☆お勉強しようUz☆ 物理.力学

2016/5-2012/11 Yuji.W

惑星の運動.計算例

◎ 惑星の運動 2体問題 ケプラー問題 ケプラーの法則 エネルギー ホーマン軌道 力学的相似 ☆ 通径 latus rectum 離心率 eccentricity

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数 .

{復習}惑星の運動.楕円

『惑星の運動』2016/3

■【 楕円 】

長半径 A 短半径 B F=root(A^2-B^2) 離心率 e=F/A

通径 l=B^2/A A=l/(1-e^2) B=l/root(1-e^2) F=l*e/(1-e^2)

最短距離 r0=A-F=l/(1+e) 最遠距離 r1=A+F=l/(1-e)

 e=l/r0-1=(1-r0/r1)/(1+r0/r1)

■【 惑星の運動 】

r^2*a'=一定=b l=b^2/(G*M) 全エネルギー E 角運動量 L=m*b

軌道 r=l/[1+e*cos(a)]

 2*m*E=-L^2*(1-e^2)/l^2 e^2=1+2*m*E*l^2/L^2

■ T^2/A^3=4*Pi^2/(G*M)

◇ハレー彗星◇

◆ 地球の軌道(円軌道として) 半径 R 速さ V=root(G*M/R)

ハレー彗星 r0/R=0.6 v_max/V=1.81

■ b
=r0^2*(v/r0)
=r0*v
=(0.6*R)*(1.81*V)
=1.086*R*V
=1.086*R*root(G*M/R)
=1.086*root(G*M*R)

 l=b^2/(G*M)=1.086^2*(G*M*R)/(G*M)=1.179*R

 e=l/r0-1=(1.179*R)/(0.6*R)=1.965-1=0.965

 r1=l/(1-e)=1.179*R*(1-0.965)=33.7*R

 r1/r0=(33.7*R)/(0.6*R)=55

 A=1.179*R/(1-0.965^2)=1.179*R/(1-0.965^2)=17.14*R

 T^2/17.14^3=1^2/1^3 T^2=5035 T=71_year

▲ 実際のデータ

r0=0.586_au r1=35.082_au A=17.834_au e=0.967 T=75.3_year

◇惑星の運動の軌道-計算例-◇

★ 長半径 A , 短半径 B と 離心率 e の関係の例

「長半径 A , 短半径 B と 離心率 e の関係の例」 2015/5

B/A

1

0.9

0.8

0.5

0.1

0

離心率 e=F/A

0

0.44

0.6

0.87

0.99

1

{楕円を書けと言われると、B/A=0.5 ぐらいを書くかな。そのとき、焦点は 長半径の 9/10 ほどの所にある。かなりずれた位置にある!2015/5}

★ 惑星の軌道

「惑星の軌道」 2015/5

a

0

Pi/4

Pi/2

3Pi/4

Pi

cos(a)

1

0.707

0

-0.707

-1

r/l

e=0.1 のとき

0.91

0.93

1

1.08

1.11

e=0.5 のとき

0.67

0.74

1

1.55

2

★ e=0.1 のとき

 A/l=1/(1-e^2)~1.010 B/l=1/root(1-e^2)~1.005 F/l~0.101

 r0/l=0.91 r1/l=1.11

★ e=0.5 のとき

 A/l=1/(1-e^2)~1.33 B/l=1/root(1-e^2)~1.15 F/l=0.67

 r0/l=0.66 r1/l=2

☆近日点と離心率の関係☆

◆ 角運動量 L 重力源の質量 M 質点の質量 m 通径 l=L^2/(G*M*m^2)

重力源からの距離 r r0/l=1/(1+e) r1/l=1/(1-e)

■ l を消去して (1-e)/(1+e)=r0/r1=k と置けば、

 1-e=k*(1+e) 1-e=k+k*e e=(1-k)/(1+k) 

