☆ 放物運動 ☆ |
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◎ 一様な重力場での運動 {高校の内容だと思って、バカにしていたが、難しい所もあった!} ★_ |
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ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $ |
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〓 放物運動 〓 ◎ 一様な重力場での運動 空気抵抗なし ● 地球表面上の重力加速度 g=9.807_m/sec^2 ◆ 1質点(質量 m) 鉛直方向(y軸)に一様な重力 重力加速度 g 水平方向 x軸 初速度の大きさ v0 初速度はxy平面上 初速度のx軸に対する角度 a 0<a<Pi/2 初速度 v0*<cos(a) sin(a)> 運動はxy平面上に限られる t=0 で原点 水平到達距離 X 最高到達点 Y 次の量を導入する T=v0/g_時間 L=v0*T=v0^2/g_長さ ■ x=v0*cos(a)*t y=-(g/2)*t^2+v0*sin(a)*t vx=x'=v0*cos(a) vy=y'=-g*t+v0*sin(a) 水平到達距離 X を求めよう y=0 を解いて t=0 , t=2*v0*sin(a)/g=2*T*sin(a) t=2*T*sin(a) のとき X=[v0*cos(a)]*[2*v0*sin(a)/g]=L*sin(2*a) ★ そのとき vx=v0*cos(a) vy=-g*[2*T*sin(a)]+v0*sin(a)=-v0*sin(a) vx^2+vy^2=[v0*cos(a)]^2+[-v0*sin(a)]^2=v0^2 {当然!2015/5} 最高到達点 Y を求めよう y=-(g/2)*t^2+v0*sin(a)*t=-(g/2)*[t-v0*sin(a)/g]^2+(v0^2/g)*sin(a)^2/2 t=v0*sin(a)/g=T*sin(a) のとき Y=(v0^2/g)*sin(a)^2/2=L*sin(a)^2/2 ★ そのとき vx=v0*cos(a) vy=-g*[T*sin(a)]+v0*sin(a)=0 {当然!2015/5} {別解} エネルギーの関係より、 (1/2)*m*v0^2=m*g*Y+(1/2)*m*[v0*cos(a)]^2 v0^2=2*g*Y+[v0*cos(a)]^2 2*(g/v0^2)*Y=1-cos(a)^2=sin(a)^2 Y=(v0^2/g)*sin(a)^2/2=L*sin(a)^2/2 ★ ■ a=Pi/4 のとき t=(root2/2)*T で Y=L/4 t=root2*T で X_max=L ★ a=Pi/2 のとき t=T で Y_max=L/2 ★
★ v0=30_m/sec~108_km/h のとき T=v0/g~3.06_sec L=v0^2/g=30^2/9.807~91.8_m a=Pi/4 のとき t~2.16_sec Y=23.0_m t=4.33_sec で X_max=91.8_m a=Pi/2 のとき t=3.06_sec で Y_max=45.9_m {すべて、空気抵抗がない場合!2015/5} ★ v0=160_m/sec~44.4_m/sec のとき、 T=v0/g~4.53_sec L=v0^2/g=201_m a=Pi/4 のとき t~3.20_sec Y=50_m t=6.36_sec で X_max=201_m a=Pi/2 のとき t=4.53_sec で Y_max=101_m |
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〓 放物運動-到達可能範囲 〓 ◎ 一様な重力場での運動 空気抵抗なし ● 地球表面上の重力加速度 g=9.807_m/sec^2 ◆ 1質点(質量 m) 鉛直方向(y軸)に一様な重力 重力加速度 g 水平方向 x軸 初速度の大きさ v0 初速度はxy平面上 初速度のx軸に対する角度 a 0<a<Pi/2 初速度 v0*<cos(a) sin(a)> 運動はxy平面上に限られる t=0 で原点 水平到達距離 X 最高到達点 Y v0^2/g=L_距離 v0/g=T_時間 X=L*sin(2*a) Y=L*sin(a)^2/2 ■ x=v0*cos(a)*t y=-(g/2)*t^2+v0*sin(a)*t t を消去して y=-(g/2)*x^2/[v0*cos(a)]^2+v0*sin(a)*x/[v0*cos(a)] y=-x^2/[2*L*cos(a)^2]+tan(a)*x ここで h=tan(a) と置くと、 y=-(1+h^2)*x^2/(2*L)+h*x 2*L*y=-(1+h^2)*x^2+2*L*h*x x^2*h^2-2*L*x*h+2*L*y+x^2=0 h の2次方程式とみなし、h が実数解を持つ条件を求めて、 (L*x)^2-x^2*(2*L*y+x^2) ≧ 0 L^2*x^2-2*L*y*x^2-x^4 ≧ 0 x^2 ≧ 0 より L^2-2*L*y-x^2 ≧ 0 y ≦ -x^2/(2*L)+L/2 放物線 y=-x^2/(2*L)+L/2 より下の部分 |
