☆完全弾性衝突Uz

　物理　力学　2018/9-2012/12　Yuji.W

☆ 完全弾性衝突.一方が静止 ☆

◎ 剛体球　3次元　散乱角 ★_　〔物理定数〕

◇ ベクトル <A>　内積 *　外積 #　10^x=Ten(x)　微分 ;x　時間微分 '　積分 $
ネイピア数 e　e^x=exp(x)　i^2=-1　e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)

〓　完全弾性衝突.1次元-一方が静止　〓　

m1 ●--v->　m2 |○|

m1 ●-v1->　m2 ○-v2->

◆ 直線上を動く2粒子が完全弾性衝突　質量 m1,m2 変化なし

粒子の速さ　衝突前 v,0　衝突後 v1,v2

■ v1=v*(m1-m2)/(m1+m2)　v2=2*v*m1/(m1+m2)

〓　v2=0　〓

★ 以下、このページで、v2=0　<P2>=0　=<P1>

◆ v2=0　v12=v12_G=\v12_G=\v12=v　だから　v1=v

　OB=OC 円の半径

<AB>=(m1/M)*<P1>+(m2/M)*<P1>=<P1>=

m1>m2 ⇔ A1　m1=m2 ⇔ A2　m1<m2 ⇔ A3

m1>m2 のとき、∠P-A1-O=a_max

■ m1<m2 のとき AO<OB=OC

散乱角 a は、0<a<Pi の範囲で、任意の値を取ることだできる

m1>m2 のとき AO>OB=OC　a は、ある値までに限られる

　sin(a_max)=OP/OA1=m2/m1 ★

〓　散乱角　〓

★ a と a_G の関係を調べよう。

■ △AOC で、AO/OC=m1/m2　∠A=a　∠O=Pi-a_G

底辺AOに対する高さを考えて、[AO+OC*cos(a_G)]*Ta=OC*sin(a_G)

　Ta=m2*sin(a_G)/[m1+m2*cos(a_G)] ★

「正弦、余弦定理」

■ 三角形 △ABC　BC=[a]　CA=[b]　AB=[c]　∠A=a　∠B=b　∠C=c

1辺とその両端の角　正弦定理

　 [a]/Sa=[b]/Sb=[c]/Sc=D 外接円の直径

2辺とその間の角　余弦定理

　[a]^2=[b]^2+[c]^2-2*[b]*[c]*Ca

{別解}△AOC で、正弦定理を使って、

　AO/sin(a_G-a)=OC/Sa

　m1*Sa=m2*[sin(a_G)*Ca-cos(a_G)*Sa]

　[m1+m2*cos(a_G)]*Sa=m2*sin(a_G)*Ca

　Ta=m2*sin(a_G)/[m1+m2*cos(a_G)]

■ 二等辺三角形OBC で、b=(1/2)*(Pi-a_G)

■ △AOC で、余弦定理を使って、

　(m1*\v1)^2
=[(m-)*v]^2*[(m1/m2)^2+1]-2*(m1/m2)*[(m-)*v]^2*cos(Pi-a_G)
=[(m-)*v]^2*{m1^2+m2^2+2*m1*m2*cos(a_G)}/m2^2

　(m-)/(m1*m2)=1/M　だから、

　\v1={root[m1^2+m2^2+2*m1*m2*cos(a_G)]/M}*v ★

●二等辺三角形の余弦定理　底辺の長さ＝2*等辺*sin(頂角/2)

