物理 力学 2018/9-2012/12 Yuji.W | |
☆ 完全弾性衝突.質量の中心系-2- ☆ | |
◎ 完全弾性衝突 3次元 質量の中心系 一方が静止 ★_ | |
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ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $ |
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〓 2粒子の衝突 〓 ◎ 質量の中心系を考えると便利 ◆ 2粒子 質量 m1,m2 位置 <r1>,<r2> 運動量 衝突前 <p1>,<p2> 衝突後 <\p1>,<\p2> 質量の中心 <G> 質量の中心の速度 <Vc> 質量の中心系で 運動量 衝突前 <p1G>,<p2G> 衝突後 <\p1G>,<\p2G> ■ 等速直線運動をしている2粒子が衝突する。正面衝突でなくてよい。斜めに衝突してもよい。衝突前の2粒子の軌道は、交わる2直線であるから、一平面上にある。 2粒子の質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/(m1+m2) <Vc>=<G>'=(<p1>+<p2>)/(m1+m2) 質量の中心を原点とし、回転してない系を質量の中心系とする。 <p1G> <p2G> <p1G>+<p2G>=0 ★. 質量の中心系では、2粒子は、一直線上を動き、原点で衝突する。 ★. 衝突した2粒子は、瞬間的に力を及ぼしあったあと、また、等速直線運動をして原点から遠ざかる。衝突後の2粒子の軌道は、一平面上にある。 衝突前の軌道を含む平面と、衝突後の軌道を含む平面は、一般に同一でない。 |
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〓 完全弾性衝突.3次元-質量の中心系で 〓 ◎ 質量の中心系で扱う 速度ではなく運動量で扱うと便利 ◆ 2粒子 質量 m1,m2 換算質量 m.=m1*m2/(m1+m2) 質量の中心系で 運動量 衝突前 <p1G>,<p2G> 衝突後 <\p1G>,<\p2G> 相対速度 <v12>=<p1>/m1-<p2>/m2=<p1G>/m1-<p2G>/m2 粒子@の速度単位ベクトル 衝突前 <1Gu> 衝突後 <\1Gu> ■ 質量の中心系で、全運動量は 0 であるから、 <p1G>+<p2G>=<\p1G>+<\p2G>=0 p1G=p2G & \p1G=\p2G また、運動エネルギーの和が保存される場合を考えているから、運動エネルギーの2倍は、 p1G^2/m1+p2G^2/m2=\p1G^2/m1+p2G^2/m2 以上の式から p1G=p2G=\p1G=\p2G ★.{なるほどね!} ■
<v12> <p1G>=m.*<v12> p1G=m.*v12 p1G=p2G=\p1G=\p2G=m.*v12 ★. {おもしろい!よくできてるなあ!2014/7} |
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〓 完全弾性衝突.3次元-質量の中心系から元の系に戻す 〓 ◎ ランダウ流 2粒子3次元完全弾性衝突 質量の中心系の量を使って表す ◆ 2粒子 質量 m1,m2 運動量 任意の慣性系で <p1>,<p2> 質量の中心系で <p1G>,<p2G> 任意の慣性系での質量の中心の速度 <Vc>=(<p1>+<p2>/(m1+m2) 衝突前 <p1>=<p1G>+m1*<Vc> <p2>=<p2G>+m2*<Vc> 衝突後 <\p1>=<\p1G>+m1*<Vc> <\p2>=<\p2G>+m2*<Vc> ※ 外力なしの場合を考えているから、<Vc> は、衝突前も衝突後も変化しない ■
<\p1> <\p2> {まとまりました!2014/5} |
