☆お勉強しようUz☆ 物理.力学

2016/3-2012/12 Yuji.W

☆剛体球の衝突.散乱角☆

◎ 2質点(剛体球)の衝突 3次元 v2=0 の場合 散乱角

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数 .

◇v2=0◇

以下、このページで、v2=0 <P2>=0 <P>=<P1>

◆ v2=0 v12=v12_G=\v12_G=\v12=v だから v1=v

<OB>=(m2/M)*<P>=(m-)*v*<zu> <OC>=(m-)*v*<nu_G>

 OB=OC 円の半径

 <AO>=(m1/M)*<P>=(m1^2/M)*v*<zu>=(m1/m2)*<OB>

 <AB>=(m1/M)*<P1>+(m2/M)*<P1>=<P1>=<P>

m1>m2 ⇔ A1 m1=m2 ⇔ A2 m1<m2 ⇔ A3

 <AC>=<\P1> <CB>=<\P2>

m1>m2 のとき、∠P-A1-O=a_max

■ m1<m2 のとき AO<OB=OC

 散乱角 a は、0<a<Pi の範囲で、任意の値を取ることだできる

m1>m2 のとき AO>OB=OC a は、ある値までに限られる

 sin(a_max)=OP/OA1=m2/m1 

◇散乱角◇

a と a_G の関係を調べよう。

■ △AOC で、AO/OC=m1/m2 ∠A=a ∠O=Pi-a_G

底辺AOに対する高さを考えて、[AO+OC*cos(a_G)]*Ta=OC*sin(a_G)

 Ta=m2*sin(a_G)/[m1+m2*cos(a_G)]

「正弦、余弦定理」

■ 三角形 △ABC BC=[a] CA=[b] AB=[c] ∠A=a ∠B=b ∠C=c

1辺とその両端の角 正弦定理

  [a]/Sa=[b]/Sb=[c]/Sc=D 外接円の直径

2辺とその間の角 余弦定理

 [a]^2=[b]^2+[c]^2-2*[b]*[c]*Ca

{別解}△AOC で、正弦定理を使って、

 AO/sin(a_G-a)=OC/Sa

 m1*Sa=m2*[sin(a_G)*Ca-cos(a_G)*Sa]

 [m1+m2*cos(a_G)]*Sa=m2*sin(a_G)*Ca

 Ta=m2*sin(a_G)/[m1+m2*cos(a_G)]

■ 二等辺三角形OBC で、b=(1/2)*(Pi-a_G)

■ △AOC で、余弦定理を使って、

 (m1*\v1)^2
=[(m-)*v]^2*[(m1/m2)^2+1]-2*(m1/m2)*[(m-)*v]^2*cos(Pi-a_G)
=[(m-)*v]^2*{m1^2+m2^2+2*m1*m2*cos(a_G)}/m2^2

 (m-)/(m1*m2)=1/M だから、

 \v1={root[m1^2+m2^2+2*m1*m2*cos(a_G)]/M}*v

●二等辺三角形の余弦定理 底辺の長さ=2*等辺*sin(頂角/2)

■ m2*\v2=2*(m-)*v*sin(b/2) \v2=2*(m1/M)*v*sin(b/2)