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〓 放物運動の最高到達地点 〓 ◎ 一様な重力場での運動 空気抵抗なし ◆ 1質点(質量 m) 鉛直方向(y軸)に一様な重力 重力加速度 g 水平方向 x軸 初速度の大きさ v0 初速度はxy平面上 初速度のx軸に対する角度 a v0^2/g=L_距離 v0/g=T_時間 ■ 最高到達点(放物線の頂点) t=T*sin(a) x=L*sin(2*a)/2 y=L*sin(a)^2/2 a を消去したい sin(a)^2=[1-cos(2*a)]/2 を使って y=L*[1-cos(2*a)]/4 sin(2*a)^2+cos(2*a)^2=1 だから、 (2*x/L)^2+(1-4*y/L)^2=1 [x/(L/2)]^2+[(y-L/4)/(L/4)]^2=1 ★ |
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〓 曲率半径 〓
◎ 放物運動の頂点での曲率半径 ◆ a=70° Y=9.75m のとき ■ 9.75=L*sin(70°)^2/2 ⇒ L=2*9.75/sin(70°)^2~20.8_m v0=root(L*g)=root(20.8*9.81)~14.3_m x=v0*cos(70°)*t=4.89*t y=-g*t^2/2+v0*sin(70°)*t=-4.91*t^2+13.44*t y=-4.905*(x/5.03)^2+13.44*x/5.03~-0.194*x^2+2.748*x 頂点での曲率半径 Rc=1/(2*0.194)~2.58_m |
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〓 放物運動-2- 〓 ◎ 高さ h から ◆ t=0 で x=0,y=h t=T>0 で x=X,y=0 ■ x=v0*cos(a)*t y=-(g/2)*t^2+v0*sin(a)*t+h=-(g/2)*(t-v0*sin(a)/g)^2+(v0^2/g)*sin(a)^2/2+h 最高到達点の高さ Y=(v0^2/g)*sin(a)^2/2+h ■ 0=-(g/2)*t^2+v0*sin(a)*t+h t^2-2*(v0*sin(a)/g)*t-2*(h/g)=0 t=(v0/g)*[sin(a)+root(sin(a)^2+2*g*h/v0^2)] ここで 2*g*h/v0^2=k と置くと t=(v0/g)*[sin(a)+root(sin(a)^2+k)] そのとき 水平到達距離 X=(v0^2/g)*cos(a)*[sin(a)+root(sin(a)^2+k)] ■ a の値を変化させたときの、X の最大値を求めたい。X;a=0 と解く。 X ∝ cos(a)*sin(a)+cos(a)*root(sin(a)^2+k)] 以下、なるべく、sin(a) で表していく方針にする。0<a<Pi/2 0<sin(a)<1 (cos(a)*sin(a));a=-sin(a)^2+cos(a)^2=1-2*sin(a)^2 [cos(a)*root(sin(a)^2+k)];a X;a X;a=0 となる sin(a) を求めたい。 (1-2*sin(a)^2)*[root(sin(a)^2+k)+sin(a)]-k*sin(a)=0 (1-2*sin(a)^2)*root(sin(a)^2+k)=sin(a)*(2*sin(a)^2+k-1) 両辺を2乗して整理すると、思いかけず簡単になって、 sin(a)^2=1/(2+k) 水平到達距離を最大にする角度 a=arcsin[1/root(2+2*g*h/v0^2)] ★ {できた!2014/10} ■ このとき cos(a)=root(1-sin(a)^2)=root[(1+k)/(2+k)] root(sin(a)^2+k)=root[1/(2+k)+k]=(1+k)/root(2+k) sin(a)+root(sin(a)^2+k)=1/root(2+k)+(1+k)/root(2+k)=root(2+k) まとめて X=(v0^2/g)*root[(1+k)/(2+k)]*root(2+k)=(v0^2/g)*root(1+k) すなわち X=(v0^2/g)*root(1+2*g*h/v0^2) ★ {1日かかった!2014/} |
