◎ 運動エネルギー+位置エネルギー=一定　を使って解く

◇ ベクトル<A> 内積* 外積#　微分;x 時間微分'　10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) ★.

◆ 鎖　初め、ちょうど真ん中で、クギにかかっていた。ちょっとした拍子に、一方に落ちていく。摩擦などはない。全部落ちきる時の速さ v ?

※ 初めにつり合っているし、初速度を与えないわけだから、本当は、この現象は起きない。

長さ L　線密度 m　全質量 M=m*L

■『位置エネルギー』

初め　質量 M/2　質量の中心の位置:クギから L/4　それが２つ
終わり　質量 M　質量の中心の位置 クギから L/2

　位置エネルギーの差=(M/2)*g*(L/2-L/4)*2=M*L*g/4

■『運動エネルギー』

初め　0　　終わり　(1/2)*M*v^2

■ エネルギー保存より　M*L*g/4=(1/2)*M*v^2

　v^2=L*g/2

　v=root(L*g/2) ★_{おもしろい問題!2015/6}

▲ 単純に、質量 M のものを、距離 L/2 だけ自由落下させたときの最終速度は root(L*g) だから、鎖の場合は、それよりは遅い。おもしろいのは、自由落下の場合の加速度は、常に g で一定だが、鎖の場合は、0 から g まで増える事である。ゆっくり動き出すのだが、徐々に加速度が増し、最後は急激に落ちるように見える。

◎ 実際に起こりうる現象に、初期設定を変えてみた。

◆ 鎖　初め、鎖の 1/3 が左側にかかっていた。

■『位置エネルギー』

初め　左側　質量 M/3　質量の中心の位置:クギから L/6
　　　右側　質量 2*M/3　質量の中心の位置:クギから L/3

終わり　質量 M　質量の中心の位置 クギから L/2

　位置エネルギーの差
=(M/3)*g*(L/2-L/6)+(2*M/3)*g*(L/2-L/3)
=M*L*g/9+M*L*g/9
=2*M*L*g/9

■『運動エネルギー』

初め　0　　終わり　(1/2)*M*v^2

■ エネルギー保存より　2*M*L*g/9=(1/2)*M*v^2

　v^2=4L*g/9

　v=(2/3)*root(L*g) ★_{うむうむ!2016/2}

{別解}　運動方程式を解いて求める　鎖が動いた距離 x

　M*x''=m*g*(2*L/3+x)-m*g*(L/3-x)=m*g*(2*x+L/3)

　x''=(m/M)*g*(2*x+L/3)=(g/L)*(2*x+L/3)

　x''-2*(g/L)*x=g/3 ★_

基本解　x=C1*exp[root(2*g/L)*t]+C2*exp[-root(2*g/L)*t]　特殊解 x=-L/6

一般解　x=C1*exp[root(2*g/L)*t]+C2*exp[-root(2*g/L)*t]-L/6

　x'=root(2*g/L)*{C1*exp[root(2*g/L)*t]-C2*exp[-root(2*g/L)*t]}

t=0 で x=0 , x'=0　として　C1+C2-L/6=0　&　C1-C2=0

　C1=C2=L/12

　x=(L/12)*{exp[root(2*g/L)*t]+exp[-root(2*g/L)*t]-2} ★_

　x'
=(L/12)*root(2*g/L)*{exp[root(2*g/L)*t]-exp[-root(2*g/L)*t]}
=(1/12)*root(2*L*g)*{exp[root(2*g/L)*t]-exp[-root(2*g/L)*t]}

x'=v=(2/3)*root(L*g) になる時刻を T とすると、

　(2/3)*root(L*g)
=(1/12)*root(2*L*g)*{exp[root(2*g/L)*T]-exp[-root(2*g/L)*T]}

　{exp[root(2*g/L)*T]-exp[-root(2*g/L)*T]}=4*root2

{exp[root(2*g/L)*T]=z と置くと、

　z-1/z=4*root2　z^2-4*root2*z-1=0

　z=2*root2±root[9]=2*root2±3

z=2*root2+3　のとき　z+1/z-2
=(2*root2+3)+1/(2*root2+3)-2
=(2*root2+3)-(2*root2-3)-2
=4

