物理 力学

2015/8-2014/10 Yuji.W

放物運動

◎ 一様な重力場での運動 {高校の内容だと思って、バカにしていたが、難しい所もあった!}

◇ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分; 
時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) e^(i*x)=expi(x) 物理定数  2015/08/14

◇放物運動◇

◎ 一様な重力場での運動 空気抵抗なし

● 地球表面上の重力加速度 g=9.807_m/sec^2

◆ 1質点(質量 m) 鉛直方向(y軸)に一様な重力 重力加速度 g 水平方向 x軸

初速度の大きさ v0 初速度はxy平面上 初速度のx軸に対する角度 a 0<a<Pi/2

 初速度 v0*<cos(a) sin(a)> 運動はxy平面上に限られる

t=0 で原点 水平到達距離 X 最高到達点 Y

次の量を導入する T=v0/g_時間 L=v0*T=v0^2/g_長さ

■ x=v0*cos(a)*t y=-(g/2)*t^2+v0*sin(a)*t

 vx=x'=v0*cos(a) vy=y'=-g*t+v0*sin(a)

水平到達距離 X を求めよう

y=0 を解いて t=0 , t=2*v0*sin(a)/g=2*T*sin(a)

t=2*T*sin(a) のとき X=[v0*cos(a)]*[2*v0*sin(a)/g]=L*sin(2*a) 

そのとき vx=v0*cos(a) vy=-g*[2*T*sin(a)]+v0*sin(a)=-v0*sin(a)

 vx^2+vy^2=[v0*cos(a)]^2+[-v0*sin(a)]^2=v0^2 {当然!2015/5}

最高到達点 Y を求めよう

 y=-(g/2)*t^2+v0*sin(a)*t=-(g/2)*[t-v0*sin(a)/g]^2+(v0^2/g)*sin(a)^2/2

 t=v0*sin(a)/g=T*sin(a) のとき Y=(v0^2/g)*sin(a)^2/2=L*sin(a)^2/2 

そのとき vx=v0*cos(a) vy=-g*[T*sin(a)]+v0*sin(a)=0 {当然!2015/5}

{別解} エネルギーの関係より、

 (1/2)*m*v0^2=m*g*Y+(1/2)*m*[v0*cos(a)]^2

 v0^2=2*g*Y+[v0*cos(a)]^2

 2*(g/v0^2)*Y=1-cos(a)^2=sin(a)^2

 Y=(v0^2/g)*sin(a)^2/2=L*sin(a)^2/2 

■ a=Pi/4 のとき t=(root2/2)*T で Y=L/4 t=root2*T で X_max=L 

a=Pi/2 のとき t=T で Y_max=L/2 

「放物運動」 2015/5

◎ 一様な重力場での運動 空気抵抗なし

● 地球表面上の重力加速度 g=9.807_m/sec^2

◆ 1質点(質量 m) 鉛直方向(y軸)に一様な重力 重力加速度 g 水平方向 x軸

初速度の大きさ v0 初速度はxy平面上 初速度のx軸に対する角度 a 0<a<Pi/2

 初速度 v0*<cos(a) sin(a)> 運動はxy平面上に限られる

t=0 で原点 水平到達距離 X 最高到達点 Y

次の量を導入する T=v0/g [T]=[時間] L=v0*T=v0^2/g [L]=[距離]

■ x=v0*cos(a)*t y=-(g/2)*t^2+v0*sin(a)*t

 vx=x'=v0*cos(a) vy=y'=-g*t+v0*sin(a)