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〓 放物運動-3- 〓 ◎ 水平到達距離に達してからの運動 ◆ 一様な重力場 放物運動 初速度 v0 投げ上げ角度 a T=v0/g L=v0^2/g 水平到達距離 X=L*sin(2*a) 水平到達距離に達してからの時間 t 水平方向距離 x 鉛直方向距離(下へ) y ■ 時刻 0 の速度 v0*<cos(a) sin(a)> x=v0*cos(a)*t y=(1/2)*g*t^2+v0*sin(a)*t ★ v0=304.8_m/sec T=v0/g~31.08_sec L=v0^2/g~9473_m X=8230_m y=106.7 のとき x? ■ X=L*sin(2*a) 8230=9473*sin(2*a) sin(2*a)=8230/9473~0.869 a~30° cos(30°)=root3/2 sin(30°)=1/2 t=0 のとき 速度 v0*<root3 1>/2 y=4.904*t^2+152.4*t 106.7=4.904*t^2+152.4*t t^2+31.08*t-21.76=0 t=-15.54±root(241.49+21.76)=-15.54±root(263.25)~-15.54±16.22=0.68 -捨 このとき x=304.8*(root3/2)*0.68~179_m |
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〓 走り幅跳び 〓
◆ 1質点 水平方向(x軸)に速さ V 角度 a で上向きに速さ w で飛び上がる 水平到達距離 X x軸に対する角度 b 速さ v0 v0*Cb=V+w*cos(a) v0*Sb=w*sin(a) ■ X=(v0^2/g)*2*Cb*Sb これを V,w,a で表すと、 X=(v0^2/g)*2*[(V+w*cos(a))/v0]*(w*sin(a)/v0)=(2*w/g)*sin(a)*(V+w*cos(a)) ★ a を変化させることによる、X の最大値を求めたい。X;a=0 を求めよう。 0=X;a ∝ cos(a)^2+[V/(2*w)]*cos(a)-1/2 [V/(2*w)]^2+4*(1/2)=(V^2+8*w^2)/(2*w)^2 cos(a)=[-V+root(V^2+8*w^2)]/(4*w) 水平到達距離を最大にする角度 a=arccos{[-V+root(V^2+8*w^2)]/(4*w)} ★ ★ V=10_m/sec w=4_m/sec ★ [-V+root(V^2+8*w^2)]/(4*w)=[-10+root(228)]/16~0.319 水平到達距離を最大にする角度 a=arccos(0.319)=71_° そのときの水平到達距離 X=(2*4/9.8)*sin(71)*(10+4*0.319)~8.7_m v0*Cb=10+4*cos(71)=11.3 v0*Sb=4*sin(71)~3.78 v0^2=142 v0~12 b=arctan(8.7/11.3)~38_° ★ {45°よりは小さい、でもけっこう上に向かってジャンプするんだ!2014/10} |
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〓 砲丸投げ、円盤投げ、槍投げ 〓 ● 63ft 4in=63*0.3048+4*0.0254=19.304_m 196ft 6.5in=196*0.3048+6.5*0.0254=59.9059_m 282ft 3.5in=282*0.3048+3.5*0.0254=86.0425_m h=6_ft=6*0.3048=1.8288_m 16lb=16*0.453 592 37~7.26_kg 4.4lb=4.4*0.453 592 37~2.00_kg 1.77lb=1.77*0.453 592 37~0.80_kg 245_ft*lb*重=245*0.3048*0.453 592 37*9.81=332_J ◆ 質量 m の物体を、高さ h の所から、45°の方向に投げ上げ、距離 D の所に落ちた。空気抵抗なし 初速度 v 初めの運動エネルギー K ? 水平方向 x軸 鉛直方向 y軸 時間 t 落ちた時刻 T ■ x=(v/root2)*t y=h+(v/root2)*t-(1/2)*g*t^2 D=(v/root2)*T 0=h+(v/root2)*T-(1/2)*g*T^2 T を消去して h+(v/root2)*(roo2*D/v)-(1/2)*g*(roo2*D/v)^2=0 h+D-g*D^2/v^2=0 v^2=g*D^2/(h+D) K=(1/2)*m*v^2=(1/2)*m*g*D^2/(h+D) ≫ K=(1/2)*m*g*D^2/(h+D) ★_ ★ 砲丸投げ h=1.8_m D=19.3_m m=7.26_kg K=(1/2)*7.26*9.81*19.3^2/21.1~629_J ★ 円盤投げ h=1.8_m D=59.9_m m=2.00_kg K=(1/2)*2*9.81*59.9^2/61.7~570_J ★ 槍投げ h=1.8_m D=86.0_m m=0.80_kg K=(1/2)*0.8*9.81*86^2/87.8~330_J ▲ 3つの値の比 629:570:330~1.9:1.73:1 |
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☆ お勉強しよう 2018-2011 Yuji W. ☆ |