物理 力学

2015/6-2014/7 Yuji.W

摩擦があるときの運動 ☆

◎ 動摩擦 静摩擦 {摩擦の問題なんてと思っていたが、おもしろい問題ができるんだな!2015/6}

◇ベクトル<> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積#
微分; 
時間微分' 積分$ 10^x=Ten(x) e^(i*x)=expi(x) 物理定数  2015/08/14

◇ 摩擦力 ◇

・摩擦力 ∝ 垂直抗力
・摩擦力は、接触面積に依らない ※ 実際はそうでないことも多いらしい
・最大静止摩擦力 > 動摩擦力
・動摩擦力は、速度に依らない、一様な重力場と同様 ※ 実際はそうでないことも多いらしい

動摩擦係数 k 摩擦力=k*垂直抗力 _k は1より大きくてもよい

(最大)静止摩擦係数 k 静止している場合の摩擦力の最大値=k*垂直抗力 _

■ 摩擦力の方向 動いている方向に逆方向、または、動き出そうとする方向に逆方向 _{核心!}

◆ 物体(質量 m)を平面に置く 静止摩擦係数 k

斜面を傾けていってすべり落ち始めるときの角度 a

■ m*g*sin(a)=k*m*g*cos(a)

 k=sin(a)/cos(a)=tan(a) _

★ a=30° k=0.5 ※ 消しゴムvs机 は、こんなものです{2014/7!}

◇ 摩擦のある水平面での運動 ◇

◎ 一様な重力場 水平方向への運動 摩擦あり 他の外力なし

◆ 初速 v0 物体の質量 m 動摩擦係数 k t=0 で x=0

■ 運動方程式 m*x''=-k*m*g

 x''=-k*g v=v0-k*g*t x=v0*t-(1/2)*k*g*t^2

■ 止まるのにかかる時間 T 0=v0-k*g*T T=v0/(k*g)

その場合に進んだ距離 X X
=v0*T-(1/2)*k*g*T^2
=v0*[v0/(k*g)]-(1/2)*k*g*[v0/(k*g)]^2
=v0^2/(k*g)-(1/2)*v0^2/(k*g)
=v0^2/(2*k*g)
_

★ 初速度 v0=1_m/sec k=0.5 X=1^2/(2*0.5*9.8)=10_cm

{すぐ止まるものだな!2014/7}

☆ 摩擦のある斜面でのつり合い ☆

◆ 1粒子[質量 m] 平らな斜面[水平との角度 a 静止摩擦係数 k=2*tan(a)]

重力の斜面方向への分力 Fx  斜面からの抗力 N 最大摩擦力 Ff_max

水平方向への力 Fy を加える

Fy=0 のとき

 Fx=m*g*sin(a)

一方 N=m*g*cos(a) Ff_max=N*k=[m*g*cos(a)]*[2*tan(a)]=2*m*g*sin(a)

 Fx<Ff_max だから、つり合う

■ 水平方向への力 Fy を加える

 粒子に加わる斜面上の力 <F>=<Fx Fy>=<m*g*sin(a) Fy>

この力が最大摩擦力と等しくなるのは |<m*g*sin(a) Fy>|=2*m*g*sin(a)

 Fy=m*g*sin(a)*root3 _この大きさより大きな水平力を加えると、粒子は動き始める

動き始めたときの力 下向き方向:水平方向=1:root3 だから、

 水平方向から 30° 下向きに動き始める _

{おもしろい問題だなあ!2015/6}

◇ 摩擦のある斜面での運動 ◇

◆ 1物体 質量 m 平らな斜面 斜面の傾斜角 a 摩擦あり 動摩擦係数 k 他の外力なし

x軸:水平方向 y軸:斜面上向き 物体にかかる力 <F>=<Fx Fy>

■ 斜面からの抗力 m*g*cos(a) 摩擦力 m*g*k*cos(a)

摩擦力の方向と、運動の方向とは、一直線上にある(逆向き) _

斜面上向きに動くとき

加速度 y''=Fy/m=-g*k*cos(a)-g*sin(a)=-g*[k*cos(a)+sin(a)]