 X=L*sin(2*a) Y=L*sin(a)^2/2

★ v0=30_m/sec~108_km/h のとき

T=v0/g~3.06_sec L=v0^2/g=30^2/9.807~91.8_m

a=Pi/4 のとき t~2.16_sec Y=23.0_m t=4.33_sec で X_max=91.8_m

a=Pi/2 のとき t=3.06_sec で Y_max=45.9_m {すべて、空気抵抗がない場合!2015/5}

★ v0=160_m/sec~44.4_m/sec のとき、

T=v0/g~4.53_sec L=v0^2/g=201_m

a=Pi/4 のとき t~3.20_sec Y=50_m t=6.36_sec で X_max=201_m

a=Pi/2 のとき t=4.53_sec で Y_max=101_m

◇放物運動-到達可能範囲◇

◎ 一様な重力場での運動 空気抵抗なし

● 地球表面上の重力加速度 g=9.807_m/sec^2

◆ 1質点(質量 m) 鉛直方向(y軸)に一様な重力 重力加速度 g 水平方向 x軸

初速度の大きさ v0 初速度はxy平面上 初速度のx軸に対する角度 a 0<a<Pi/2

 初速度 v0*<cos(a) sin(a)> 運動はxy平面上に限られる

t=0 で原点 水平到達距離 X 最高到達点 Y v0^2/g=L_距離 v0/g=T_時間

 X=L*sin(2*a) Y=L*sin(a)^2/2

■ x=v0*cos(a)*t y=-(g/2)*t^2+v0*sin(a)*t

t を消去して y=-(g/2)*x^2/[v0*cos(a)]^2+v0*sin(a)*x/[v0*cos(a)]

 y=-x^2/[2*L*cos(a)^2]+tan(a)*x

ここで h=tan(a) と置くと、

 y=-(1+h^2)*x^2/(2*L)+h*x

 2*L*y=-(1+h^2)*x^2+2*L*h*x

 x^2*h^2-2*L*x*h+2*L*y+x^2=0

h の2次方程式とみなし、h が実数解を持つ条件を求めて、

 (L*x)^2-x^2*(2*L*y+x^2) ≧ 0

 L^2*x^2-2*L*y*x^2-x^4 ≧ 0

x^2 ≧ 0 より L^2-2*L*y-x^2 ≧ 0

 y ≦ -x^2/(2*L)+L/2

放物線 y=-x^2/(2*L)+L/2 より下の部分

◇放物運動の最高到達地点◇

◎ 一様な重力場での運動 空気抵抗なし

◆ 1質点(質量 m) 鉛直方向(y軸)に一様な重力 重力加速度 g 水平方向 x軸

初速度の大きさ v0 初速度はxy平面上 初速度のx軸に対する角度 a

v0^2/g=L_距離 v0/g=T_時間

最高到達点(放物線の頂点) 

t=T*sin(a) x=L*sin(2*a)/2 y=L*sin(a)^2/2

a を消去したい

sin(a)^2=[1-cos(2*a)]/2 を使って y=L*[1-cos(2*a)]/4

sin(2*a)^2+cos(2*a)^2=1 だから、

 (2*x/L)^2+(1-4*y/L)^2=1

 [x/(L/2)]^2+[(y-L/4)/(L/4)]^2=1 

☆曲率半径☆

「放物線の曲率半径」 2015/6

■ 放物線 y=a*x^2 の頂点での曲率半径 Rc=1/(2*a)

◎ 放物運動の頂点での曲率半径

◆ a=70° Y=9.75m のとき

■ 9.75=L*sin(70°)^2/2 ⇒ L=2*9.75/sin(70°)^2~20.8_m

 v0=root(L*g)=root(20.8*9.81)~14.3_m

 x=v0*cos(70°)*t=4.89*t

 y=-g*t^2/2+v0*sin(70°)*t=-4.91*t^2+13.44*t

 y=-4.905*(x/5.03)^2+13.44*x/5.03~-0.194*x^2+2.748*x

 頂点での曲率半径 Rc=1/(2*0.194)~2.58_m

◇放物運動-2-◇

◎ 高さ h から

◆ t=0 で x=0,y=h t=T>0 で x=X,y=0

■ x=v0*cos(a)*t y=-(g/2)*t^2+v0*sin(a)*t+h=-(g/2)*(t-v0*sin(a)/g)^2+(v0^2/g)*sin(a)^2/2+h

