物理 力学 2019/2-2012/12 Yuji.W
☆ 完全弾性衝突.一方が静止.同質量 ☆
◎ 同じ質量 3次元完全弾性衝突 質量の中心系 ベクトルの2次方程式 ★_
【数学】ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $ ネイピア数 e e^x=exp(x) 虚数単位 i e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
【座標】デカルト座標単位ベクトル <xu>,<yu>,<zu>
〓 同質量、一方が静止 〓 .
◎ ●---> |●|
◆ 同質量の2粒子①② ②は静止 完全弾性衝突(運動エネルギーが保存される)
衝突前の動いている粒子の軌道を x軸 とする 運動量保存の法則より、衝突後の2粒子の運動量の和は、x成分のみに限られる 2粒子はx軸を含む一平面上を飛び去る その平面をxy平面とする 以下z成分は考えない
粒子の質量 1 衝突前の動いている方の粒子の速度 <xu>*1
衝突後の速度 ① <v u> ② <V -u> ※ y成分の和が 0 になるようにしている
■ 運動量保存より x成分 1=v+V (式1)
運動エネルギー保存より 1^2=(v^2+u^2)+(V^2+u^2) (式2)
変数は 3つあって、式は 2つしかないから、一意には定まらない。V と u を v を使って表すことを考える。
(式2)より 1=v^2+V^2+2*u^2 これに(式1)を代入して、
1=v^2+(1-v)^2+2*u^2
u=root[v*(1-v)]
》衝突後 ① <v root[v*(1-v)]> ② <1-v -root[v*(1-v)]> ★_
{こういう方法で考えるのもいいと思う。より本質が見えてくる!2019/2}
▲ 0≦v≦1 に限られる ※ 衝突前の粒子の速さを 1 にしている
★ v=0 のとき ①<0 0> ②<1 0> 直線上の運動
★ v=1 のとき ①<1 0> ②<0 0> 衝突しないで通り過ぎる
★ v=1/2 のとき ①<1 1>/2 ②<1 -1>/2
★ v=3/4 のとき ①<3 root3>/4 ②<1 -root3>/4
■
2粒子の衝突後の速度の内積 <v root[v*(1-v)]>*<1-v -root[v*(1-v)]>
=v*(1-v)-v*(1-v)=0 ★_2粒子は直交する方向に飛び去る
〓 同質量、一方が静止 〓 .
◎ 一方が静止している場合
◆ 2粒子 同質量 m 衝突前 <v1> , 静止 衝突後 <\v1> , <\v2>
任意の速度ベクトルの大きさ v=|<v>|=root(<v>*<v>)
▲ 上図で、<v1>を直径とする球(円ではなく、「球」)を考える。
衝突後の粒子1の速度<\v1>は、その球面上の任意の点を結ぶベクトルとなる。3次元的に任意の方向をとる事ができる。
<\v2>は、<v1>,<\v1>が作る平面上にあって、<\v1>に直角の方向をとる。
■ 立式して求める。
運動量/m <v1>=<\v1>+<\v2>
運動エネルギー*2/m v1^2=\v1^2+\v2^2
<\v2> を消去すると v1^2=\v1^2+(<v1>-<\v1>)*(<v1>-<\v1>)
v1^2=\v1^2+v1^2-2*<v1>*<\v1>+\v1^2
<\v1>^2-<v1>*<\v1>=0
<\v1>*(<\v1>-<v1>)=0 ★
このベクトル2次方程式の解は、3種類ある{核心!}
① <\v1>=<v1> 衝突しないで、通り過ぎただけ
② <\v1>=0 , <\v2>=<v1> 速さが入れ替わった
③ <\v1> ⊥ (<\v1>-<v1>)
<v1> を直径とする球を考える。<\v1> は、<v1>の始点(直径の端)と、球面上の任意の点を結ぶベクトルになる。 ★ そうすれば、等式③が成り立つ。
①②は③に含まれると考える事もできる。
<\v2>=<v1>-<\v1> だから <\v2> は、<\v1>の終点(球面上にある)から、<v1>の終点(直径の端)を結ぶベクトルになる ★
〓 質量の中心系で 〓 .
