☆長方形の慣性モーメント、平行軸の定理、垂直軸の定理Uz

　物理　力学　剛体の運動　2021.2-2013.1　Yuji Watanabe

☆ 長方形の慣性モーメント、平行軸の定理、垂直軸の定理 ☆

○ 回転軸長方形に垂直　質量の中心に対する慣性モーメント　頂点に対する慣性モーメント　平行軸の定理　垂直軸の定理

2*3=6　6/2=3　3^2=9　1000=10^3=Ten(3)　　　　　　　　　　　2021.2.8
微分 ;　2階微分 ;;　偏微分 :　積分 $　ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <Au>　内積 *　外積 #　　　000

〓〓〓　質点系剛体の慣性テンソル　〓〓〓　

▢ 質点系剛体のそれぞれの質点の質量 mi　i=1,2,3,…

観測時刻におけるそれぞれの質点の位置 (xi,yi,zi)　i=1,2,3,…

質点系剛体の慣性テンソル〚I〛

■ 〚I〛
=〚Ixx Ixy Ixz|Ixy Iyy Iyz|Ixz Iyz Izz〛
=Σ{〚mi*(yi^2+zi^2)　-mi*xi*yi　-mi*xi*zi|
　　　　　　　　-mi*xi*yi　mi*(xi^2+zi^2)　-mi*yi*zi|
　　　　　　　　-mi*xi*zi　-mi*yi*zi　mi*(xi^2+yi^2)〛}[i=1,2,3,…]

〓〓〓　長方形の慣性モーメント　平行軸の定理　〓〓〓　

○ 回転軸:長方形に垂直

▢ 長方形　面密度 σ=一定　横 X　縦 Y　質量 M=σ*X*Y

回転軸長方形に垂直

長方形の中心に対する慣性モーメント Ic
長方形の頂点に対する慣性モーメント I

■ 微小長方形 x~x+dx , y~y+dy を考える。

　(質量)=σ*dx*dy　(基準点からの距離)^2=x^2+y^2

　Ic=4*σ*${(x^2+y^2)*dx*dy}[x:0~X/2 , y:0~Y/2]

●　${(x^2+y^2)*dx*dy}[x:0~X/2 , y:0~Y/2]
=${(x^2*y+y^3/3)*dx}[x:0~X/2 , y:0~Y/2]
=${(x^2*Y/2+Y^3/24)*dx}[x:0~X/2]
=[x^3*Y/6+x*Y^3/24][x:0~X/2]
=[X^3*Y/48+X*Y^3/48]
=X*Y*(X^2+Y^2)/48　●

　Ic=4*σ*X*Y*(X^2+Y^2)/48=σ*X*Y*(X^2+Y^2)/12=M*(X^2+Y^2)/12

　Ic=M*(X^2+Y^2)/12　★　回転軸:長方形に垂直質量の中心に対する慣性モーメント

■ I=σ*${(x^2+y^2)*dx*dy}[x:0~X , y:0~Y]

●　${(x^2+y^2)*dx*dy}[x:0~X , y:0~Y]
=${(x^2*y+y^3/3)*dx}[x:0~X , y:0~Y]
=${(x^2*Y+Y^3/3)*dx}[x:0~X]
=[x^3*Y/3+x*Y^3/3][x:0~X]
=[X^3*Y/3+X*Y^3/3]
=X*Y*(X^2+Y^2)/3　●

　I=σ*X*Y*(X^2+Y^2)/3=M*(X^2+Y^2)/3

　I=M*(X^2+Y^2)/3　★　回転軸:長方形に垂直頂点に対する慣性モーメント

{別解}　長方形を４枚並べたものを考える。　その中心に対する慣性モーメントは、 I の4倍になる。

　4*I=(4*M)*[(2*X)^2+(2*Y)^2)/12

　I=M*(X^2+Y^2)/3

■ I-Ic
=M*(X^2+Y^2)/3-M*(X^2+Y^2)/12
=M*(X^2+Y^2)/4
=M*[(X/2)^2+(Y/2)^2]
=M*(頂点から質量の中心までの距離)^2

　I-Ic=M*(頂点から質量の中心までの距離)^2　★　平行軸の定理

〓〓〓　長方形の慣性モーメント　垂直軸の定理　〓〓〓　

○ 回転軸:長方形の面を通る

▢ 長方形　面密度 σ=一定　横 X　縦 Y　質量 M=σ*X*Y

回転軸長方形の面を通る辺Yに平行

長方形の中心に対する慣性モーメント Ic

■ 質量分布は回転軸に対して対称である。微小長方形 x~x+dx , -Y/2~Y/2 を考える。

　(質量)=σ*dx*Y　(基準点からの距離)^2=x^2

　Ic
=2*σ*Y*${x^2*dx}[x:0~X/2]
=2*σ*Y*[x^3/3][x:0~X/2]
=2*σ*Y*X^3/24
=σ*Y*X^3/12
=M*X^2/12

　Ic=M*X^2/12　★　回転軸:質量の中心を通り、辺Yに平行

■ 回転軸:質量の中心を通り、辺Xに平行のとき、

　Ic=M*Y^2/12

■ 回転軸:長方形の質量の中心に対する慣性モーメント

回転軸が長方形に垂直 Iz=M*(X^2+Y^2)/12　

回転軸が辺Xに平行 Ix=M*Y^2/12

回転軸が辺Yに平行 Iy=M*X^2/12

　Iz=Ix+Iy　★　垂直軸の定理

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