 最高到達点の高さ Y=(v0^2/g)*sin(a)^2/2+h

■ 0=-(g/2)*t^2+v0*sin(a)*t+h t^2-2*(v0*sin(a)/g)*t-2*(h/g)=0

 t=(v0/g)*[sin(a)+root(sin(a)^2+2*g*h/v0^2)]

ここで 2*g*h/v0^2=k と置くと t=(v0/g)*[sin(a)+root(sin(a)^2+k)]

そのとき 水平到達距離 X=(v0^2/g)*cos(a)*[sin(a)+root(sin(a)^2+k)]

■ a の値を変化させたときの、X の最大値を求めたい。X;a=0 と解く。

 X ∝ cos(a)*sin(a)+cos(a)*root(sin(a)^2+k)]

以下、なるべく、sin(a) で表していく方針にする。0<a<Pi/2 0<sin(a)<1

 (cos(a)*sin(a));a=-sin(a)^2+cos(a)^2=1-2*sin(a)^2

 [cos(a)*root(sin(a)^2+k)];a
=-sin(a)*root(sin(a)^2+k)+cos(a)^2*sin(a)/root(sin(a)^2+k)
=sin(a)*[-(sin(a)^2+k)+cos(a)^2]/root(sin(a)^2+k)
=sin(a)*(1-2*sin(a)^2-k)/root(sin(a)^2+k)

 X;a
∝ 1-2*sin(a)^2+sin(a)*(1-2*sin(a)^2-k)/root(sin(a)^2+k)
=[(1-2*sin(a)^2)*root(sin(a)^2+k)+sin(a)*(1-2*sin(a)^2-k)]/root(sin(a)^2+k)
={(1-2*sin(a)^2)*[root(sin(a)^2+k)+sin(a)]-k*sin(a)}/root(sin(a)^2+k) 

X;a=0 となる sin(a) を求めたい。

 (1-2*sin(a)^2)*[root(sin(a)^2+k)+sin(a)]-k*sin(a)=0

 (1-2*sin(a)^2)*root(sin(a)^2+k)=sin(a)*(2*sin(a)^2+k-1)

両辺を2乗して整理すると、思いかけず簡単になって、

 sin(a)^2=1/(2+k)

水平到達距離を最大にする角度 a=arcsin[1/root(2+2*g*h/v0^2)]  {できた!2014/10}

■ このとき cos(a)=root(1-sin(a)^2)=root[(1+k)/(2+k)]

 root(sin(a)^2+k)=root[1/(2+k)+k]=(1+k)/root(2+k)

 sin(a)+root(sin(a)^2+k)=1/root(2+k)+(1+k)/root(2+k)=root(2+k)

まとめて X=(v0^2/g)*root[(1+k)/(2+k)]*root(2+k)=(v0^2/g)*root(1+k)

すなわち X=(v0^2/g)*root(1+2*g*h/v0^2)  {1日かかった!2014/}

◇放物運動-3-◇

◎ 水平到達距離に達してからの運動

◆ 一様な重力場 放物運動 初速度 v0 投げ上げ角度 a

T=v0/g L=v0^2/g 水平到達距離 X=L*sin(2*a)

水平到達距離に達してからの時間 t 水平方向距離 x 鉛直方向距離(下へ) y

■ 時刻 0 の速度 v0*<cos(a) sin(a)>

 x=v0*cos(a)*t y=(1/2)*g*t^2+v0*sin(a)*t

★ v0=304.8_m/sec T=v0/g~31.08_sec L=v0^2/g~9473_m X=8230_m

y=106.7 のとき x?

