★ 運動方程式　運動量　状態空間　位相空間　state space　phase space  ★_

〔物理定数〕

◇ ベクトル <A>　単位ベクトル <-u>　内積 *　外積 #
　10^x=Ten(x)　exp(i*x)=expi(x)　微分 y;x　時間微分 x'　積分 ${f(x)*dx}

■ 「質点」と言われた時の、暗黙の了解　　

・質点に働く力は、すべて、その質点を動かす事にのみ使われる。回転させたり、振動させたり、温度を上げるなどには使われない。
・回転、振動、温度などは考えない。動きのみを考える。

■ 力の単位 N ニュートン kg*m/sec^2　1kgf=1kg重=g_N　1_N=1/g_kg重

◆ 1質点　質量 m　質点の位置 <r>　速度 <v>=<r>'　その質点にかかる力 <F>

■ ニュートンの運動方程式　m*<v>'=<F>

ここで、運動量 <p>=m*<v> を定義すれば、

1質点の運動方程式　<p>'=<F>

◎ 運動方程式は「原理」だから、他の式から導き出すことはできない。運動方程式を元に　E=(1/2)*m*v^2　などの式を導出する。が、逆に、　E=(1/2)*m*v^2　を原理として運動方程式を導出するという考え方もできる。

■ 3次元1質点の運動

時間微分すると　(v^2)'=(<v>*<v>)'=<v>'*<v>+<v>*<v>'=2*<v>*<v>'

エネルギー　E=(1/2)*m*v^2　時間微分して　E'=m*<v>*<v>'

力とエネルギー　E=<F>*<距離>　時間微分して　E'=<F>*<v>

以上の式より　m*<v>*<v>'=<F>*<v>

　m*<v>'=<F> ★_

運動量 <p>=m*<v>　を使えば　<p>'=<F>

■ 質量(光速の2乗倍) @m　速度(対光速比) b　運動量(光速倍) pc=@m*b　を使うと,

　<pc>'=c*<F> ★_

◆ 1質点1次元の運動　質量 m　位置 x　速さ v　質点に働く力 F　運動量 p

力は、質点の位置と速さによって定まるとする

■ x'=v　&　m*v'=F

ある1つの時刻の位置と速さがわかれば、この２つの式より、すべての時刻の位置と速さを求める事ができる。

　1質点1次元の運動の状態空間 位置と速さを表した平面 2次元

■ 速さの代わりに運動量を使えば、

　m*x'=p　p'=F

ある1つの時刻の位置と運動量がわかれば、この２つの式より、すべての時刻の位置と運動量を求める事ができる。

　1質点1次元の運動の位相空間 位置と運動量を表した平面 2次元

■ 1質点3次元の運動の状態空間、位相空間 6次元

N質点3次元の運動の状態空間、位相空間 6*N 次元 ★_

◆ 1質点　質量 m=1_kg　<F>=<1.5*y　3*x^2　-0.2*(x^2+y^2)>_N

加速度 <a>　運動エネルギー K

t=0 で　<r>=<2 3 0>_m　<v>=<0 2 1>_m/sec

以下、すべて　t=0　の値

■ 力は、質点の位置のみによる関数　<F>=<4.5　12　-2.6>_N ★_

　<a>=<F>/m=<4.5　12　-2.6>_m/sec^2 ★_

　K=(1/2)*m*v^2=(1/2)*1*5=2.5_J

■ (v^2)'=(<v>*<v>)'=2*<v>*<v>'=2*<v>*<a>　だから、

　K'=[(1/2)*m*v^2]'=m*<v>*<a>=m*<v>*(<F>/m)=<F>*<v>

　K'=<F>*<v>=<4.5　12　-2.6>*<0 2 1>=24-2.6=21.4_J/sec

◆ 前問　0.01_sec 後

■ <r>=<2 3 0>+<v>*0.01=<2 3 0>+<0 2 1>*0.01=<2　3.02　0.01>_m

　<v>
=<0 2 1>+<a>*0.01
=<0 2 1>+<4.5　12　-2.6>*0.01
=<0.045　2.12　0.974>_m/sec

　K=2.5+21.4*0.01=2.714_J

◎ 質点系(複数の質点)

■ 運動の第3法則(作用・反作用の法則)　作用、反作用が、

�@ 逆向き　�A 大きさが等しい　�B 作用と反作用が一直線上にある

�Bについては、明記していない場合が多い。ニュートンの「プリンキア」にも書いてないそうだ。琉球大学の物理学の資料に、�Bが、明記してあった。

�Bを仮定しないと、質点系の角運動量保存則が成り立たない。

※ 電流と磁場での力の及ぼし合いでは、作用・反作用の法則が成り立たないように見える現象がある。電磁場の運動量や角運動量まで考えると、作用・反作用の法則が成り立つ。

◆ 外力なし、3質点の運動

運動量 <p1>,<p2>,<p3>　全運動量 <p>=<p1>+<p2>+<p3>

質点�@から�Aへの内力 <f12>　質点�Aから�@への内力 <f21>
　<f12>+<f21>=0　同様に他の内力も考える。

■ 作用・反作用の法則より　<f12>+<f21>=0 , <f23>+<f32>=0 , <f31>+<f13>=0

運動方程式　<p1>'=<f21>+<f31> , <p2>'=<f32>+<f12> , <p3>'=<f13>+<f23>

　<p>'
=<p1>'+<p2>'+<p3>'
=(<f21>+<f31>)+(<f32>+<f12>)+(<f13>+<f23>)
=(<f12>+<f21>)+(<f23>+<f32>)+(<f31>+<f13>)
=0+0+0
=0

　<p>'=0　<p>=一定 ★_運動量保存

▲ ベクトルだから、成分ごとに式は成り立つ。外力があっても、例えば、外力のx成分が 0 であれば、運動量のx成分は保存される。

▲ 質点の数に依らず、成り立つのは明か。

■ 質点系の全運動量 <p>　それらの質点に働く全外力 <F>

質点系の運動方程式　<p>'=<F> ★_

◆ 1次元等加速度運動　加速度 a=一定

時刻 t で、位置 x(t)、速さ v(t)　時刻 0 で、位置 x0、速さ v0

変位 Δx(t)=x(t+Δt)-x(t)　等速直線運動をしている場合の変位 Δ\x(t)

ずれ Δs=Δx(t)-Δ\x(t)

■ v(t)=a*t+v0　x(t)=(1/2)*a*t^2+v0*t+x0

　Δx
=x(t+Δt)-x(t)
=[(1/2)*a*(t+Δt)^2+v0*(t+Δt)+x0]-[(1/2)*a*t^2+v0*t+x0]
=(1/2)*a*(2*t*Δt+Δt^2)+v0*Δt
=(1/2)*a*Δt^2+a*t*Δt+v0*Δt
=(1/2)*a*Δt^2+v(t)*Δt

a=0 のとき　Δ\x(t)=v(t)*Δt

　Δs=Δx(t)-Δ\x(t)=(1/2)*a*Δt^2

　a=2*Δs/Δt^2 ★_〔 a=加速度　Δs=等加速度運動をした場合との変位のずれ 〕

※ 等加速度でなくても、Δt が微少であれば成り立つ

◆ 等速円運動　半径 R　速さ v　加速度 a

等速直線運動をした場合との変位のずれ Δs　a=2*Δs/Δt^2

■ 微少時間 Δt において、

　Δs=root[(v*Δt)^2+R^2]-R=R*(1/2)*(v*Δt/R)^2=(1/2)*v^2*Δt^2/R

　a=2*[(1/2)*v^2*Δt^2/R]/Δt^2=v^2/R

≫　a=v^2/R ★_