★ k=0.9 e=0.1/1.9~0.05

★ k=0.5 e=0.5/1.5~0.33

★ 地球 太陽に対して r0=1.471*Ten(11)_m r1=1.521*Ten(11)_m

 k=1.471/1.521~0.9671 1/300 程度のずれ

 e=0.0329/1.9671~0.0167 B/A=root(1-e^2)~0.9999 10cm対9.999cm 0.01mm 短くする{!}

★ 月 地球に対して r0=3.63*Ten(8)_m r1=4.05*Ten(8)_m

 k=3.63/4.05~0.896 e=0.104/1.896~0.055 1/200 程度のずれ

☆楕円軌道の周期☆

円運動の場合 r=R=一定

運動方程式 R*a'^2=G*M/R^2 a'=root(G*M/R^3) 

 周期 T=2Pi/a'=2Pi*root[R^3/(G*M)]

{別解}  面積速度*2=R^2*a'=b=root(G*M*R)

円の面積=Pi*R^2

 周期 T=Pi*R^2/(b/2)=2*Pi*R^2/root(G*M*R)=2*Pi/root(G*M/R^3)

 T^2/R^3=4*Pi^2/(G*M)=一定 

楕円運動の場合 r0 と r1 がわかれば 長半径 A=(r0+r1)/2

k=r0/r1 を求めて e=(1-k)/(1+k)

 通径 l=A*(1-e^2) 短半径 B=A*root(1-e^2)=l/root(1-e^2) 焦点 F=e*A

 面積速度*2=b=root(G*M*l)=root[G*M*A*(1-e^2)]

 周期 T
=2Pi*A*B/root(G*M*l)
=2Pi*A*[A*root(1-e^2)]/root[G*M*A*(1-e^2)]
=2Pi/root(G*M/A^3)  うまく、B や e が消去できた

重力源の質量 M 質点の軌道の長半径 A 周期 T

 T^2/A^3=4*Pi^2/(G*M)=一定  質点の質量や短半径に依らない(ケプラーの第3法則)

{なぜ、長半径だけに依るのか謎だった、わかった!2015/5}

● 地球 A=1_AU T=1_yea

● 月 A=384400_km T=27.322_day

★ 「かぐや」 r1=3.844*Ten(5)_km r0=7380_km

 A=(384400+7380)/2=391780/2=195890_km

 長半径の比=[3.844*Ten(5)/195800]=1.96 1.96^(3/2)=root(7.5295)~2.744

 T=27.322/2.744~9.96_day 

▲ 1つの重い重力源に対して、楕円運動をする、複数の軽い質量の質点で、 T^2/A^3 は、等しい値をとるという意味。

■ 実際の太陽系のデータで計算してみた。地球の半径、公転周期を1として、その比で示してある。本当は、円ではなく、楕円軌道なので、軌道長半径という量で計算してある。

 

