☆ 無限遠へ飛び去る彗星の運動 ☆

お勉強しよう 力学 数学

〇 双曲線 無限遠へ飛び去る  2023.5-2016.3 Yuji.W

◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A> 単位ベクトル <xu> 内積 * 外積 # 

〓 双曲線 デカルト座標 円座標 〓 23.5 

▢ 左右に開く双曲線 x^2/A^2-y^2/B^2=1 〔 正の定数 A,B 〕

 漸近線の交点と焦点との距離  F=root(A^2+B^2) 

▷ 漸近線がx軸と作る角 a0 tan(a0)=B/A cos(a0)=A/F sin(a0)=B/F 

  (漸近線の交点と、双曲線とx軸との交点との距離)=A

 衝突径数 漸近線と焦点との最短距離  Ip=F*sin(a0)=B

▷ 離心率 e=F/A=root(1+B^2/A^2) >1

 通径 l=(焦点を通りy軸に平行な直線と双曲線との交点と、焦点との距離)=B^2/A >0 

▷ A=l/(e^2-1) B=l/root(e^2-1) 

▷ 双曲線上の任意の点 P(x,y) |PF2-PF1|=2*A 

▷ 円座標(r,a _C) r*cos(a)=x+F r*sin(a)=y r=root[(x+F)^2+y^2] 

 r*[e*cos(a)-1]=l 原点 左側の焦点 左に開く放物線

 r*[e*cos(a)+1]=l 原点 左側の焦点 右に開く放物線

〓 無限遠へ飛び去る彗星の運動 〓 

▢ 双曲線

2次元デカルト座標(x,y)で ① x^2/A^2-y^2/B^2=1〔A,B:正の定数〕
焦点 F=root(A^2+B^2) 

円座標 (r,a) e>1 l>0

② l/r=1+e*cos(a) 左側に開く双曲線 x≦-A<0 x+F=r*cos(a) , y=r*sin(a)

③ l/r=1-e*cos(a) 右側に開く双曲線 0<A≦x x-F=r*cos(a) , y=r*sin(a)

 A=l/(e^2-1) B=l/root(e^2-1) F=A*e=l*e/(e^2-1)

以下②の式を使って考える。結果は、③でも同じ。

運動エネルギー K 位置エネルギー U 全エネルギー E=K+U=一定

▷ e>1 より E=(1/2)*(e-1)*G*M*m/r_min>0  このときに、無限遠へ飛び去る

a=0 のとき r_min=l/(1+e) だから、

 E=(1/2)*(e-1)*G*M*m/r_min=(1/2)*(e^2-1)*G*M*m/l  

▷ 漸近線がx軸と作る角 a0

 tan(a0)=B/A=[l/root(e^2-1)]/[l/(e^2-1)]=root(e^2-1)

 a0=arctan[root(e^2-1)]  

また E=(1/2)*(e^2-1)*G*M*m/l だったから、

 a0=arctan{root[2*E*l/(G*M*m)]}  

{いろいろな事がわかっていく!おもしろいなあ!2021.2}

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