☆お勉強しようUz☆ 物理.力学

2016/9-2011 Yuji.W

☆3体問題.ラグランジュ点☆

◎ 系が回転している 遠心力 centrifugal force コリオリ力 Coriolis force

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

◇3体問題.ラグランジュ点◇

■ このページでは、次のような3体問題を考える。

@ 3質点が、正三角形の各頂点にある。正三角形はxy平面上にある。

A 3質点間の重力のみが働く。

B 質点3の質量は非常に小さい。質点3は、他の2質点に影響を与えないとみなす。

C 3質点の質量の中心は原点にあり、z軸を回転の軸として、等速円運動をする。

質点と共に回転する回転系で考える。遠心力が生じる。回転系に対しては、動いていないので、コリオリ力は生じない。

以上の3質点に働く力を考える。

※ 3質点が静止していれば、重力によって集まってくる。回転しているから、その距離を保つ事ができる。 .


◆ 3質点の質量 2*M,M,m m/M<<1

位置 (0,-2) , (0,4) , (3*root3 , 1) 質量の中心は原点

原点からの距離 2 , 4 , 2*root7 回転の角速度 w

それぞれの質点に働く重力 <FG1>,<FG2>,<FG3>

それぞれの質点に働く遠心力 <Fc1>,<Fc2>,<Fc3>

● 遠心力=(質量)*(回転半径)*(角速度)^2

■【 角速度 】

質点1に対して考えれば G*(2*M)*M/6^2=(2*M)*2*w^2

 w^2=G*M/72

{確かめ} 質点2に対して考えても G*M*(2*M)/6^2=M*4*w^2

 w^2=G*M/72

■【 質点1,2に働く重力 】

 <FG1>=<yu>*G*(2*M)*M/6^2=<yu>*G*M^2/18

 <FG2>=-<yu>*G*M*(2*M)/6^2=-<yu>*G*M^2/18

■【 質点1,2に働く遠心力 】

 <Fc1>=-<yu>*(2*M)*2*w^2=-<yu>*G*M^2/18

 <Fc2>=<yu>*M*4*w^2=<yu>*G*M^2/18

■【 質点1,2に働く合力 】

 <FG1>+<Fc1>=0 <FG2>+<Fc2>=0

{ここまでは、まあ、当たり前!ここからが核心!}

■【 質点3に働く重力 】

 質点1による重力の大きさ=G*(2*M)*m/6^2=G*M*m/18

 質点2による重力の大きさ=G*M*m/6^2=G*M*m/36

 <FG3>のx成分
=-(G*M*m/18)*(3*root3/6)-(G*M*m/36)*(3*root3/6)
=-root3*G*M*m/24

 <FG3>のy成分
=-(G*M*m/18)*(3/6)+(G*M*m/36)*(3/6)
=-G*M*m/72

 <FG3>=-(<xu>*root3/24+<yu>/72)*G*M*m

原点から質点3に向かう単位ベクトル <ru>

 <ru>=(<xu>*3*root3+<yu>)/(2*root7)=(<xu>*3*root3+<yu>)*root7/14 だから、

 <xu>*root3/24+<yu>/72
=(<xu>*3*root3+<yu>)/72
=<ru>*14/(root7*72)
=<ru>*root7/36

 <FG3>=-<ru>*G*M*m*root7/36 .重力の合力が原点を通る{!}

■【 質点3に働く遠心力 】

 大きさ=m*(2*root7)*(G*M/72)=G*M*m*(root7/36)

 方向=<ru>

 <Fc3>=<ru>*G*M*m*(root7/36) .

■【 質点3に働く合力 】

 <FG3>+<Fc3>=0 .

----- まとめ -----

3質点が正三角形に並び、その平面上を回転している場合、それぞれに働く力はつり合う。ただし、質点3の質量は非常に小さくて、他の2質点に影響を与えないとみなせる場合である。 .

◇ラグランジュ点の安定性◇

◎ 以上のように、正三角形の頂点がつり合いの位置にある事がわかった。そのつり合いの位置は、安定しているのか?少しだけ位置がずれたときに、元の位置に戻すような力が働くのだろうか?

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  3体問題.ラグランジュ点  

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