■ X=L*sin(2*a) 8230=9473*sin(2*a)

 sin(2*a)=8230/9473~0.869 a~30° cos(30°)=root3/2 sin(30°)=1/2

t=0 のとき 速度 v0*<root3 1>/2

 y=4.904*t^2+152.4*t

 106.7=4.904*t^2+152.4*t

 t^2+31.08*t-21.76=0

 t=-15.54±root(241.49+21.76)=-15.54±root(263.25)~-15.54±16.22=0.68 -捨

このとき x=304.8*(root3/2)*0.68~179_m

◇走り幅跳び◇

◎ 走り幅跳び

◆ 1質点 水平方向(x軸)に速さ V 角度 a で上向きに速さ w で飛び上がる 水平到達距離 X

x軸に対する角度 b 速さ v0

 v0*Cb=V+w*cos(a) v0*Sb=w*sin(a)

■ X=(v0^2/g)*2*Cb*Sb これを V,w,a で表すと、

 X=(v0^2/g)*2*[(V+w*cos(a))/v0]*(w*sin(a)/v0)=(2*w/g)*sin(a)*(V+w*cos(a)) 

a を変化させることによる、X の最大値を求めたい。X;a=0 を求めよう。

 0=X;a ∝ cos(a)^2+[V/(2*w)]*cos(a)-1/2

 [V/(2*w)]^2+4*(1/2)=(V^2+8*w^2)/(2*w)^2

 cos(a)=[-V+root(V^2+8*w^2)]/(4*w)

水平到達距離を最大にする角度 a=arccos{[-V+root(V^2+8*w^2)]/(4*w)} 

★ V=10_m/sec w=4_m/sec ★

 [-V+root(V^2+8*w^2)]/(4*w)=[-10+root(228)]/16~0.319

水平到達距離を最大にする角度 a=arccos(0.319)=71_°

そのときの水平到達距離 X=(2*4/9.8)*sin(71)*(10+4*0.319)~8.7_m

 v0*Cb=10+4*cos(71)=11.3 v0*Sb=4*sin(71)~3.78

 v0^2=142 v0~12 b=arctan(8.7/11.3)~38_° 

{45°よりは小さい、でもけっこう上に向かってジャンプするんだ!2014/10}

☆砲丸投げ、円盤投げ、槍投げ☆

● 63ft 4in=63*0.3048+4*0.0254=19.304_m

196ft 6.5in=196*0.3048+6.5*0.0254=59.9059_m

282ft 3.5in=282*0.3048+3.5*0.0254=86.0425_m

 h=6_ft=6*0.3048=1.8288_m

16lb=16*0.453 592 37~7.26_kg

4.4lb=4.4*0.453 592 37~2.00_kg

1.77lb=1.77*0.453 592 37~0.80_kg

245_ft*lb*重=245*0.3048*0.453 592 37*9.81=332_J

◆ 質量 m の物体を、高さ h の所から、45°の方向に投げ上げ、距離 D の所に落ちた。空気抵抗なし

初速度 v 初めの運動エネルギー K ?

水平方向 x軸 鉛直方向 y軸 時間 t 落ちた時刻 T

■ x=(v/root2)*t y=h+(v/root2)*t-(1/2)*g*t^2

 D=(v/root2)*T 0=h+(v/root2)*T-(1/2)*g*T^2

T を消去して h+(v/root2)*(roo2*D/v)-(1/2)*g*(roo2*D/v)^2=0

 h+D-g*D^2/v^2=0 v^2=g*D^2/(h+D)

 K=(1/2)*m*v^2=(1/2)*m*g*D^2/(h+D)

≫ K=(1/2)*m*g*D^2/(h+D) _

★ 砲丸投げ h=1.8_m D=19.3_m m=7.26_kg

 K=(1/2)*7.26*9.81*19.3^2/21.1~629_J

★ 円盤投げ h=1.8_m D=59.9_m m=2.00_kg

 K=(1/2)*2*9.81*59.9^2/61.7~570_J

★ 槍投げ h=1.8_m D=86.0_m m=0.80_kg

 K=(1/2)*0.8*9.81*86^2/87.8~330_J

▲ 3つの値の比 629:570:330~1.9:1.73:1

放物運動

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