物理 力学

2017/5-2015/3 Yuji.W

ガリレイ変換

2つの慣性系 速度、運動量、運動エネルギー、角運動量の変換 _ 物理定数

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 縦ベクトル <A) 内積 * 外積 #
 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 y;x 
時間微分 x' 積分 ${f(x)*dx}

◇ガリレイ変換.1質点◇

◆ 2つの慣性系 x系,h系 1質点 質量 m

x系で <r> <v>=<r>' <p>=m*<v> K=(1/2)*m*v^2
 <L>=<r>#<p>

h系で <rh> <vh>=<rh>' <ph>=m*<vh> Kh=(1/2)*m*vh^2
 <Lh>=<rh>#<ph>

h系の原点の位置(x系で) <h> <v.>=<h>'

 <r>=<rh>+<h> <v>=<vh>+<v.>

■ <p>=m*<v>=m*(<vh>+<v.>)=<ph>+m*<v.> _

■ v^2
=<v>*<v>
=(<vh>+<v.>)*(<vh>+<v.>)
=vh^2+2*<vh>*<v.>+v.^2

 K
=(1/2)*m*v^2
=(1/2)*m*vh^2+m*<vh>*<v.>+(1/2)*m*v.^2
=Kh+<ph>*<v.>+(1/2)*m*v.^2 
_

■ <L>
=<r>#<p>
=(<rh>+<h>)#(<ph>+m*<v.>)
=<rh>#<ph>+m*<rh>#<v.>+<h>#<ph>+m*<h>#<v.>
=<Lh>+m*<rh>#<v.>+<h>#<ph>+m*<h>#<v.> 
_

◇ガリレイ変換.2質点の運動◇

◆ 2質点 質点@,Aの諸量に 1,2 を添付 それらの和には何も添付しない。

例えば  m1+m2=M <p1>+<p2>=<p>

質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M <G>'=<VG>
 <Gh>=(m1*<r1h>+m2*<r2h>)/M <Gh>'=<VGh>

■ <p1>+<p2>
=(<p1h>+m1*<v.>)+(<p2h>+m2*<v.>)
=(<p1h>+<p2h>)+(m1+m2)*<v.>
=<ph>+M*<v.> 
_

■ K1+K2=(K1h+K2h)+(<p1h>+<p2h>)*<v.>+(1/2)*M*v.^2 _

■ <L>
=<r>#<p>
=(<rh>+<h>)#(<ph>+m*<v.>)
=<rh>#<ph>+m*<rh>#<v.>+<h>#<ph>+m*<h>#<v.>
=<Lh>+m*<rh>#<v.>+<h>#<ph>+m*<h>#<v.>

 <L1>+<L2>
=(<L1h>+<L2h>)+(m1*<r1h>+m2*<r2h>)#<v.>
+<h>#(<p1h>+<p2h>)+M*<h>#<v.>
=(<L1h>+<L2h>)+M*<Gh>#<v.>
+<h>#(<p1h>+<p2h>)+M*<h>#<v.>
=(<L1h>+<L2h>)+<h>#(<p1h>+<p2h>)+M*<G>#<v.>

 <L1>+<L2>=(<L1h>+<L2h>)+<h>#(<p1h>+<p2h>)+M*<G>#<v.> _

◇2質点の衝突.運動エネルギーの差◇

◆ 2質点の衝突 外力なし 質量の和 M

衝突前の運動量 <p1>,<p2> 衝突後 <\p1>,<\p2>

衝突前の運動エネルギー K1,K2 衝突後 \K1,\K2

別の慣性系で観測した値 <p1h>,<p2h>,<\p1h>,<\p2h>,K1h,K2h,\K1h,\K2h

その慣性系の元の観測系に対する速度 <v.>

■ 外力はないから,
 <p1>+<p2>=<\p1>+<\p2> <p1h>+<p2h>=<\p1h>+<\p2h>

衝突前 K1+K2=(K1h+K2h)+(<p1h>+<p2h>)*<v.>+(1/2)*M*v.^2

衝突後 \K1+\K2=(\K1h+\K2h)+(<\p1h>+<\p2h>)*<v.>+(1/2)*M*v.^2

引き算すると <p1h>+<p2h>=<\p1h>+<\p2h> である事に注意して、

 (K1+K2)-(\K1+\K2)=(K1h+K2h)-(\K1h+\K2h) _外力がない衝突では、運動エネルギーの衝突前と衝突後の差は、観測する系に関係なく、同じ値をとる。

{おもしろい!この事に触れている資料は見あたらない!2017/5}

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