軌道
長半径

公転
周期

半径の3乗

周期の2乗

水星

0.3871

0.2409

0.05801

0.058

0.9995

金星

0.7233

0.6152

0.3784

0.3785

0.9998

地球

1

1

1

1

1

火星

1.5237

1.8809

3.53752

3.5378

0.9999

木星

5.2026

11.862

140.819

140.71

1.0008

土星

9.5549

29.458

872.325

867.77

1.0052

天王星

19.2184

84.022

7098.26

7059.7

1.0055

海王星

30.1104

164.774

27299.2

27150

1.0055

冥王星

39.5404

247.796

61819.2

61403

1.0068

  ケプラーの第3法則は、かなりの精度(誤差0.5%程度)で成り立っていることがわかる。

★ 地球 A=1_au 周期 T=1_year

ハレー彗星 A=17.834_AU 周期 T=root(17.834^3)=75.3_year {!}

★ 月 地球に対して r0=363300_km r1=405500_km

 A=(363300+405500)/2=768800/2=384400_km 周期 27.322_day~656_hour

人工衛星 地球に対して r0=225+6378=6603_km r1=710+6378=7088_km

 A=(6603+7088)/2=13691/2=6245.5 周期 T

 長半径の比=384400/6245.5~61.55

ケプラーの法則より

 T=656/61.55^(3/2)=656/483~1.36_hour

☆楕円軌道の周期-2-☆

◆ 重い重力源(質量 M) その周りを楕円運動する質点の、周期 T、長半径 A

ケプラーの第3法則 M*T^2/A^3=4*Pi^2/G=宇宙のどこでも同じ値 

質量が未知の重力源に対して、その周りを楕円運動をする星の周期と長半径がわかれば、求める事ができる  {素晴らしい!}

ある重力源(質量 M1) その周りを楕円運動をする天体の周期 T1 長半径 A1

別の重力源(質量 M2) その周りを楕円運動をする天体の周期 T2 長半径 A2

■ M1*T1^2/A1^3=M2*T2^2/A2^3

 M1/M2=(T1/T2)^2/(A1/A2)^3 

★ 地球 周期 365_day 公転半径 1.496*Ten(11)_m

月 周期 27.322_day 公転半径 3.844*Ten(8)_m

地球の質量 Me 太陽の質量 Ms Ms/Me ?

{解} 周期の比=365/27.322~13.36 13.36^2~178.5

 公転半径の比=[1.496*Ten(11)]/[3.844*Ten(8)]~389.2 389.2^3~5.895*Ten(7)

 Ms/Me=5.895*Ten(7)/178.5~3.30*Ten(5) 

 実際の値 Ms/Me
=[1.9891*Ten(30)]/[5.972*Ten(24)]
=[1.9891*Ten(30)]/[5.972*Ten(24)]
~3.333*Ten(5)

★ 木星の衛星イオ 木星に対する公転周期 1.769_day 公転半径 4.218*Ten(8)_m

月 周期 27.322_day 公転半径 3.844*Ten(8)_m

木星の質量 Mj

{解} 周期の比=27.322/1.769~15.44 15.44^2~238.4

 公転半径の比=[3.844*Ten(8)]/[4.218*Ten(8)]~0.9113 0.9113^3~0.7568

 Mj/Me=238.4/0.7568~315 

☆軌道上の速さ☆

◆ 地球 楕円軌道 離心率 e=0.0167 太陽からの距離 r 最小値 r0 最大値 r1

そこでの速さ v_max , v_min

■ 面積速度一定の法則より r0*v_max=r1*v_min 

軌道の式より r1/r0=(1+e)/(1-e)=1.0167/0.9833~1.034

 v_max/v_min=r1/r0=1.034 

◆ ハレー彗星 周期 T=75.3_year A=17.834_au

最小値 r0=0.6_au 最大値 r1 そこでの速さ v_max , v_min

■ r1=2*A-r0=2*17.834-0.6~35.1

 v_max/v_min=r1/r0=38.1/0.6~63.5

☆重力加速度☆

◆ 重力加速度(単位質量に働く重力) G*M/R^2 地球で g=9.807_m/sec^2 月で gm

■ gm/g=(Mm/Me)/(Rm/Re)=(1/81.3)/(1738/6378)^2~0.166 

 gm=g*0.166=9.807*0.166~1.628_m/sec^2

◆ 月が、地球の表面上にある単位質量の物体に及ぼす大きさ \g

月-地球 Dm=384400_km Dm/Re=384400/6378~60.27

 \g/g=(Mm/Me)/(Dm/Re)=(1/81.3)/60.27^2~3.39*Ten(-6) 

