☆ 棒の慣性モーメント ☆

《 uzお勉強しよう  力学  剛体  解析力学  特殊相対性理論  電磁気  数学 》

〇 棒  慣性モーメント  一様な重力場での棒の運動  ★  2022.9-2013.1  Yuji.W

◇ 2*3=6  Ten(3)=10^3=1000  微分 ;  偏微分 :  積分 $  e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>  縦ベクトル <A)  単位ベクトル <xu>  内積 *  外積 # 

〓  剛体..  慣性テンソル  〓  《 剛体.慣性テンソル24.3 》

◇ ベクトル <A..  縦ベクトル <A)  成分は同じ 

▢ 慣性系 (x,y,z)  質点系剛体  以下 i=1,2,…  質量 mi  質点の位置 <ri.. 

..  Ixx=Σ{mi*(yi^2+zi^2)}  Ixy=-Σ{mi*xi*yi}  Ixz=-Σ{mi*xi*zi}
..  Iyy=Σ{mi*(xi^2+zi^2)}  Iyz=-Σ{mi*yi*zi}  Izz=Σ{mi*(xi^2+yi^2)}

原点に対する慣性テンソル [I]=[Ixx  Ixy  Ixz|Ixy  Iyy  Iyz|Ixz  Iyz  Izz]

角速度 <w> どの質点でも同じ  質点系剛体の原点に対する角運動量 <L> 

質点系剛体の原点に対する回転運動エネルギー Kr

▷ <L)=[I]*<w)  <L>;t=<w>#<L>  Kr=(1/2)*<w>*<L>

▷ 慣性主軸をとったとき  Ixy=Ixz=Iyz=0  <L>=<Ixx*wx  Iyy*wy  Izz*wz>

▢ 剛体が固定軸(z軸)の周りをの回転  角速度 <w>=<zu>*wz 

z軸に対する質点系剛体の慣性モーメント <Iz>=<Ixz  Iyz  Izz>

質点系剛体の原点に対する角運動量 <L>

▷ <L>=<Ixz  Iyz  Izz>*wz  一般にx成分とy成分も持つ

▷ 質量分布に対称性があるとき  Ixz=Iyz=0  Lz=Izz*wz  となる事がある

▲ Izzを 「慣性」と言う。おのおのの質点の回転半径は、剛体が回転しても変化しない。したがって、慣性も変化しない。  Izz=Σ{mi*(xi^2+yi^2)}=一定

〓  棒の慣性モーメント  〓 

▢ x軸上に棒  線密度 λ=一定  太さは無視できるとする  長さ l  棒の中心 原点

質量 M=λ*l  回転軸 z軸 

棒 (x|-l/2~l/2)  棒の中心に対する慣性モーメント Ic 
棒 (x|0~l)  棒の端に対する慣性モーメント I

▲ 質量が回転軸に近ければ、慣性モーメントは小さくなる  Ic<I

▷ 微小な棒 x~x+dx を考える  (質量)=λ*dx  (距離)^2=x^2

..  Ic
=2*λ*${x^2*dx (x|0~l/2)}
=2*λ*{x^3/3(x|0~l/2)}
=2*λ*l^3/24
=(1/12)*λ*l^3
=(1/12)*M*l^2  ★ 

..  Ic=(1/12)*λ*l^3=(1/12)*M*l^2  ★ 

▷ I=λ*${x^2*dx (x|0~l)}=λ*{x^3/3(x|0~l)}=(1/3)*λ*l^3=(1/3)*M*l^2  ★ 

..  I=(1/3)*λ*l^3=(1/3)*M*l^2  ★ 

▷ Ic は、長さ l/2 , 質量 M/2 の端に対する慣性モーメントの 2倍であるから、

..  Ic=2*(1/3)*(l/2)^2*(M/2)=(1/12)*M*l^2 

▷ I-Ic=(1/3)*M*l^2-(1/12)*M*l^2=(1/4)*M*l^2=M*(l/2)^2

..  I=Ic+M*(l/2)^2=Ic+M*(回転軸の距離)^2  ★  平行軸の定理

〓  棒の慣性モーメント  〓 

▢ 密度が一定の棒  太さは無視できるとする  線密度 λ=一定  長さ l

質量 M=λ*l  x軸上にある  回転軸 棒に対して垂直

棒の中心に対する慣性モーメント Ic  棒の端に対する慣性モーメント I

▲ 質量が回転軸に近ければ、慣性モーメントは小さくなる  Ic<I

▷ 微小な棒 x~x+dx を考える。

..  (質量)=λ*dx  (距離)^2=x^2

..  Ic
=2*λ*${x^2*dx (x|0~l/2)}
=2*λ*{x^3/3(x|0~l/2)}
=2*λ*l^3/24
=λ*l^3/12
=M*l^2/12  ★ 

