物理 力学

2017/5-2013/4 Yuji.W

運動

運動方程式 運動量 状態空間 位相空間 state space phase space  _

物理定数

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 #
 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 y;x 時間微分 x' 積分 ${f(x)*dx}

◇運動方程式◇

■ 「質点」と言われた時の、暗黙の了解

・質点に働く力は、すべて、その質点を動かす事にのみ使われる。回転させたり、振動させたり、温度を上げるなどには使われない。
・回転、振動、温度などは考えない。動きのみを考える。

■ 力の単位 N ニュートン kg*m/sec^2 1kgf=1kg重=g_N 1_N=1/g_kg重

◆ 1質点 質量 m 質点の位置 <r> 速度 <v>=<r>' その質点にかかる力 <F>

ニュートンの運動方程式 m*<v>'=<F>

ここで、運動量 <p>=m*<v> を定義すれば、

1質点の運動方程式 <p>'=<F>

◇運動方程式の導出◇

◎ 運動方程式は「原理」だから、他の式から導き出すことはできない。運動方程式を元に E=(1/2)*m*v^2 などの式を導出する。が、逆に、 E=(1/2)*m*v^2 を原理として運動方程式を導出するという考え方もできる。

■ 3次元1質点の運動

時間微分すると (v^2)'=(<v>*<v>)'=<v>'*<v>+<v>*<v>'=2*<v>*<v>'

エネルギー E=(1/2)*m*v^2 時間微分して E'=m*<v>*<v>'

力とエネルギー E=<F>*<距離> 時間微分して E'=<F>*<v>

以上の式より m*<v>*<v>'=<F>*<v>

 m*<v>'=<F> _

運動量 <p>=m*<v> を使えば <p>'=<F>

■ 質量(光速の2乗倍) @m 速度(対光速比) b 運動量(光速倍) pc=@m*b を使うと,

 <pc>'=c*<F> _

☆状態空間,位相空間☆

◆ 1質点1次元の運動 質量 m 位置 x 速さ v 質点に働く力 F 運動量 p

力は、質点の位置と速さによって定まるとする

■ x'=v & m*v'=F

ある1つの時刻の位置と速さがわかれば、この2つの式より、すべての時刻の位置と速さを求める事ができる。

 1質点1次元の運動の状態空間 位置と速さを表した平面 2次元

■ 速さの代わりに運動量を使えば、

 m*x'=p p'=F

ある1つの時刻の位置と運動量がわかれば、この2つの式より、すべての時刻の位置と運動量を求める事ができる。

 1質点1次元の運動の位相空間 位置と運動量を表した平面 2次元

■ 1質点3次元の運動の状態空間、位相空間 6次元

N質点3次元の運動の状態空間、位相空間 6*N 次元 _

☆計算例-運動方程式☆

◆ 1質点 質量 m=1_kg <F>=<1.5*y 3*x^2 -0.2*(x^2+y^2)>_N

加速度 <a> 運動エネルギー K

t=0 で <r>=<2 3 0>_m <v>=<0 2 1>_m/sec

以下、すべて t=0 の値

■ 力は、質点の位置のみによる関数 <F>=<4.5 12 -2.6>_N _

 <a>=<F>/m=<4.5 12 -2.6>_m/sec^2 _

 K=(1/2)*m*v^2=(1/2)*1*5=2.5_J

■ (v^2)'=(<v>*<v>)'=2*<v>*<v>'=2*<v>*<a> だから、

 K'=[(1/2)*m*v^2]'=m*<v>*<a>=m*<v>*(<F>/m)=<F>*<v>

 K'=<F>*<v>=<4.5 12 -2.6>*<0 2 1>=24-2.6=21.4_J/sec


◆ 前問 0.01_sec 後

■ <r>=<2 3 0>+<v>*0.01=<2 3 0>+<0 2 1>*0.01=<2 3.02 0.01>_m

 <v>
=<0 2 1>+<a>*0.01
=<0 2 1>+<4.5 12 -2.6>*0.01
=<0.045 2.12 0.974>_m/sec

 K=2.5+21.4*0.01=2.714_J

◇外力なし、質点系◇

◎ 質点系(複数の質点)

■ 運動の第3法則(作用・反作用の法則) 作用、反作用が、

@ 逆向き A 大きさが等しい B 作用と反作用が一直線上にある

Bについては、明記していない場合が多い。ニュートンの「プリンキア」にも書いてないそうだ。琉球大学の物理学の資料に、Bが、明記してあった。

Bを仮定しないと、質点系の角運動量保存則が成り立たない。

※ 電流と磁場での力の及ぼし合いでは、作用・反作用の法則が成り立たないように見える現象がある。電磁場の運動量や角運動量まで考えると、作用・反作用の法則が成り立つ。

◆ 外力なし、3質点の運動

運動量 <p1>,<p2>,<p3> 全運動量 <p>=<p1>+<p2>+<p3>

質点@からAへの内力 <f12> 質点Aから@への内力 <f21>
 <f12>+<f21>=0 同様に他の内力も考える。

■ 作用・反作用の法則より <f12>+<f21>=0 , <f23>+<f32>=0 , <f31>+<f13>=0

運動方程式 <p1>'=<f21>+<f31> , <p2>'=<f32>+<f12> , <p3>'=<f13>+<f23>

 <p>'
=<p1>'+<p2>'+<p3>'
=(<f21>+<f31>)+(<f32>+<f12>)+(<f13>+<f23>)
=(<f12>+<f21>)+(<f23>+<f32>)+(<f31>+<f13>)
=0+0+0
=0

 <p>'=0 <p>=一定 _運動量保存

▲ ベクトルだから、成分ごとに式は成り立つ。外力があっても、例えば、外力のx成分が 0 であれば、運動量のx成分は保存される。

▲ 質点の数に依らず、成り立つのは明か。

質点系の全運動量 <p> それらの質点に働く全外力 <F>

質点系の運動方程式 <p>'=<F> _

☆加速度☆

◆ 1次元等加速度運動 加速度 a=一定

時刻 t で、位置 x(t)、速さ v(t) 時刻 0 で、位置 x0、速さ v0

変位 Δx(t)=x(t+Δt)-x(t) 等速直線運動をしている場合の変位 Δ\x(t)

ずれ Δs=Δx(t)-Δ\x(t)

■ v(t)=a*t+v0 x(t)=(1/2)*a*t^2+v0*t+x0

 Δx
=x(t+Δt)-x(t)
=[(1/2)*a*(t+Δt)^2+v0*(t+Δt)+x0]-[(1/2)*a*t^2+v0*t+x0]
=(1/2)*a*(2*t*Δt+Δt^2)+v0*Δt
=(1/2)*a*Δt^2+a*t*Δt+v0*Δt
=(1/2)*a*Δt^2+v(t)*Δt

a=0 のとき Δ\x(t)=v(t)*Δt

 Δs=Δx(t)-Δ\x(t)=(1/2)*a*Δt^2

 a=2*Δs/Δt^2 _〔 a=加速度 Δs=等加速度運動をした場合との変位のずれ 〕

※ 等加速度でなくても、Δt が微少であれば成り立つ

☆等速円運動の加速度☆

◆ 等速円運動 半径 R 速さ v 加速度 a

等速直線運動をした場合との変位のずれ Δs a=2*Δs/Δt^2

■ 微少時間 Δt において、

 Δs=root[(v*Δt)^2+R^2]-R=R*(1/2)*(v*Δt/R)^2=(1/2)*v^2*Δt^2/R

 a=2*[(1/2)*v^2*Δt^2/R]/Δt^2=v^2/R

≫ a=v^2/R _

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