z=2*root2-3　のとき　z+1/z-2
=(2*root2-3)+1/(2*root2-3)-2
=(2*root2-3)-(2*root2+3)-2
=-8

z=2*root2+3 のとき、t=T で、

　x
=(L/12)*{exp[root(2*g/L)*T]+exp[-root(2*g/L)*T]-2}
=(L/12)*(z+1/z-2)
=(L/12)*4
=L/3

すなわち　x=L/3 で v=(2/3)*root(L*g) ★_

{エネルギーを考えて解いた場合と同じ結果!素晴らしい!2016/2}

◎ 計りに重りを落とす　どのぐらい縮むか

◆ 計り[計りに付いている皿の質量 m=25_g　バネ定数 k=15.3_N/m]　重りの質量 M=50_g　高さ h=9_cm から落とす　バネの縮み x_cm ?

重りと皿は非弾性的衝突　衝突直前の重りの速さ v　衝突直後の重りと皿の速さ \v

【衝突直前の重りの速さ v】

エネルギー保存が成り立つ　M*g*h=(1/2)*M*v^2

　v=root(2*g*h)=root(2*9.81*0.09)=root(1.7658)~1.33_m/sec

【衝突直後の速さ】

エネルギー保存は成り立たないが、運動量は保存される　M*v=(M+m)*\v

　\v=v*M/(M+m)=1.33*50/75~0.887_m/sec

【衝突後の運動エネルギーとバネのエネルギー】

衝突後のエネルギー　(1/2)*(M+m)*\v^2+(M+m)*g*x=(1/2)*k*x^2 ★_{核心!}

　x^2-2*[(M+m)*g/k]*x-(M+m)*\v^2/k=0

　x^2-2*(0.075*9.81/15.3)*x-0.075*0.887^2/15.3=0

　x^2-2*0.048*x-0.0039=0

　x
=0.048±root(0.048^2+0.0039)
~0.048±root(0.0062)
~0.048±0.079_m
=0.127_m
~13_cm ★.

{おもしろい問題を作るなあ!2015/6}

◎ 安全ベルトをしないで、ジェットコースターに乗り、ぐるりと宙返りをしたい。地面からどのぐらい高い所からスタートすればよいか

◆ ジェットコースターの円の部分の半径 R　スタート地点の高さ H　速さ0でスタートし、摩擦のないコースターを下り、円の部分に移る。円の最高地点で落ちないようにしたい。人の質量 m　最高地点での速さ v

【落ちないための条件】　遠心力>重力　m*v^2/R>m*g

【最高地点での速さ v】　m*g*(H-2*R)=(1/2)*m*v^2

■ 上記の2式より　2*m*g*(H-2*R)/R>m*g

　2*H-4*R>R

　H/R>5/2 ★.半径の2.5倍　直径の1.25倍{予想より低い!2016/2}

◎ 摩擦のない球のてっぺんから滑り落ちる。90°滑り落ちる前に、球から離れる事はあるのだろうか。

◆ 球の半径 R　粒子の質量 m　てっぺんからの角度 a　そこでの粒子の速さ v(a)

【球から離れる条件】遠心力>重力の球面の法線成分　m*v^2/R > m*g*cos(a)

【粒子の速さ】(1/2)*m*v^2=m*g*R*[1-cos(a)]

■ 上記の2式より　2*m*g*[1-cos(a)] > m*g*cos(a)

　2-2*cos(a) > cos(a)

　cos(a) < 2/3

　a > arccos(2/3)=48° ★.諸々の条件に依らず、どれも同じ値になる{!}

{予想より早く離れる!2016/2}

　★　エネルギー保存を使って解く　★