 物理 力学 2019.3-2015.3 Yuji.W |
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☆ガリレイ変換☆ |
★ 2つの慣性系 速度、運動量、運動エネルギー、角運動量の変換 ★_
◇
積 * 商 / ベクトル <A> 内積
* 外積 # 微分 ;x 積分 $
10^x=Ten(x) e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
〓 ガリレイ変換.1粒子 〓 .
◆ 2つの慣性系 x系,h系 1粒子 質量 m
x系で <r> <v>=<r>' <p>=m*<v> K=(1/2)*m*v^2
<L>=<r>#<p>
h系で <rh> <vh>=<rh>' <ph>=m*<vh> Kh=(1/2)*m*vh^2
<Lh>=<rh>#<ph>
h系の原点の位置(x系で) <h> <v.>=<h>'
<r>=<rh>+<h> <v>=<vh>+<v.>
■ <p>=m*<v>=m*(<vh>+<v.>)=<ph>+m*<v.> ★_
■
v^2
=<v>*<v>
=(<vh>+<v.>)*(<vh>+<v.>)
=vh^2+2*<vh>*<v.>+v.^2
K
=(1/2)*m*v^2
=(1/2)*m*vh^2+m*<vh>*<v.>+(1/2)*m*v.^2
=Kh+<ph>*<v.>+(1/2)*m*v.^2 ★_
■
<L>
=<r>#<p>
=(<rh>+<h>)#(<ph>+m*<v.>)
=<rh>#<ph>+m*<rh>#<v.>+<h>#<ph>+m*<h>#<v.>
=<Lh>+m*<rh>#<v.>+<h>#<ph>+m*<h>#<v.> ★_
〓 ガリレイ変換.2粒子の運動 〓 .
◆ 2粒子 粒子①,②の諸量に 1,2 を添付 それらの和には何も添付しない。
例えば m1+m2=M <p1>+<p2>=<p>
質量の中心
<G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M <G>'=<VG>
<Gh>=(m1*<r1h>+m2*<r2h>)/M <Gh>'=<VGh>
■
<p1>+<p2>
=(<p1h>+m1*<v.>)+(<p2h>+m2*<v.>)
=(<p1h>+<p2h>)+(m1+m2)*<v.>
=<ph>+M*<v.> ★_
■ K1+K2=(K1h+K2h)+(<p1h>+<p2h>)*<v.>+(1/2)*M*v.^2 ★_
■
<L>
=<r>#<p>
=(<rh>+<h>)#(<ph>+m*<v.>)
=<rh>#<ph>+m*<rh>#<v.>+<h>#<ph>+m*<h>#<v.>
=<Lh>+m*<rh>#<v.>+<h>#<ph>+m*<h>#<v.>
<L1>+<L2>
=(<L1h>+<L2h>)+(m1*<r1h>+m2*<r2h>)#<v.>
+<h>#(<p1h>+<p2h>)+M*<h>#<v.>
=(<L1h>+<L2h>)+M*<Gh>#<v.>
+<h>#(<p1h>+<p2h>)+M*<h>#<v.>
=(<L1h>+<L2h>)+<h>#(<p1h>+<p2h>)+M*<G>#<v.>
<L1>+<L2>=(<L1h>+<L2h>)+<h>#(<p1h>+<p2h>)+M*<G>#<v.> ★_
〓 2粒子の衝突.運動エネルギーの差 〓 .
◆ 2粒子の衝突 外力なし 質量の和 M
衝突前の運動量 <p1>,<p2> 衝突後 <\p1>,<\p2>
衝突前の運動エネルギー K1,K2 衝突後 \K1,\K2
別の慣性系で観測した値 <p1h>,<p2h>,<\p1h>,<\p2h>,K1h,K2h,\K1h,\K2h
その慣性系の元の観測系に対する速度 <v.>
■
外力はないから,
<p1>+<p2>=<\p1>+<\p2> <p1h>+<p2h>=<\p1h>+<\p2h>
衝突前 K1+K2=(K1h+K2h)+(<p1h>+<p2h>)*<v.>+(1/2)*M*v.^2
衝突後 \K1+\K2=(\K1h+\K2h)+(<\p1h>+<\p2h>)*<v.>+(1/2)*M*v.^2
引き算すると <p1h>+<p2h>=<\p1h>+<\p2h> である事に注意して、
(K1+K2)-(\K1+\K2)=(K1h+K2h)-(\K1h+\K2h) ★_外力がない衝突では、運動エネルギーの衝突前と衝突後の差は、観測する系に関係なく、同じ値をとる。
{おもしろい!この事に触れている資料は見あたらない!2017/5}
〓 {計算例}2粒子の衝突 〓 .
◆ 列車 等速直線運動 速さ 5_m/sec
列車内に2粒子 列車系で ① 0.1_kg 1/m/sec ② 0.05_kg -5_m/sec
衝突し、粒子②は静止した 衝突後の粒子①の速さ v 失われた運動エネルギー ΔK
■【 列車系で 】
運動量保存 0.1*1-0.05*5=0.1*v+0
v=-1.5_m/sec
ΔK
=[(1/2)*0.1*1^2+(1/2)*0.05*5^2]-[(1/2)*0.1*1.5^2+0]
=0.05+0.625-0.1125
=0.5625_J
■【 地上系で 】
衝突前 ① 6_m/sec ② 0_m/sec 衝突後 ① 3.5_m/sec ② 5_m/sec
(衝突前の運動量)=0.1*6+0=0.6_kg*m/sec
(衝突後の運動量)=0.1*3.5+0.05*5=0.35+0.25=0.6_kg*m/sec
▲ 地上系でも、運動量が保存される ★_
ΔK
=[(1/2)*0.1*6^2+0]-[(1/2)*0.1*3.5^2+(1/2)*0.05*5^2]
=1.8-(0.6125+0.625)
=1.8-1.2375
=0.5625_J
▲ 地上系での失われた運動エネルギーの大きさは、列車系のものと同じ ★_
{簡単な問題でも、得るものはある!19.03}
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