▷ I=λ*${x^2*dx (x|0~l)}=λ*{x^3/3(x|0~l)}=λ*l^3/3=M*l^2/3  ★ 

{別解}  棒2本をつなげて、その中心に対する慣性モーメントを考える。I の２倍になる。

..  2*I=(2*M)*(2*l)^2/12

..  I=M*l^2/3

▷ I-Ic=M*l^2/3-M*l^2/12=M*l^2/4=M*(l/2)^2=M*(基準点の距離)^2  ★  平行軸の定理

〓  斜めに配置された2質点の慣性テンソル  〓 

▢ 2質点  質量(2質点とも) m  位置 (1,0,1) , (-1,0,-1)

質量の中心((重心) 原点)に対する慣性テンソル [Ic]

▷ Ixx=2*m  Ixy=0  Ixz=-2*m  Iyy=4*m  Iyz=0  Izz=2*m

..  [Ic]=2*m*[1 0 -1|0 2 0|-1 0 1]  ★ 

▷ 原点)に対する角速度 <w)  原点)に対する角運動量 <Lc)=[Ic]*<w)

..  <Lc)=2*m*[1 0 -1|0 2 0|-1 0 1]*<w)=2*m*<wx-wz  wy  -wx+wz)

≫  <Lc)=2*m*<wx-wz  wy  -wx+wz)  ★ 

★ <w)=w*<-1 0 1)/root(2)  のとき  <Lc)=4*m*w*<-1 0 1)  Lc=4*m*w  ★ 

▲ 次の場合と同じ結果を得るはずである

2質点  質量(2質点とも) m  2点の距離 2*root(2)  慣性 Ic 
2点を通る直線に垂直で、2点の中点を通る軸の回転の角速度 w  それに対する角運動量 Lc

..  Ic=2*m*(root(2))^2=4*m  Lc=4*m*w  ★ 

〓  斜めの棒の慣性テンソル  〓 

▢ 密度が一定の棒  太さは無視できるとする  線密度 λ=一定 

2点 (l/2,0,l/2) , (-l/2,0,-l/2) を両端とする  長さ root(2)*l  質量 M=root(2)*λ*l 

質量の中心(重心)に対する慣性テンソル [Ic]

▷ 棒の微小部分 dx  位置 (x,0,z)  質量 root(2)*λ*dx

..  Ixx=-Ixz=Izz
=2*root(2)*λ*${x^2*dx (x|0~l/2)}
=2*root(2)*λ*{x^3/3 (x|0~l/2)}
=2*root(2)*λ*(l/2)^3/3
=(root(2)/12)*λ*l^3
=(1/12)*M*l^2  

..  Iyy=4*root(2)*λ*${x^2*dx (x|0~l/2)}=(1/6)*M*l^2 

..  Ixy=Iyz=0 

..  [I]=(1/12)*M*l^2*[1 0 -1|0 2 0|-1 0 1]  ★ 

▷ 角速度 <w)  角運動量 <L)=[I]*<w)

..  [1 0 -1|0 2 0|-1 0 1]*<w)=<wx-wz  2*wy  -wx+wz) 

≫  <L)=[I]*<w)=(1/12)*M*l^2*<wx-wz  2*wy  -wx+wz)  ★   

★ <w)=w*<-1 0 1)/root(2)  のとき 

..  <L)=(1/12)*M*l^2*w*<0 0 1)/root(2)=<zu>*(1/12)*M*l^2*w 

≫  L=(1/12)*M*l^2*w  ★ 

▲ この結果は、次の場合と同じになるはずである。

x軸上にある  回転軸 棒に対して垂直
棒の中心に対する慣性モーメント Ic  棒の中心に対する角運動量 Lc=(1/12)*M*l^2*w 

〓  棒の慣性モーメント  〓  《 棒の慣性モーメント24.3 》

▢ 密度が一定の棒  太さは無視できる  長さ l  質量 M  回転軸 棒に対して垂直

棒の中心に対する慣性モーメント Ic  棒の端に対する慣性モーメント I

▷ Ic=(1/12)*M*l^2  I=(1/3)*M*l^2    I-Ic=(1/4)*M*l^2  平行軸の定理

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