☆お勉強しようUz☆ 物理.力学

2016/4-2012/12 Yuji.W

☆同質量粒子の衝突☆

◎ 同じ質量 3次元完全弾性衝突 質量の中心系 ベクトルの2次方程式

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

◇同質量完全弾性衝突1次元◇

◎ 一直線上の衝突

◆ 2粒子 同質量 m 衝突前の速さ v1,v2 衝突後の速さ \v1,\v2

※ v1,v2 は、任意の値をとれるわけではない。ちゃんと衝突する場合を考える。

■ 運動量保存 運動量/m v1+v2=\v1+\v2

エネルギー保存 運動エネルギー*2/m (v1)^2+(v2)^2=(\v1)^2+(\v2)^2

\v2 を消去して (v1)^2+(v2)^2=(\v1)^2+(v1+v2-\v1)^2

 (v1+v2-\v1)^2=(v1+v2)^2-2*(v1+v2)*\v1+(\v1)^2

 (v1)^2+(v2)^2=(\v1)^2+[(v1+v2)^2-2*(v1+v2)*\v1+(\v1)^2]

 (\v1)^2-(v1+v2)*\v1+v1*v2=0

 (\v1-v1)*(\v1-v2)=0

 \v1=v1 , \v1=v2

前者の解は、ただ2粒子が通り過ぎただけだから、考えない事にする。

 \v1=v2 , \v2=v1  速さが入れ替わった

同質量の場合を考えている。2粒子を区別する方法がなければ、衝突しないで通り過ぎたのか、衝突して速さが入れ替わったのかは、区別できない{!}

{2次方程式になって解けるのがおもしろい!2015/8}

◇同質量、一方が静止◇

◎ 一方が静止している場合

◆ 2粒子 同質量 m 衝突前 <v1> , 静止 衝突後 <\v1> , <\v2>

任意の速度ベクトルの大きさ v=|<v>|=root(<v>*<v>)

▲ 上図で、<v1>を直径とする球(円ではなく、「球」)を考える。

衝突後の粒子1の速度<\v1>は、その球面上の任意の点を結ぶベクトルとなる。3次元的に任意の方向をとる事ができる

<\v2>は、<v1>,<\v1>が作る平面上にあって、<\v1>に直角の方向をとる。

■ 立式して求める。

運動量/m <v1>=<\v1>+<\v2>

運動エネルギー*2/m v1^2=\v1^2+\v2^2

<\v2> を消去すると v1^2=\v1^2+(<v1>-<\v1>)*(<v1>-<\v1>)

 v1^2=\v1^2+v1^2-2*<v1>*<\v1>+\v1^2

 <\v1>^2-<v1>*<\v1>=0

 <\v1>*(<\v1>-<v1>)=0 

このベクトル2次方程式の解は、3種類ある{核心!}

@ <\v1>=<v1> 衝突しないで、通り過ぎただけ

A <\v1>=0 , <\v2>=<v1> 速さが入れ替わった

B <\v1> ⊥ (<\v1>-<v1>)