■ m2*\v2=2*(m-)*v*sin(b/2)　\v2=2*(m1/M)*v*sin(b/2) ★

■ 散乱角の和 a+b=衝突後の2質点の成す角=Pi-∠ACB　だから、

・m1<m2 のとき　0<a<Pi　0<b<pi/2

　(∠ACB)max=Pi/2　a+b>Pi/2 ★ 　大きく広がる

{必ず、90°以上に開くんだ、不思議!2012/12}

・m1>m2 のとき　0<a<a_max　0<b<pi/2

(∠ACB)min=Pi/2　a+b<Pi/2 ★ 　あまり広がらない

〓　衝突後の速さと散乱角　〓

★ v2=0 & v1=v の場合　\v1 と a の関係を求めよう。

■ z軸の運動量　m1*v=m1*\v1*Ca+m2*\v2*Cb　①

■ x軸の運動量　m1*\v1*Sa=m2*\v2*Sb　②

■ エネルギー*2　m1*v^2=m1*\v1^2+m2*\v2^2　③

■ 上記の3つの式より、\v1,\v2,b を求める。

①より　m1*(v-\v*)*Ca/(m2*\v2)=Cb

②より　m1*\v1*Sa/(m2*\v2)=Sb

b を消去して、

　(v-\v1*Ca)^2+\v1^2*Sa^2=(m2/m1)^2*\v2^2

左辺=v^2-2*v*\v1*Ca+\v1^2　だから、

　v^2-2*v*\v1*Ca+\v1^2=(m2/m1)^2*\v2^2　④

③より、(m2/m1)*(v^2-\v1^2)=+(m2/m1)^2*\v2^2　⑤

④⑤より、\v2 を消去して、

　m1*v^2-2*m1*v*\v1*Ca+m1*\v1^2
=m2*v^2-m2*\v1^2

　m1*v^2-2*m1*v*\v1*Ca+m1*\v1^2-m2*v^2+m2*\v1^2)=0

　(\v1/v)^2-2*[(m-)/m2]*Ca*(\v1/v)+[(m1-m2)/M]=0 ★

実験室系での、質点1の衝突後の速さ \v1 と、散乱角 a の関係を表す式
{素晴らしい！2012/12}

{別解}△OCA3 で、余弦定理を使って、

　OC^2=CA3^2+OA^2-2*OA*CA3*Ca

　[(m-)*v]^2
=[m1*\v1]^2+[(m1/m2)*(m-)*v]^2-2*[m1*\v1]*[(m1/m2)*(m-)*v]*Ca

　(\v1/v)^2-2*[(m-)/m2]*Ca*(\v1/v)+[(m-)/m1]^2*[1-(m1/m2)^2]=0

　(\v1/v)^2-2*[(m-)/m2]*Ca*(\v1/v)+[(m1-m2)/M]=0 ★

{別解の方が簡単!2012/12}

■ (判別式/2)^2=[(m-)/m2]^2*Ca^2-[(m1-m2)/M]
=(m1/M)^2*Ca^2-[(m1-m2)/M]=[m2^2-m1^2*Sa^2]/M^2

　\v1/v=+(m1/M)]*Ca±(1/M)*root(m2^2-m1^2*Sa^2) ★

■ a=Pi/2　\v1/v=±(1/M)*root(m2^2-m1^2)

m1<m2 でしか、解を持たない。m1>m2 のとき 0<a_max<Pi/2 で、a=Pi/2 の解を持たない。

このとき、m1+m2*cos(a_G)=0　cos(a_G)=-m1/m2

〓　v2=0 & m1=m2=m　〓

★ v2=0　同質量の場合

◆ v2=0 & m1=m2=m　上図の A2 の場合

OA2=OB=OC=(m/2)*v　<A2C>=<\P1>　<CB>=<\P2>

■ <\P1>=(1/2)*m*v*(<nu_G>+<zu>)

<\P2>=(1/2)*m*v*(-<nu_G>+<zu>)

　a=a_G/2　b=(Pi-a_G)/2

　\v1/v=Ca=cos(a_G/2)　\v2/v=Sa=sin(a_G/2)

■ 図より　<\v1> ⊥ <\v2> ★ または　\v1=0 & \v2=v

{別解}<\P1>*<\P2> ∝ (<zu>^2-<nu_G>^2)=1-1=0

▲ ビリヤードの玉などの運動で、衝突した2球は、必ず直角の方向に跳び去るわけだ。{おもしろい、不思議!2012/12}

〓　運動エネルギー　〓

★ 運動エネルギーは保存されているのか。

「衝突3D-運動量」

■ =<P1>+<P2>=<\P1>+<\P2>=<\P>

<\P1>=(m-)*v*<nu_G>+(m1/M)*

<\P2>=-(m-)*v*<nu_G>+(m2/M)*

■ K=<P1>^2/m1+<P2>^2/m2　\K=<\P1>^2/m1+<\P2>^2/m2

2*\K1=<\P1>^2/m1
=[(m-)^2/m1]*v^2+2*[(m-)/M]*v*<nu_G>*+(m1/M^2)*^2

2*\K2=<\P2>^2/m2
=[(m-)^2/m2]*v^2-2*[(m-)/M]*v*<nu_G>*+(m2/M^2)*^2

2*\K=2*\K1+2*\K2
=(m-)*v^2+^2/M
=[m1*m2*(<P1>/m1-<P2>/m2)^2+(<P1>+<P2>)^2]/M
=[(m2/m1)*<P1>^2-2*<P1>*<P2>+(m1/m2)*<P2>^2
+<P1>^2+2*<P1>*<P2>+<P2>^2]/M
=[(M/m1)*<P1>^2+(M/m2)*<P2>]/M
=<P1>^2/m1+<P2>^2/m1=2*K ★ 運動エネルギーは保存されている

{まあ、成り立つように式を作ったのだから、あたりまえではある!}

〓　散乱角-質量の中心系　〓

■ V1=0　m1>>m2　球②はz軸から距離dだけ離れて飛んでくる

Line-C に対して、入射角=反射角=a

　散乱角=衝突前と衝突後の進路のずれの角=2a

散乱角 2a～2a+2*da になる確率=入射角が a～a+da になる確率 p(a)*da
dの分布が一様(0<d<R1+R2)ならば、

　p(散乱角2a)*da=p(入射角a)*da ∝ cos(a)*da

☆ お勉強しよう　2018-2011　Yuji W. ☆