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★ つり合いの条件 トルク 力のモーメント ★_ |
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〔物理定数〕 |
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ベクトル
<A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積
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◎ トルク=力のモーメント ● 円柱座標(r,b,z) z軸からの距離 r 方位角(rがx軸と作る角) b xy平面との距離 z 距離rが作る単位ベクトル <r.u> z軸方向単位ベクトル <zu> その2つのベクトルに垂直な単位ベクトル <bu> <r.u>と<bu>は、xy平面と平行 ■ 力 <F> 力が作用する位置 <r> 原点に対するトルク <N>=<r>#<F> {定義} ※ ベクトルを勝手に平行移動してはダメ。作用点が大事{!} 次元 [トルク]=[エネルギー] 円柱座標で表して <F>=<r.u>*Fr.+<bu>*Fb+<zu>*Fz <r>=<r.u>*r.+<zu>*z <N> <N>=<r.u>*(r.*Fz-z*Fb)+<zu>*r.*Fb-<bu>*z*Fr. ★ ■ 力がある平面をxy平面とすれば、 デカルト座標で表せば <F>=<Fx Fy> <r>=<x y> <N>=<x y>#<Fx Fy>=<zu>*(x*Fy-y*Fz) ★ 円柱座標で表せば <F>=<r.u>*Fr.+<bu>*Fb <r>=<r.u>*r. <N>=<zu>*r.*Fb=<zu>*z軸から作用点までの距離*力の方位角成分 ★ ■ 力の腕の長さ Df=(原点から、<F>を含む直線までの距離) 力の腕の方向は、力の方向に垂直だから、 力の腕の方向の単位ベクトル <Fy -Fx>/F Df=<r.>*<Fy -Fx>/F=<x y>*<Fy -Fx>/F=(x*Fy-y*Fx)/F N=(x*Fy-y*Fx)=Df*F=力の腕の長さ*力の大きさ ★
{繰り返し復習しているが、そのたびに理解が深まると思う!それまでの理解が浅かったという事…!2015/6} ★ <F>=<30 40>_N F=50_N <r>=<8 6>_m r=10_m <N>=<zu>*(320-180)=<zu>*140_N*m 力の腕の長さ=140/50=2.8_m 力の方位角成分=N/r=140/10=14_N ◆ 2つの力のz軸の周りの方位角成分 F1b,F2b Fb=F1b+F2b 力が作用する位置のz軸までの距離 r.1,r.2 トルクのz軸方向成分 N1z,N2z Nz=N1z+N2z ■ N1z=r.1*F1b N2z=r.2*F2b Nz=N1z+N2z=r.1*F1b+r.2*F2b ここで Nz=R.*Fb と書けるようにしたい。 トルクの中心のz軸までの距離 R.=(r.1*F1b+r.2*F2b)/(F1b+F2b) と、定めればよい R. を使って Nz=R.*Fb ★ {おもしろいけど、面倒な気がする!2015/6} |
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◆ 力 <F> その作用点の位置 <r> トルク(力のモーメント) <N> 別の位置 <h> その位置でのトルク <Nh> ■ 原点に対するトルク <N>=<r>#<F> 位置
<h> に対するトルク <Nh> ◆ 3つの力 <F1>,<F2>,<F3> その作用点の位置 <r1>,<r2>,<r3> 原点に対する全トルク <N> 別の位置 <h> その位置での全トルク <Nh> ■ <N>=<r1>#<F1>+<r2>#<F2>+<r3>#<F3> <Nh> ■ <F1>+<F2>+<F3>=0 のとき <N>=<Nh> ★ 全外力が 0 になっているとき、トルクは、どの位置に対するものでも同じ値になる ◆ 異なる2点 <h1>,<h2> それらの位置に対するトルク <Nh1>,<Nh2> 原点に対するトルク <N> <Nh1>=<Nh2>=0 のとき <F1>+<F2>+<F3>=0 ■ 0=<Nh1>=<N>-<h1>#(<F1>+<F2>+<F3>) 0=<Nh2>=<N>-<h2>#(<F1>+<F2>+<F3>) (<h1>-<h2>)#(<F1>+<F2>+<F3>)=0 <h1>≠<h2> だから <F1>+<F2>+<F3>=0 ‖ |
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■ 物体がつり合う 静止している物体に力が加わるが、その後も静止している場合 ※ 「静止している」の代わりに、「回転しないで、等速直線運動をしている」と置き換えてもよいが、普通は、静止している場合のみを考える。 つり合う 物体が加速度運動をしない 物体が回転しない ◆ 1つの物体に3つの力が働いている場合 力 <F1>,<F2>,<F3> その作用点 <r1>,<r2>,<r3> 原点の周りのトルク <N1>,<N2>,<N3> ■ つり合いの条件 @ <F1>+<F2>+<F3>=0 A <N1>+<N2>+<N3>=0 ★ ※ @が成り立っているとき (任意の位置に対するトルク)=(原点に対するトルク) だから、計算に都合のよい位置に対するトルクを考えればよい。特に、力の作用点を、その位置にすれば、その力のトルクは 0 だから、計算しないですむ。{明記してない教科書が多い!} ※ @を考える代わりに、2点以上に対するトルクを考えてもよい。異なる2点に対するトルクが 0 であるとき、全外力は 0 になるからである。 {これが書いてある資料は見あたらない。問題を解くときに便利!2015/5}{高校でちゃんと教えてほしかった!なんとなく使ってたが…!2013/9} |
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◆ 原点に <F1>=<-1 -1>*root2/2 (1,1)に <F2>=<1 0> (0,1)に <F3>=<0 1> (x,0)に <F> 4つの力がつり合うようにしたい ■ <F1>+<F2>+<F3>=<1-root2/2 1-root2/2> <F>=-<1-root2/2 1-root2/2> F=(1-root2/2)*root2=root2-1~0.414 原点の周りのトルクを考える。<F1>と<F3>のよるトルクは 0 <F2>によるトルク=1*1=1 <F>によるトルク=-<1-root2/2 1-root2/2>*<x 0>=-(1-root2/2)*x つり合いの条件から -(1-root2/2)*x+1=0 x=2/(2-root2)~2/(2-1.414)=2/0.586~3.41 |