◎ 2次元(一平面上)の運動を考えても、あまり得をする事はないので、3次元で考える。
◆ 2粒子 同質量 m 衝突前 <v1>,<v2> 衝突後 <\v1>,<\v2>
※ <v1>,<v2> は、任意の値をとれるわけではない。ちゃんと衝突する場合を考える。
質量の中心の位置 <G> その速度 <G>'=(<v1>+<v2>)/2
質量の中心系で 衝突前 <v1G>,<v2G> 衝突後 <\v1G>,<\v2G>
任意の速度で <vG>=<v>-<G>' その大きさ |<v>|=v
■ 質量の中心系で、全運動量=0
<v1G>を半径とする球(円ではなく、「球」)を考える。
v1G=v2G=\v1G=\v2G <v2G>=-<v1G> <\v2G>=-<\v1G>
衝突後の速度は、3次元的に任意の方向をとれる。
■ 質量の中心系で、全運動量は 0 だから、
運動量/m <v1G>+<v2G>=<\v1G>+<\v2G>=0
<v2G>=-<v1G> <\v2G>=-<\v1G>
エネルギー*2/m <v1G>^2+<v2G>^2=<\v1G>^2+<\v2G>^2
<v2G>,<\v2G> が消去できて、
<v1G>^2+<v1G>^2=<\v1G>^2+<\v1G>^2
<\v1G>^2=<v1G>^2
\v1G=v1G
<\v1G> の方向は、任意の方向をとれる。その方向の単位ベクトルを <\Gu> とすれば、
<\v1G>=<\Gu>*v1G <\v2G>=-<\Gu>*v1G
※
(v1G)^2
=|<v1G>|^2
=|<v1>-<G>'|^2
=|<v1>|^2-2*<G>'*<v1>+|<G>'|^2
=|<v1>|^2-(<v1>+<v2>)*<v1>+|(<v1>+<v2>)/2|^2
=(v1)^2-(v1)^2-<v1>*<v2>+[(v1)^2+2*<v1>*<v2>+(v2)^2]/4
=[(v1)^2-2*<v1>*<v2>+(v2)^2]/4
=[(<v1>-<v2>)/2]^2
v1G=|<v1>-<v2>|/2
〓 散乱角 〓 .
◎ 質量の中心系と一方が静止していた系との関係
◆
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質量の中心系 |
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一方が静止していた系 |
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質量の中心系の値 vG,aG がわかっているとき、一方が静止していた系の速さと散乱角を求めたい 〔0<aG≦Pi 0<aG/2≦Pi/2〕
■ 質量の中心系の速度
衝突前 <v1G>=<xu>*vG <v2G>=-<xu>*vG
衝突後 <\v1G>=<\Gu>*vG <\v2G>=-<\Gu>*vG
cos(aG)=<\Gu>*<xu>
■ 一方が静止していた系の速度は、質量の中心系の速度に、<xu>*vG を足せば、求められる。
<\v1>=<\v1G>+<xu>*vG=<\Gu>*vG+<xu>*vG=(<\Gu>+<xu>)*vG
<\v2>=(-<\Gu>+<xu>)*vG
大きさ
(\v1G/vG)^2
=(|<\v1>|/vG)^2
=(<\Gu>+<xu>)^2
=<\Gu>^2+2*<\Gu>*<xu>+<xu>^2
=1+2*cos(aG)+1
=2*[1+cos(aG)]
=4*cos(aG/2)^2
≫ \v1=2*cos(aG/2)*vG ★
同様に \v2=2*sin(aG/2)*vG ★ 〔0<aG≦Pi 0<aG/2≦Pi/2 v1=2*vG〕
★ aG=Pi/2 ⇒ \v1=root2*vG \v2=root2*vG
aG=Pi ⇒ \v1=0 \v2=2*vG=v1 速さが入れ替わった
■ 散乱角 a cos(a)=(<\v1>*<xu>)/\v1
<\v1>*<xu>
=[(<\Gu>+<xu>)*vG]*<xu>
=(<\Gu>*<xu>+1)*vG
=[1+cos(aG)]*vG
=2*cos(aG/2)^2*vG
cos(a)=[2*cos(aG/2)^2*vG]/[2*cos(aG/2)*vG]=cos(aG/2)
a=aG/2 ★
※ ひし形の1つの角と、ひし形を対角線で分けた二等辺三角形の底角との関係
粒子2の散乱角(<\v2>と<v1>とが作る角)=Pi/2-a=(Pi-aG)/2 ★
☆ お勉強しよう 2019-2011 Yuji W. ☆