☆宇宙へ.楕円軌道☆

◆ 地球から金星へ 地球から火星へ 楕円軌道

平均軌道半径 金星 Av=0.72_AU 火星 Am=1.52_AU

公転速度 地球 Ve=30_km/sec

 金星 Vv=Ve/root(0.72)~30/0.85~35_km/sec

 火星 Vm=Ve/root(1.52)~30/1.23~24_km/sec

■ 地球から金星へ r0=0.72_AU r1=1_AU A=(0.72+1)/2=0.86_AU

 1+e=1/0.86=1.16 1-e=0.72/0.86=0.84

 周期=root(0.86^3)=0.80_year 

 v_max=Vv*root(1+e)=35*root(1.16)~37.7_km/sec  金星に到着時 金星に追いつく

 v_min=Ve*root(1-e)=30*root(0.84)~27.5_km/sec  地球からの出発時

■ 地球から火星へ r0=1 r1=1.52_AU A=(1+1.52)/2=1.26

 1+e=1.52/1.26=1.21 1-e=1/1.26=0.79

 周期=root(1.26^3)=1.4_year 

 v_max=Ve*root(1+e)=30*root(1.21)~33_km/sec  地球からの出発時

 v_min=Vm*root(1-e)=24*root(0.79)~21_km/sec  火星に到着時 火星に追いついてもらう


★ 地球から太陽へ r0=0.01_AU r1=1_AU A=(0.01+1)/2=0.505_AU

 1+e=1/0.505=1.98 1-e=0.01/0.505=0.02

 周期=root(0.505^3)=root(0.1289)=0.36_year 

 r0 での円運動の速さ=Ve/root(0.01)=30/0.1=300_km/sec

 v_max=Vv*root(1+e)=300*root(1.98)~300*1.407~420_km/sec 

 v_min=Ve*root(1-e)=30*root(0.02)~30*0.14~4.2_km/sec  地球からの出発時

★ 地球から木星へ r0=1_AU r1=5.2_AU 木星 A=3.1_AU

 木星の公転周期=root(5.2^3)=root(140.608)~11.9_year

 人口衛星の周期=root(3.1^3)=root(29.791)~5.5_year

 1+e=5.2/3.1~1.68 root(1.68)~1.3

 v_max=29.8*1.3~39_km/sec  出発時の速さ

★ 地球の上空から月へ

「かぐや」 r1=384400_km r0=7380_km r1/r0~52

 A=(384400+7380)/2=391780/2=195890_km T=9.96_day

月の平均軌道速度(r1 で) 1.022_km/sec

 1-e=r0/A=7380/195890~0.0377 root(1-e)~0.193

 v_min=V*root(1-e)=1.022*0.193~0.197_km/sec~200_m/sec  到着時の速さ

 r=r0 での円運動の公転速度
=1.022*root(r1/r0)
=1.022*root(52)
~1.022*7.21
~7.37_km/sec

 1+e=r1/A=384400/195890~1.9623 root(1.9623)~1.4

 v_max=7.37*1.4~10.3_km/sec  出発時の速さ

★ M=5.29*Ten(22)_kg

 G*M=[5.29*Ten(22)]*[6.67*Ten(-11)]~3.53*Ten(12)

 r1=1100_km r0=700_km A=900_km

 G*M/r1=3.53*Ten(12)/1100000~3.2*Ten(6) root[3.2*Ten(6)]~1800

 G*M/r0=3.53*Ten(12)/700000~5.04*Ten(6) root[5.04*Ten(6)]~2500

 1+e=1100/900=11/9 root(1+e)=root(11)/3~3.33/3=1.11

 1-e=700/900=7/9 root(1-e)=root7/3~2.643/3=0.881

円運動の速さ Vmin=root(G*M/r1)=1800_m/sec

 Vmax=root(G*M/r0)=2500_m/sec

楕円運動の速さ v_min=1800*0.881~1590_m/sec

 v_max~2500*1.11~2750_m/sec

◇力学的相似-太陽系の惑星◇

■ 太陽系の主な惑星の、太陽からの距離、公転周期、軌道速度を調べてみた。地球の値を、基準にして表してある。

力学的相似より 半径^3/周期^2=一定 速度^2*半径=一定 速度^3*周期=一定

「太陽系の惑星の運動」

 ■

地球

金星

火星

木星

半径

1

0.723

1.52

5.2

周期

1

0.625

1.908

12.065

速度

1

1.174

0.808

0.439

半径^3

1

0.378

3.511

141

周期^2

1

0.391

3.64

146

速度^2

1

1.38

0.653

0.193

速度^3

1

1.62

0.528

0.0847

半径^3/周期^2

1

0.967

0.964

0.965

速度^2*半径

1

0.998

0.993

1.00

速度^3*周期

1

1.01

1.01

1.07

▲ 半径^3/周期^2 速度^2*半径 速度^3*周期 が、ほぼ一定の値をとっていることがわかる。力学的相似のよい例になっている。{おもしろいなあ!2015/7}

  惑星の運動.計算例  

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