お勉強しようwithUz 物理.力学

2016/2-2013/10 Yuji.W

懸垂線(カテナリ)

◎ 懸垂線 重さがあるひもなどが垂れ下がったときの形 catenary

◇ ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu> 縦ベクトル<A) 内積* 外積#
微分;x 
時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

☆復習-水平に張られた弦に働く力☆

◎ 弦の振動を考える

◆ 水平軸 x軸 鉛直軸 z軸 弦のz軸方向のたわみ z(x) 線密度 λ

・重力は考えない

・弦のたわみは非常に小さい 弦とx軸との作る角 a(x) |a|<<1

 tan(a)=sin(a)=a cos(a)=1

・弦の張力 T=一定

 x成分 Tx=T*cos(a)=T どの部分でも等しいから、x成分は考えなくてよい。

 z成分 Tz=T*sin(a)=T*tan(a)=T*(z;x)

■ 弦 x~x+dx にかかる力のz成分=T*(z;;x)*dx

☆懸垂線-水平でないひもに働く力☆

◎ 高さが等しい左右の所から、ひもを垂らす。だらーんとした形になる。

◆ 一様な重力場(鉛直方向、z軸) 重力加速度 g 水平方向 x軸

ひもを垂らす ひもの線密度 λ z軸方向のたわみ z(x) x軸と作る角 a(x) ひもの張力 T(x)

x=0 で z=0 z(-L)=z(L) ひもの形 x軸対称 0<x<L の範囲を考える

■ ひも x~x+dx に働く力は、ひもの重さの分と、ひもを左右に引っ張る張力 T(x)

水平方向(x軸)には、ひもの張力しか働かない。つり合っているので、張力のx成分は一定。その大きさを T とする。また λ*g/T=k=一定 と表す事にする。

鉛直方向(z軸)のつり合いを考えると、

 λ*g*root[(dx)^2+(dz)^2]=Tz(x+dx)-Tz(x)=(Tz;x)*dx

ここで root[(dx)^2+(dz)^2]=root[1+(z;x)^2]*dx

また 張力の方向とひもの方向とは一致しているから、ひものあらゆる位置で、

 (張力のz成分)/(x成分)=Tz/T=(ひもの傾き)=z;x Tz=T*(z;x) {核心!}

まとめて λ*g*root[1+(z;x)^2]*dx=T*(z;;x)*dx

 z;;x=(λ*g/T)*root[1+(z;x)^2]=k*root[1+(z;x)^2]〔〕ひもの形を表す微分方程式

解 z=(1/k)*[cosh(k*x)-1]

●cosh(x)=[exp(x)+exp(-x)]/2 cosh(0)=1 cosh(0.5)=1.13 cosh(1)=1.54

{難しそうだったが、ひとつひとつ考えて行けば、そうでもない!2013/10}

☆懸垂線-ひもの長さ,角度☆

◎ 懸垂線を表す微分方程式を求めよう。(s,a)座標

◆ 水平軸 x軸 鉛直軸 z軸 重力加速度 g ひもの線密度 λ 張力 Tx,Tz

ひもの長さ s ひもと水平軸の作る角 a(s) ひもの最下部で s=0 , a(0)=0

 k=λ*g/Tx

左右対称 s>0 の範囲を考える s,a 単調増加関数になる

■ ひもの s〜s+ds の部分の力のつり合いを考えて、

x軸方向には、ひもの張力しか働かない。つり合っているので、

 Tx=一定 λ*g/Tx=k=一定

z軸方向の張力は Tz(s)=Tx*tan[a(s)]

z軸方向のつり合い Tz(s)+λ*g*ds=Tz(s+ds)

 (Tz;s)*ds=λ*g*ds

 Tz;s=λ*g

 tan[a(s)];s=(λ*g/Tx)=k

 Ta=k*s ※積分定数=0

 a=arctan(k*s)  

▲ k=1 のとき、

 s=tan(1°)~0.017 s=tan(10°)~0.18 s=tan(30°)~0.58
 s=tan(45°)=1 s=tan(60°)~1.73

 arctan(0.1)~5.7° arctan(0.5)~27° arctan(1)=45°
 arctan(2)~63° arctan(3)~72° arctan(4)~76° arctan(10)~84°

☆懸垂線-デカルト座標☆

◎ (s,a)座標をデカルト座標に直そう。

● ${1/Cx}dx=(1/2)*ln[(1+Sx)/(1-Sx)]

◆ 水平軸 x軸 鉛直軸 z軸 重力加速度 g ひもの線密度 λ 張力 Tx,Tz

ひもの長さ s ひもと水平軸の作る角 a(s) ひもの最下部で s=0 , a(0)=0

 a=arctan(k*s) a の最大値 a1=arctan(k*s1)
 tan(a1)=k*s1 1/cos(a1)=root(1+k^2*s1^2)
 sin(a1)=k*s1/root(1+k^2*s1^2)

 arcsinh(x)=ln[x+root(x^2+1)] arccosh(x)=ln[x+root(x^2-1)]

◎ x,z に変換しよう x=${Ca*ds} z=${Sa*ds}

■ tan[a(s)];s=k

 (a;s)/Ca^2=k ds=[1/(k*Ca^2)]*da

 x
=${Ca*ds}
=(1/k)*${(1/Ca)*da}[a:0~a1]
=[1/(2*k)]*ln[(1+Sa)/(1-Sa)][a:0~a1]
=[1/(2*k)]*ln{[1+sin(a1)]/[1-sin(a1)]}

ここで、

 1+sin(a1)
=1+k*s1/root(1+k^2*s1^2)
=[k*s1+root(1+k^2*s1^2)]/root(1+k^2*s1^2)

 1-sin(a1)
=1-k*s1/root(1+k^2*s1^2)
=[root(1+k^2*s1^2)-k*s1]/root(1+k^2*s1^2) ⇒

 x
=[1/(2*k)]*ln{[k*s1+root(1+k^2*s1^2)]/[root(1+k^2*s1^2)-k*s1]}
=[1/(2*k)]*[arcsinh(k*s1)-arcsinh(-k*s1)]
=(1/k)*arcsinh(k*s1)
 

 z
=${Sa*ds}
=(1/k)*${(Sa/Ca^2)*da}[a:0~a1]
=-(1/k)*${(1/Ca^2)*d(Ca)}
=+[1/(k*Ca)][a:0~a1]
=(1/k)[1/cos(a1)-1]
=(1/k)*[root(1+k^2*s1^2)-1]
 

 k*z+1=root(1+k^2*s1^2)

 1+2*k*z+k^2*z^2=1+k^2*s1^2

 2*z+k*(z^2-s1^2)=0

■ x=(1/k)*arcsinh(k*s1) k*s1=sinh(k*x)

 k^2*z^2+2*k*z-sin(k*x)^2=0

 z
={-k(+-)*root[k^2+k^2*sin(k*x)^2]}/k^2

=(1/k)*{-1(+-)*root[1+sinh(k*x)^2]}
=(1/k)*[-1(+-)*cosh(k*x)]

x->∞ で z->∞ ⇒ z=(1/k)*[cosh(k*x)-1]  k=λ*g/Tx

{なんとかたどりついた!2013/10}

  懸垂線(カテナリ)  

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