 <v1> を直径とする球を考える。<\v1> は、<v1>の始点(直径の端)と、球面上の任意の点を結ぶベクトルになる。  そうすれば、等式Bが成り立つ。

@AはBに含まれると考える事もできる。

<\v2>=<v1>-<\v1> だから <\v2> は、<\v1>の終点(球面上にある)から、<v1>の終点(直径の端)を結ぶベクトルになる 

◇質量の中心系で◇

◎ 2次元(一平面上)の運動を考えても、あまり得をする事はないので、3次元で考える。

◆ 2粒子 同質量 m 衝突前 <v1>,<v2> 衝突後 <\v1>,<\v2>

※ <v1>,<v2> は、任意の値をとれるわけではない。ちゃんと衝突する場合を考える。

質量の中心の位置 <G> その速度 <G>'=(<v1>+<v2>)/2

質量の中心系で 衝突前 <v1G>,<v2G> 衝突後 <\v1G>,<\v2G>

任意の速度で <vG>=<v>-<G>' その大きさ |<v>|=v

■ 質量の中心系で、全運動量=0

<v1G>を半径とする球(円ではなく、「球」)を考える。

 v1G=v2G=\v1G=\v2G <v2G>=-<v1G> <\v2G>=-<\v1G>

衝突後の速度は、3次元的に任意の方向をとれる

■ 質量の中心系で、全運動量は 0 だから、

運動量/m <v1G>+<v2G>=<\v1G>+<\v2G>=0

 <v2G>=-<v1G> <\v2G>=-<\v1G>

エネルギー*2/m <v1G>^2+<v2G>^2=<\v1G>^2+<\v2G>^2

<v2G>,<\v2G> が消去できて、

 <v1G>^2+<v1G>^2=<\v1G>^2+<\v1G>^2

 <\v1G>^2=<v1G>^2

 \v1G=v1G

<\v1G> の方向は、任意の方向をとれる。その方向の単位ベクトルを <\Gu> とすれば、

 <\v1G>=<\Gu>*v1G <\v2G>=-<\Gu>*v1G

※ (v1G)^2
=|<v1G>|^2
=|<v1>-<G>'|^2
=|<v1>|^2-2*<G>'*<v1>+|<G>'|^2
=|<v1>|^2-(<v1>+<v2>)*<v1>+|(<v1>+<v2>)/2|^2
=(v1)^2-(v1)^2-<v1>*<v2>+[(v1)^2+2*<v1>*<v2>+(v2)^2]/4
=[(v1)^2-2*<v1>*<v2>+(v2)^2]/4
=[(<v1>-<v2>)/2]^2

 v1G=|<v1>-<v2>|/2

◇散乱角◇

◎ 質量の中心系と一方が静止していた系との関係

質量の中心系

一方が静止していた系

質量の中心系の値 vG,aG がわかっているとき、一方が静止していた系の速さと散乱角を求めたい 〔0<aG≦Pi 0<aG/2≦Pi/2〕

■ 質量の中心系の速度

衝突前 <v1G>=<xu>*vG <v2G>=-<xu>*vG

衝突後 <\v1G>=<\Gu>*vG <\v2G>=-<\Gu>*vG

 cos(aG)=<\Gu>*<xu>

■ 一方が静止していた系の速度は、質量の中心系の速度に、<xu>*vG を足せば、求められる。

 <\v1>=<\v1G>+<xu>*vG=<\Gu>*vG+<xu>*vG=(<\Gu>+<xu>)*vG

 <\v2>=(-<\Gu>+<xu>)*vG

大きさ 

 (\v1G/vG)^2
=(|<\v1>|/vG)^2
=(<\Gu>+<xu>)^2
=<\Gu>^2+2*<\Gu>*<xu>+<xu>^2
=1+2*cos(aG)+1
=2*[1+cos(aG)]
=4*cos(aG/2)^2

≫ \v1=2*cos(aG/2)*vG 

同様に \v2=2*sin(aG/2)*vG   〔0<aG≦Pi 0<aG/2≦Pi/2 v1=2*vG〕

★ aG=Pi/2 ⇒ \v1=root2*vG \v2=root2*vG

aG=Pi ⇒ \v1=0 \v2=2*vG=v1 速さが入れ替わった

散乱角 a cos(a)=(<\v1>*<xu>)/\v1

 <\v1>*<xu>
=[(<\Gu>+<xu>)*vG]*<xu>
=(<\Gu>*<xu>+1)*vG
=[1+cos(aG)]*vG
=2*cos(aG/2)^2*vG

 cos(a)=[2*cos(aG/2)^2*vG]/[2*cos(aG/2)*vG]=cos(aG/2)

 a=aG/2 

※ ひし形の1つの角と、ひし形を対角線で分けた二等辺三角形の底角との関係

 粒子2の散乱角(<\v2>と<v1>とが作る角)=Pi/2-a=(Pi-aG)/2 

  同質量粒子の衝突  

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