vu>*v v=root(vx^2+vy^2)

t=0 で原点 初速度 <v0>=<v0x,v0y>=<vu>*v0

慣性抵抗力 <Fp>=<vu>*Kp*v^2

 Fpx=Kp*v^2*vx/v=Kp*v*vx Fpy=Kp*v*vy 

■ 運動方程式 m*vx'=-Kp*root(vx^2+vy^2)*vx
 m*vy'=-m*g-Kp*v*vy=-m*g-Kp*root(vx^2+vy^2)*vy

 vx'=-(Kp/m)*root(vx^2+vy^2)*vx
 vy'=-g-(Kp/m)*root(vx^2+vy^2)*vy

★ 野球のボール Vp=35_m/sec Kp/m=0.008

 vx'=-0.008*root(vx^2+vy^2)*vx
 vy'=-9.8-0.008*root(vx^2+vy^2)*vy

▲ こういう図が掲載されている資料は見つからない{2014/7!}

放物運動.空気抵抗あり 

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