■ 散乱角の和 a+b=衝突後の2質点の成す角=Pi-∠ACB だから、

・m1<m2 のとき 0<a<Pi 0<b<pi/2

 (∠ACB)max=Pi/2 a+b>Pi/2  大きく広がる

{必ず、90°以上に開くんだ、不思議!2012/12}

・m1>m2 のとき 0<a<a_max 0<b<pi/2

 (∠ACB)min=Pi/2 a+b<Pi/2  あまり広がらない

◇衝突後の速さと散乱角◇

v2=0 & v1=v の場合 \v1 と a の関係を求めよう。

■ z軸の運動量 m1*v=m1*\v1*Ca+m2*\v2*Cb @

■ x軸の運動量 m1*\v1*Sa=m2*\v2*Sb A

■ エネルギー*2 m1*v^2=m1*\v1^2+m2*\v2^2 B

■ 上記の3つの式より、\v1,\v2,b を求める。

@より m1*(v-\v*)*Ca/(m2*\v2)=Cb

Aより m1*\v1*Sa/(m2*\v2)=Sb

b を消去して、

 (v-\v1*Ca)^2+\v1^2*Sa^2=(m2/m1)^2*\v2^2

左辺=v^2-2*v*\v1*Ca+\v1^2 だから、

 v^2-2*v*\v1*Ca+\v1^2=(m2/m1)^2*\v2^2 C

Bより、(m2/m1)*(v^2-\v1^2)=+(m2/m1)^2*\v2^2 D

CDより、\v2 を消去して、

 m1*v^2-2*m1*v*\v1*Ca+m1*\v1^2
=m2*v^2-m2*\v1^2

 m1*v^2-2*m1*v*\v1*Ca+m1*\v1^2-m2*v^2+m2*\v1^2)=0

 (\v1/v)^2-2*[(m-)/m2]*Ca*(\v1/v)+[(m1-m2)/M]=0

実験室系での、質点1の衝突後の速さ \v1 と、散乱角 a の関係を表す式
{素晴らしい!2012/12}

{別解}△OCA3 で、余弦定理を使って、

 OC^2=CA3^2+OA^2-2*OA*CA3*Ca

 [(m-)*v]^2
=[m1*\v1]^2+[(m1/m2)*(m-)*v]^2-2*[m1*\v1]*[(m1/m2)*(m-)*v]*Ca

 (\v1/v)^2-2*[(m-)/m2]*Ca*(\v1/v)+[(m-)/m1]^2*[1-(m1/m2)^2]=0

 (\v1/v)^2-2*[(m-)/m2]*Ca*(\v1/v)+[(m1-m2)/M]=0

{別解の方が簡単!2012/12}

■ (判別式/2)^2=[(m-)/m2]^2*Ca^2-[(m1-m2)/M]
=(m1/M)^2*Ca^2-[(m1-m2)/M]=[m2^2-m1^2*Sa^2]/M^2

 \v1/v=+(m1/M)]*Ca±(1/M)*root(m2^2-m1^2*Sa^2)

■ a=Pi/2 \v1/v=±(1/M)*root(m2^2-m1^2)

m1<m2 でしか、解を持たない。m1>m2 のとき 0<a_max<Pi/2 で、a=Pi/2 の解を持たない。

このとき、m1+m2*cos(a_G)=0 cos(a_G)=-m1/m2

◇v2=0 & m1=m2=m◇

v2=0 同質量 の場合

◆ v2=0 & m1=m2=m 上図の A2 の場合

 OA2=OB=OC=(m/2)*v <A2C>=<\P1> <CB>=<\P2>

■ <\P1>=(1/2)*m*v*(<nu_G>+<zu>)

 <\P2>=(1/2)*m*v*(-<nu_G>+<zu>)

 a=a_G/2 b=(Pi-a_G)/2

 \v1/v=Ca=cos(a_G/2) \v2/v=Sa=sin(a_G/2)

■ 図より <\v1> ⊥ <\v2> または \v1=0 & \v2=v

{別解}<\P1>*<\P2> ∝ (<zu>^2-<nu_G>^2)=1-1=0

▲ ビリヤードの玉などの運動で、衝突した2球は、必ず直角の方向に跳び去るわけだ。{おもしろい、不思議!2012/12}

◇運動エネルギー◇

運動エネルギーは保存されているのか。

「衝突3D-運動量」

■ <P>=<P1>+<P2>=<\P1>+<\P2>=<\P>

 <\P1>=(m-)*v*<nu_G>+(m1/M)*<P>

 <\P2>=-(m-)*v*<nu_G>+(m2/M)*<P>

■ K=<P1>^2/m1+<P2>^2/m2 \K=<\P1>^2/m1+<\P2>^2/m2

 2*\K1=<\P1>^2/m1
=[(m-)^2/m1]*v^2+2*[(m-)/M]*v*<nu_G>*<P>+(m1/M^2)*<P>^2

 2*\K2=<\P2>^2/m2
=[(m-)^2/m2]*v^2-2*[(m-)/M]*v*<nu_G>*<P>+(m2/M^2)*<P>^2

 2*\K=2*\K1+2*\K2
=(m-)*v^2+<P>^2/M
=[m1*m2*(<P1>/m1-<P2>/m2)^2+(<P1>+<P2>)^2]/M
=[(m2/m1)*<P1>^2-2*<P1>*<P2>+(m1/m2)*<P2>^2
+<P1>^2+2*<P1>*<P2>+<P2>^2]/M
=[(M/m1)*<P1>^2+(M/m2)*<P2>]/M
=<P1>^2/m1+<P2>^2/m1=2*K 
運動エネルギーは保存されている

{まあ、成り立つように式を作ったのだから、あたりまえではある!}

◇散乱角-質量の中心系◇

■ V1=0 m1>>m2 球Aはz軸から距離dだけ離れて飛んでくる

Line-C に対して、入射角=反射角=a

 散乱角=衝突前と衝突後の進路のずれの角=2a

散乱角 2a〜2a+2*da になる確率=入射角が a〜a+da になる確率 p(a)*da
dの分布が一様(0<d<R1+R2)ならば、

 p(散乱角2a)*da=p(入射角a)*da ∝ cos(a)*da

 剛体球の衝突.散乱角 

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