斜面下向きに動くとき

加速度 y''=Fy/m=g*k*cos(a)-g*sin(a)=g*[k*cos(a)-sin(a)]

斜面斜め上向き(水平線から角度 b)に動くとき

x軸方向の加速度 Fx/m=-g*k*cos(a)*cos(b)

y軸方向の加速度 Fy/m=-g*[k*cos(a)*sin(b)+sin(a)]

★ m=1_kg k=0.2 a=30° 初速 v0=3_m/sec 斜面上向き

 加速度 y''=-9.8*(0.2*root3/2+1/2)~-6.60

 y'=-6.6*t+3 ⇒ y=-3.3*t^2+3*t

y'=0 になるのは -6.6*t+3=0 ⇒ t=3/6.6=0.455

このとき y=-3.3*0.455^2+3*0.455=-0.683+1.365=0.682_m

以降、斜面下向きに動く。下向きに動き始める時刻を t=0 とすれば、

 y''=9.8*(0.2*root3/2-1/2)~-3.20 ⇒ y'=-3.2*t ⇒ y=-1.6*t^2+0.682

y=0 になるのは 0=-1.6*t^2+0.682 ⇒ t^2=0.682/1.6=0.426 t~0.65

摩擦によるエネルギー W を求めよう

 摩擦力=m*g*k*cos(a)=1*9.8*0.2*root3/2~1.70_N

 動いた距離(片道)=0.682

 W=1.7*0.682*2~2.32_J

{別解} 最初の運動エネルギー=(1/2)*1*3^2=4.5_J

 戻って来たときの速さ=3.2*0.65=2.08

 戻って来たときの運動エネルギー=(1/2)*1*2.08^2=2.16_J

 それらの差=4.5-2.16=2.34_J

{摩擦だけで、おもしろい問題ができるんだ!2015/6}

◇ 摩擦のある斜面での運動2 ◇

◎ 一様な重力場 斜面 摩擦あり 他の外力なし 2次元

◆ 1質点(質量 m) 動摩擦係数 k 斜面の傾斜角 a

P(0,H) Q(H/tan(a),0) PQ=H/sin(a)

点Pから速さ0でスタートし、斜面を重力と摩擦力を受けつつ下る。点Qからは、摩擦力を受けつつ水平面を動く。いつか止まる。止まる点を R とする。

点Qでの速さ v 斜面方向への距離 s

■ 運動方程式 m*s''=m*g*sin(a)-k*m*g*cos(a)=m*g*(sin(a)-k*cos(a))

 s''=(sin(a)-k*cos(a))*g s'=(sin(a)-k*cos(a))*g*t s=(1/2)*(sin(a)-k*cos(a))*g*t^2

点Qに達する時刻 T

 H/sin(a)=(1/2)*(sin(a)-k*cos(a))*g*T^2

 T=root{2*H/[sin(a)*(sin(a)-k*cos(a))*g]}

その時 速さ v
=(sin(a)-k*cos(a))*g*T
=(sin(a)-k*cos(a))*g*root{2*H/[sin(a)*(sin(a)-k*cos(a))*g]}
=root[2*g*H*(1-k/tan(a))]

{別解} 摩擦力がする仕事 W
=-(k*m*g*cos(a))*PQ
=-(k*m*g*cos(a))*H/sin(a)
=-k*m*g*H/tan(a)

 点Pと点Qとの位置エネルギーの差=m*g*H

 (1/2)*m*v^2=m*g*H-k*m*g*H/tan(a)=m*g*H*(1-k/tan(a))

 v=root[2*g*H*(1-k/tan(a))]

■ 水平面に移ってからの運動を考えよう。時間を反転して考えてみる。

 速さ 0 から、k*g の加速度を受け、時間 T2、距離 X で、速さ v に達する。

 v=k*g*T2

 X
=(1/2)*(k*g)*T2^2
=(1/2)*(k*g)*(v/k*g)^2
=v^2/(2*k*g)
=[2*g*H*(1-k/tan(a))]/(2*k*g)
=H*(1/k-1/tan(a))

摩擦があるときの運動 

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