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2015/9 Yuji.W |
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☆長方形の膜の振動☆ |
◎ 定在波 長方形太鼓
◇ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積# 物理定数 ★
微分 y;x 2階微分 y;;x 時間微分
y' 積分 ${f(x)*dx} 定積分
${f(x)*dx}[x:a~b]
10^x=Ten(x) ネイピア数 e 虚数単位 i e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) 2015/9/25
| ☆長方形の膜の振動☆ |
◎ 水平に張られた長方形の膜 上下に振動
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『波.振動.回転を表す量』 2015/9 ■ 周期 T 振動数(周波数) nu=1/T 角速度(角振動数,角周波数) w=2Pi*nu=2Pi/T 波長 λ (角)波数 k=2Pi/λ 波の速さ v=λ*nu=w/k ■ sin波 z(x,t)=z0*cos[k*(x-v*t)]=z0*cos[2Pi*(x/λ-t/T)]=z0*cos(k*x-w*t) |
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『弦を伝わる波』 2015/9 ◆ 弦 線密度 λ 弦の張力 F0=一定 v=root(F0/λ) 水平軸 x軸 弦の変位 z(x,t) ■ 弦の波動方程式 z''=v^2*(z;;x) v:波の(位相)速度 ◆ 定在波 x=0 , L で z=0 波の(位相)速度 v ■ z(x,t)=z0*sin(k*x)*cos(w*t)〔n=整数 k=n*Pi/L w=n*Pi*v/L〕
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● 2次元波動方程式 z''=v^2*(z;;x+z;;y)
◆ xy平面にゴム膜 z軸方向の変位 z(x,y,t) 波の速さ v
x=0 , x=Lx で z(x,y,t)=0 y=0 , y=Ly で z(x,y,t)=0
定在波 z(x,y,t)=z0*sin(kx*x)*sin(ky*y)*cos(w*t)
■ 境界条件より 整数 nx,ny に対して kx*Lx=nx*Pi , ky*Ly=ny*Pi
kx=nx*Pi/Lx , ky=ny*Pi/Ly
波動方程式 z''=-w^2*z0*sin(kx*x)*sin(ky*y)*cos(w*t)
z;;x=-kx^2*z0*sin(kx*x)*sin(ky*y)*cos(w*t)
z;;y=-ky^2*z0*sin(kx*x)*sin(ky*y)*cos(w*t)
w^2=v^2*(kx^2+ky^2)=v^2*Pi^2*[(nx/Lx)^2+(ny/Ly)^2]
w=v*Pi*root[(nx/Lx)^2+(ny/Ly)^2]
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『膜を伝わる定在波』 2015/9 ● 2次元波動方程式 z''=v^2*(z;;x+z;;y) ◆ xy平面にゴム膜 z軸方向の変位 z(x,y,t) 波の速さ v x=0 , x=Lx で z(x,y,t)=0 y=0 , y=Ly で z(x,y,t)=0 定在波 z(x,y,t)=z0*sin(kx*x)*sin(ky*y)*cos(w*t) ■ kx=nx*Pi/Lx , ky=ny*Pi/Ly w=v*Pi*root[(nx/Lx)^2+(ny/Ly)^2] |
★ Lx=2*Ly のとき v*Pi/Ly=w0 と置いて w/w0=root(nx^2/4+ny^2)
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『長方形の膜の振動』 2015/9 Lx=2*Ly v*Pi/Ly=w0 のとき |
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nx |
ny |
w/w0 |
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1 |
1 |
root(5/4)~1.12 |
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2 |
1 |
root2~1.41 |
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3 |
1 |
root(13/4)~1.80 |
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1 |
2 |
root(17/4)~2.06 |
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2 |
2 |
root5~2.24 |
★ 長方形の膜の振動 ★