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〓 速度ベクトル空間上で 〓 ◎ 速度ベクトル空間を考える 普通の位置を表す座標ではない{!} ◆ 図示しよう。 質量の中心系の原点を O そこで、2粒子が衝突する <AB>=<p1>+<p2>=<\p1>+<\p2>=(m1+m2)*<Vc> <AO>=<AB>*m1/(m1+m2)=m1*<Vc> <OB>=<AB>*m2/(m1+m2)=m2*<Vc> <OC>=<\p1G>=-<\p2G> OC=p1G=p2G=\p1G=\p2G <OC> は、空間的に任意の方向をとることができる。点C は、球面上にある。円ではない。 ※ この図には、衝突前の個々の粒子の運動量は反映されていない。運動量の和が反映されているだけである。 ■ <AC>=<AO>+<OC>=m1*<Vc>+<\p1G>=<\p1> <CB>=<OB>-<OC>=m2*<Vc>+<\p2G>=<\p2> {うまくできてるなあ!2016/4}
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〓 {復習}完全弾性衝突.1次元.一方が静止 〓
★ v2=0 m1/m2<<1 のとき、 \v1/v1=-(1-m1/m2)^2=-1+2*m1/m2 \v2/v1=2*(m1/m2)/(1+m1/m2)=2*m1/m2 |
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〓 完全弾性衝突.3次元.一方が静止 〓 ◎ 質量の中心系の量を使って表す ◆ 運動量 <p1>,<p2>=0 質量の中心系で <p1G>,<p2G> その慣性系での質量の中心系の速度 <Vc>=<p1>/(m1+m2) 質量の中心系の原点を O そこで、2粒子が衝突する <AB>=<p1>=<\p1>+<\p2>=(m1+m2)*<Vc> <AO>=<AB>*m1/(m1+m2)=m1*<Vc> <OB>=<AB>*m2/(m1+m2)=m2*<Vc> <OC>=<\p1G>=-<\p2G> OC=p1G=p2G=\p1G=\p2G=m.*v12 <OC> は、空間的に任意の方向をとることができる。点C は、球面上にある。円ではない。 粒子@の全運動量 <p1> に対する角 質量の中心系で aG 任意の慣性系で a1 「散乱角」と言うことができる 粒子Aの全運動量に対する角 質量の中心系で aG 任意の慣性系で a2 ■【 a1 と aG 】 △OAC で、 tan(a1)=OC*sin(aG)/[AO+OC*cos(aG)]=sin(aG)/[AO/OC+cos(aG)] ここで AO/OC=AO/OB=m1/m2 だから、 tan(a1)=OC*sin(aG)/[AO+OC*cos(aG)]=sin(aG)/[m1/m2+cos(aG)] ★. ★ aG=Pi/2 のとき tan(a1)=m2/m1 ■【 a2 と aG 】 △OBC は二等辺三角形だから a2=(Pi-aG)/2 ★. ★ aG=Pi/2 のとき a2=Pi/4 |
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〓 完全弾性衝突.3次元.一方が静止.運動量 〓 ■【 aG と \p1 】 △OAC で \p1*sin(a1)=OC*sin(aG) ここで OC/p1=OC/AB=m2/(m1+m2) \p1/p1=[sin(aG)/sin(a1)]/(1+m1/m2) a1 と aG の関係は、 tan(a1)=OC*sin(aG)/[AO+OC*cos(aG)]=sin(aG)/[m1/m2+cos(aG)] 1/cos(a1)^2 cos(a1)=[m1/m2+cos(aG)]/root[(m1/m2)^2+2*(m1/m2)*cos(aG)+1] sin(a1) \p1/p1=root[(m1/m2)^2+2*(m1/m2)*cos(aG)+1]/(1+m1/m2) ★. 速さで表せば、 |\v1/v1|=root[(m1/m2)^2+2*(m1/m2)*cos(aG)+1]/(1+m1/m2) ★. {だいぶこういう計算に慣れてきたぞ!2014/6} ■【 aG と \p2 】 二等辺三角形△OBC で \p2=2*OB*sin(aG/2) ここで OB=p1*m2/(m1+m2)=p1/(1+m1/m2) だから、 \p2/p1=2*sin(aG/2)/(1+m1/m2) ★. 速さで表せば、 \v2/v1 ※ 質量比が逆数になっている{!