☆お勉強しようUz☆ 物理.力学

2016/9-2012/11 Yuji.W

☆楕円運動.速さ

◎ 楕円運動の軌道上の速さ 最短距離 最遠距離 楕円運動の周期

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数 .

{復習}楕円

『楕円』 2016/9

◆ 楕円 長半径 A 短半径 B 焦点 F 離心率 e 0≦e<1 通径 l

最短距離 r0 最遠距離 r1

■ x^2/A^2+y^2/B^2=1 F=root(A^2-B^2) e=F/A l=B^2/A

■ r0=A*(1-e) r1=A*(1+e) e=(1-r0/r1)/(1+r0/r1)

■ 楕円の面積=Pi*A*B

{復習}全エネルギーと長半径

『惑星の運動.全エネルギーと長半径』 2016/9

◆ 全エネルギー E 楕円の長半径 A

■ E=-(1/2)*G*M*m/A

◇楕円運動をする質点の速さ◇

◎ 全エネルギーは保存されるから、任意の位置での速さを求める事ができる

◆ 楕円の1つの焦点から軌道上の点までの距離 r

全エネルギー E 運動エネルギー K 位置エネルギー U 速さ v

■【 速さ 】

 E=-(1/2)*G*M*m/A K=(1/2)*m*v^2 U=-G*M*m/r

 E=K+U だから、

 -(1/2)*G*M*m/A=(1/2)*m*v^2-G*M*m/r

 v^2=G*M*(2/r-1/A) .


◆ 最短距離 r0 最遠距離 r1 そこでの速さ v0,v1

最短距離を半径とする円運動の速さ vc=root(G*M/r0)

■【 最短距離や最遠距離での速さ 】

最短距離で v0^2=G*M*(2/r0-1/A)

ここで A=r0/(1-e) を使うと 2/r0-1/A=2/r0-(1-e)/r0=(1+e)/r0

 v0^2=G*M*(1+e)/r0=vc^2*(1+e)

≫ v0/vc=root(1+e) .

{なるほどね!おもしろいなあ!2016/9}

最遠距離で v1^2=G*M*(2/r1-1/A)

ここで A=r0/(1-e) r1=r0*(1+e)/(1-e)を使うと、

 2/r1-1/A
=2*(1-e)/[r0*(1+e)]-(1-e)/r0
=[(1-e)/r0]*[2/(1+e)-1]
=(1-e)^2/[r0*(1+e)]

 v1^2=G*M*(1-e)^2/[r0*(1+e)]=vc^2*(1-e)^2/(1+e)

≫ v1/vc=(1-e)/root(1+e) .

 v1/v0=(1-e)/(1+e) .

■【 面積速度 】

速さの関係 v1/v0=(1-e)/(1+e)  距離の関係 r1/r0=(1+e)/(1-e)

 r0*v0=r1*v1 .面積速度の関係が確認できた

『楕円運動をする質点の速さ』 2016/9

◆ 最短距離 r0 最遠距離 r1 そこでの速さ v0,v1

離心率 e r1/r0=(1+e)/(1-e)

最短距離を半径とする円運動の速さ vc=root(G*M/r0)

■ v0/vc=root(1+e) v1/v0=(1-e)/(1+e) v1/vc=(1-e)/root(1+e)

▲ 最短距離 r0 と、そこでの速さ v0 がわかったとき

 1+e=(v0/vc)^2 r1/r0=(1+e)/(1-e) A/r0=1/(1-e) .楕円の形と大きさが決まる

◇運動エネルギー、位置エネルギー◇

◆ 重力源の質量 M 物体の質量 m 楕円の長半径 A 離心率 e

重力源からの最短距離 r0=A*(1-e) 最遠距離 r1=A*(1+e)

運動エネルギー K 位置エネルギー U 全エネルギー E

最短地点で K0 U0  最遠地点で K1 U1

■【 円運動をしている場合 】

半径 r0 で円運動をしている場合 速さ vc=root(G*M/r0)

その運動エネルギー \K と置く

 \K=(1/2)*m*vc^2=(1/2)*G*M*m/r0

 位置エネルギー/\K=-2 全エネルギー/\K=-1

■【 最短地点で 】

 K0/\K=(v0/vc)^2=1+e U0/\K=-2 E/\K=(1+e)-2=-(1-e)

■【 最遠地点で 】

 K1/\K=(v1/vc)^2=(1-e)^2/(1+e)

 U1=-G*M*m/r1=-(G*M*m/r0)*(1-e)/(1+e)=-2*\K*(1-e)/(1+e)

 U1/\K=-2*(1-e)/(1+e)

 E/\K
=(1-e)^2/(1+e)-2*(1-e)/(1+e)
=[(1-e)-2]*(1-e)/(1+e)
=-(1-e) {よかったよかった!全エネルギーは保存されている!2016/9}

『楕円運動のエネルギー』 2016/9

運動エネルギー/\K

位置エネルギー/\K

全エネルギー /\K

円.最短距離で

1

-2

-1

楕円.最短距離で

1+e

-2

-(1-e)

楕円.最遠距離で

(1-e)^2/(1+e)

-2*(1-e)/(1+e)

-(1-e)

{まとまった!長年の課題が解決できた!2016/9}

◇楕円軌道の周期◇

楕円運動の場合 r0 と r1 がわかれば 長半径 A=(r0+r1)/2

k=r0/r1 を求めて e=(1-k)/(1+k)

 通径 l=A*(1-e^2) 短半径 B=A*root(1-e^2)=l/root(1-e^2) 焦点 F=e*A

 面積速度*2=b=root(G*M*l)=root[G*M*A*(1-e^2)]

 周期 T
=楕円の面積/面積速度
=(Pi*A*B)/[root(G*M*l)/2]
=2Pi*A*[A*root(1-e^2)]/root[G*M*A*(1-e^2)]
=2Pi/root(G*M/A^3)  うまく、B や e が消去できた

重力源の質量 M 質点の軌道の長半径 A 周期 T

 T^2/A^3=4*Pi^2/(G*M)=一定  質点の質量や短半径に依らない(ケプラーの第3法則)

{なぜ、長半径だけに依るのか謎だった、わかった!2015/5}

  楕円運動.速さ  

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