物理　力学　　2018/1-2013/1　Yuji.W

☆ 慣性モーメントの定理の利用 ☆

◎ 慣性テンソル　慣性モーメント　平行軸の定理　垂直軸の定理 ★_

〔物理定数　定数.宇宙　力学の単位　電磁気の単位〕

【座標】デカルト座標単位ベクトル <xu>,<yu>,<zu> 円柱座標 (h,a,z)_C　<Ah Aa Az>_C　座標単位ベクトル <hu>,<au>,<zu> 球座標 (r,a,b)_S　<Ar Aa Ab>_S　座標単位ベクトル <ru>,<au>,<bu>

◇ 平行軸の定理の利用 ◇ ◎ 棒の慣性モーメント ■ 質量M、長さLの棒(質量の分布は一様)を棒の端を軸として回転させたときの慣性モーメント I 　I ∝ M*L^2　比例定数を k とする　I=k*M*L^2 　棒を半分に分けた場合の慣性モーメント=k*(M/2)*(L/2)^2=k*M*L^2/8 　Ic=2*(k*M*L^2/8)=k*M*L^2/4 平行軸の定理より　I=Ic+M*(L/2)^2=Ic+M*L^2/4　だから、 　k*M*L^2=k*M*L^2/4+M*L^2/4 　k=k/4+1/4 　k=1/3 棒の端に対する慣性モーメント　I=M*L^2/3 ★. {積分しなくても、慣性モーメントを求めることができた!}

◇ 円柱が横回転するときの慣性モーメント ◇ ◎ 平行軸の定理の利用 ■ 円柱(半径 R　高さ L)　密度 ρ　M=Pi*R^2*L*ρ 回転対称軸で　Iz=M*R^2/2 円柱の中心を通る横回転で　Ix=Iy=M*R^2/4+M*L^2/12 ★. {証明}ρ=M/[(Pi)R^2*L] 円柱を横に置いて、上から包丁でスライスして、円盤をたくさん作る。 中心からの距離 x　x〜x+dx にある円盤を考えて、 円盤の慣性モーメント Ic=(1/4)*ρ*[(Pi)*R^2*dx]*R^2 回転軸から、x 離れているから、平行軸の定理より、 　dI=(1/4)*ρ*[(Pi)*R^2*dx]*R^2+ρ*[(Pi)*R^2*dx]*x^2 =ρ*(Pi)*R^2*[(1/4)*R^2+x^2]dx {なかなかいいアイデアで求めてるぞ!} 　Ix=2*ρ*(Pi)*R^2*${(1/4)*R^2+x^2}dx[x:0->L/2] ${R^2+x^2}dx[x:0->L/2]=[(1/4)*R^2*x+x^3/3][x:0->L/2] =R^2*L/8+L^3/24 　Ix=(1/4)*ρ*(Pi)*R^4*L+(1/12)*ρ*(Pi)*R^2*L^3 =(1/4)*M*R^2+(1/12)*M*L^2　』 {以上、私のアイデア! 2012/9 既存の資料には、もっと計算が難しい方法しか掲載されていない。}

◇ 円柱が横回転するときの慣性モーメント ◇ ◎ 平行軸の定理の利用 ■ 円柱(半径 R　高さ L)　密度 ρ　M=Pi*R^2*L*ρ 回転対称軸で　Iz=M*R^2/2 円柱の中心を通る横回転で　Ix=Iy=M*R^2/4+M*L^2/12 ★. {証明}ρ=M/[(Pi)R^2*L] 円柱を横に置いて、上から包丁でスライスして、円盤をたくさん作る。 中心からの距離 x　x〜x+dx にある円盤を考えて、 円盤の慣性モーメント Ic=(1/4)*ρ*[(Pi)*R^2*dx]*R^2 回転軸から、x 離れているから、平行軸の定理より、 　dI=(1/4)*ρ*[(Pi)*R^2*dx]*R^2+ρ*[(Pi)*R^2*dx]*x^2 =ρ*(Pi)*R^2*[(1/4)*R^2+x^2]dx {なかなかいいアイデアで求めてるぞ!} 　Ix=2*ρ*(Pi)*R^2*${(1/4)*R^2+x^2}dx[x:0->L/2] ${R^2+x^2}dx[x:0->L/2]=[(1/4)*R^2*x+x^3/3][x:0->L/2] =R^2*L/8+L^3/24 　Ix=(1/4)*ρ*(Pi)*R^4*L+(1/12)*ρ*(Pi)*R^2*L^3 =(1/4)*M*R^2+(1/12)*M*L^2　』 {以上、私のアイデア! 2012/9 既存の資料には、もっと計算が難しい方法しか掲載されていない。}

◇ 直交する軸の慣性モーメント ◇ ◆ 質点がxy平面上にある　質量 m1,m2,…　位置 (x1,y1,0),(x2,y2,0),… それぞれの座標軸を回転軸とする慣性モーメント Ix,Iy,Iz ■ Ix=m1*y1^2+m2*y2^2+… 　Iy=m1*x1^2+m2*x2^2+… 　Iz=m1*(x1^2+y1^2)+m2*(x2^2+y2^2)+…=Ix+Iy ★.直交軸の定理

◇ 直交する軸の慣性モーメントの利用 ◇ ■【 長方形 】xy平面上に長方形　面密度 σ　横(x軸) W　縦(y軸) L　M=σ*W*L 　Ix=M*W^2/12　Iy=M*L^2/12　Iz=M*(w^2+L^2)/12 ★. ■【 円盤 】円盤　半径 R　幅 h　密度 ρ　M=Pi*R^2*h*ρ 回転対称軸で　Iz=M*R^2/2 円盤の中心を通る横回転で　Iz=Ix+Iy　Ix=Iy　だから、 　Ix=Iy=M*R^2/4 ★.

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