} {まとめ} \p1/p1=|\v1/v1|=root[(m1/m2)^2+2*(m1/m2)*cos(aG)+1]/(1+m1/m2) \p2/p1=2*sin(aG/2)/(1+m1/m2) \v2/v1=2*sin(aG/2)/(1+m2/m1) 〔0<aG≦Pi -1≦cos(aG)<1 0≦sin(aG/2)〕 ▲ aG=0 のとき、 \p1/p1=1 \p2/p1=0 通り過ぎている場合(衝突とは言えない) ▲ aG=Pi のとき、 \p1/p1=|\v1/v1|=|1-m1/m2|/(1+m1/m2) \p2/p1=2/(1+m1/m2) \v2/v1=2/(1+m2/m1) ★.1次元.正面衝突 さらに m1=m2 ならば \p1/p1=0 \p2/p1=1 \v2/v1=1 {aG=Pi のときが正面衝突!2016/4} ▲ aG=Pi/2 のとき、 \p1/p1=root[1+(m1/m2)^2]/(1+m1/m2) \p2/p1=root2/(1+m1/m2) \v2/v1=root2/(1+m2/m1) さらに m1=m2 ならば \p1/p1=\p2/p1=root2/2 ▲ aG=Pi/2 & m1/m2=1/2 のとき、 \p1/p1=(root5/2)/(3/2)=root5/3~0.75 \p2/p1=root2/(3/2)=2*root2/3~0.94 {やっとまとまった!2016/4} |
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〓 完全弾性衝突.3次元.一方が静止 〓
■【 a1 と \p1 】 △OAC で AC=\p1 OC=OB=AB*m2/(m1+m2)=p1*m2/(m1+m2) OA=AB*m1/(m1+m2)=p1*m1/(m1+m2) OC/OA=m2/m1 AC/OA=cos(a1)±root[(m2/m1)^2-sin(a1)^2] \p1 \p1/p1={cos(a1)±root[(m2/m1)^2-sin(a1)^2]}*m1/(m1+m2) ★. ■【 a2 と \v2 】 aG=Pi-2*a2 aG/2=Pi/2-a2 ※ 0<aG<Pi 0<a2<Pi/2 \v2/v1=2*sin(Pi/2-a2)*m1/(m1+m2)=2*cos(a2)*m1/(m1+m2) ★. |
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〓 衝突後の2粒子が作る角 〓 ■ 衝突後の2つの粒子進む方向の作る角 a1+a2 IF{ m1<m2 } 点A は、半径OBの円の内部にある。 aG が任意の角をとるとき、全運動量に対する角 a1 も任意の角をとることができる a1+a2>Pi/2 IF{ m1>m2 } 点A は、半径OBの円の外部にある。 aG が任意の角をとっても、全運動量に対する角 a1 の範囲は限られる。 a1+a2<Pi/2 a1 が最大になるのは、<AC>⊥<OC> のときだから、 [<v1>*m1^2/(m1+m2)+<\1Gu>*m.*v1]*(<\1Gu>*m.*v1)=0 <v1>*<\1Gu>*m1+m2*v1=0 cos(aG)=-m2/m1 このとき sin(a1_max)=OC/AO=m2/m1 <1 IF{ m1=m2 } a1+a2=Pi/2 ■ 正面衝突のとき <\1Gu>=-<v1>/v1 <\v1>=<v1>*(m1-m2)/(m1+m2) このとき \K2 {ランダウの本は、このあたりの式がバンバン書いてあっておもしろい!2014/5} |
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〓 完全弾性衝突3次元-コンプトン効果- 〓 ◎ コンプトン効果(光子と電子の衝突)を2粒子の衝突で考えてみる ●
光子のエネルギーの逆数の、衝突後と衝突前の差 1/\Ep-1/Ep ◆ 2粒子完全弾性衝突 <v2>=0 m1<<m2 a1+2*a2=Pi ■ K1=(1/2)*m1*v1^2 \K1 1/\K1-1/K1 (4*m2/v1^2)/[m1^2+m2^2+2*m1*m2*cos(aG)] m1/m2<<1 のとき aG=a1 だから (4*m2/v1^2)/[m1^2+m2^2+2*m1*m2*cos(aG)]=[4/(m2*v1^2)] 1/\K1-1/K1=[4/(m2*v1^2)]*[1-cos(a1)] ∝ 1-cos(全運動量に対する角) ★・ {コンプトン効果らしき公式ができた!2014/5} |
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☆ お勉強しよう 2018-2011 Yuji W. ☆ |