☆お勉強しようUz☆ 物理.力学

2016/3-2014/4 Yuji.W

つり合い

◎ つり合いの条件 トルク 力のモーメント

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z  物理定数 .

◇トルク◇

◎ トルク=力のモーメント

● 円柱座標(r,b,z) z軸からの距離 r 方位角(rがx軸と作る角) b xy平面との距離 z

距離rが作る単位ベクトル <r.u> z軸方向単位ベクトル <zu>

その2つのベクトルに垂直な単位ベクトル <bu>

<r.u>と<bu>は、xy平面と平行

■ 力 <F> 力が作用する位置 <r> 原点に対するトルク <N>=<r>#<F> {定義}

※ ベクトルを勝手に平行移動してはダメ。作用点が大事{!}

次元 [トルク]=[エネルギー]

円柱座標で表して <F>=<r.u>*Fr.+<bu>*Fb+<zu>*Fz

 <r>=<r.u>*r.+<zu>*z

 <N>
=<r>#<F>
=(<r.u>*r.+<zu>*z)#(<r.u>*Fr.+<bu>*Fb+<zu>*Fz)
=<r.u>*r.#(<r.u>*Fr.+<bu>*Fb+<zu>*Fz)
+<zu>*z#(<r.u>*Fr.+<bu>*Fb+<zu>*Fz)
=<zu>*r.*Fb+<r.u>*r.*Fz-<bu>*z*Fr.-<r.u>*z*Fb
=<r.u>*(r.*Fz-z*Fb)+<zu>*r.*Fb-<bu>*z*Fr.

 <N>=<r.u>*(r.*Fz-z*Fb)+<zu>*r.*Fb-<bu>*z*Fr. 

力がある平面をxy平面とすれば、

デカルト座標で表せば <F>=<Fx Fy> <r>=<x y>

 <N>=<x y>#<Fx Fy>=<zu>*(x*Fy-y*Fz) 

円柱座標で表せば <F>=<r.u>*Fr.+<bu>*Fb <r>=<r.u>*r.

 <N>=<zu>*r.*Fb=<zu>*z軸から作用点までの距離*力の方位角成分 

■ 力の腕の長さ Df=(原点から、<F>を含む直線までの距離)

 力の腕の方向は、力の方向に垂直だから、

 力の腕の方向の単位ベクトル <Fy -Fx>/F

 Df=<r.>*<Fy -Fx>/F=<x y>*<Fy -Fx>/F=(x*Fy-y*Fx)/F

 N=(x*Fy-y*Fx)=Df*F=力の腕の長さ*力の大きさ 

「トルク=力のモーメント」 2015/6

● 円柱座標(r,b,z) z軸からの距離 r 方位角(rがx軸と作る角) b xy平面との距離 z

距離rが作る単位ベクトル <r.u> z軸方向単位ベクトル <zu>

方位角方向単位ベクトル(接線方向単位ベクトル) <bu>

<r.u>と<bu>は、xy平面と平行

■ 力 <F> 力が作用する位置 <r> 原点に対するトルク <N>=<r>#<F> {定義}

円柱座標で表して <F>=<r.u>*Fr.+<bu>*Fb+<zu>*Fz

 <r>=<r.u>*r.+<zu>*z

 <N>=<r.u>*(r.*Fz-z*Fb)+<zu>*r.*Fb-<bu>*z*Fr.

力がある平面をxy平面とすれば、

デカルト座標で <F>=<Fx Fy> <r>=<x y> <N>=<zu>*(x*Fy-y*Fz)

円柱座標で <F>=<r.u>*Fr.+<bu>*Fb <r>=<r.u>*r.

 <N>=<zu>*r.*Fb=<zu>*z軸から作用点までの距離*力の方位角成分

力の腕の長さ Df=(原点から、<F>を含む直線までの距離)

 N=Df*F=力の腕の長さ*力の大きさ

{繰り返し復習しているが、そのたびに理解が深まると思う!それまでの理解が浅かったという事…!2015/6}

★ <F>=<30 40>_N F=50_N <r>=<8 6>_m r=10_m

 <N>=<zu>*(320-180)=<zu>*140_N*m

 力の腕の長さ=140/50=2.8_m

 力の方位角成分=N/r=140/10=14_N


◆ 2つの力のz軸の周りの方位角成分 F1b,F2b Fb=F1b+F2b

力が作用する位置のz軸までの距離 r.1,r.2

トルクのz軸方向成分 N1z,N2z Nz=N1z+N2z

■ N1z=r.1*F1b N2z=r.2*F2b Nz=N1z+N2z=r.1*F1b+r.2*F2b

ここで Nz=R.*Fb と書けるようにしたい。

トルクの中心のz軸までの距離 R.=(r.1*F1b+r.2*F2b)/(F1b+F2b) と、定めればよい

R. を使って Nz=R.*Fb 

{おもしろいけど、面倒な気がする!2015/6}

◇トルクの回転軸◇

◆ 力 <F> その作用点の位置 <r> トルク(力のモーメント) <N>

別の位置 <h> その位置でのトルク <Nh>

原点に対するトルク <N>=<r>#<F>

位置 <h> に対するトルク  <Nh>
=(<r>-<h>)#<F>
=<r>#<F>-<h>#<F>
=<N>-<h>#<F>

◆ 3つの力 <F1>,<F2>,<F3> その作用点の位置 <r1>,<r2>,<r3>

原点に対する全トルク <N> 別の位置 <h> その位置での全トルク <Nh>

■ <N>=<r1>#<F1>+<r2>#<F2>+<r3>#<F3>

 <Nh>
=(<r1>-<h>)#<F1>+(<r2>-<h>)#<F2>+(<r3>-<h>)#<F3>
=<r1>#<F1>+<r2>#<F2>+<r3>#<F3>-<h>#(<F1>+<F2>+<F3>)
=<N>-<h>#(<F1>+<F2>+<F3>)

■ <F1>+<F2>+<F3>=0 のとき <N>=<Nh> 

全外力が 0 になっているとき、トルクは、どの位置に対するものでも同じ値になる

◆ 異なる2点 <h1>,<h2> それらの位置に対するトルク <Nh1>,<Nh2>

原点に対するトルク <N>

 <Nh1>=<Nh2>=0 のとき <F1>+<F2>+<F3>=0

■ 0=<Nh1>=<N>-<h1>#(<F1>+<F2>+<F3>)

 0=<Nh2>=<N>-<h2>#(<F1>+<F2>+<F3>)

 (<h1>-<h2>)#(<F1>+<F2>+<F3>)=0

<h1>≠<h2> だから <F1>+<F2>+<F3>=0 ‖

☆物体のつり合いの条件☆

物体がつり合う 静止している物体に力が加わるが、その後も静止している場合

※ 「静止している」の代わりに、「回転しないで、等速直線運動をしている」と置き換えてもよいが、普通は、静止している場合のみを考える。

つり合う 物体が加速度運動をしない 物体が回転しない

◆ 1つの物体に3つの力が働いている場合 力 <F1>,<F2>,<F3>

その作用点 <r1>,<r2>,<r3> 原点の周りのトルク <N1>,<N2>,<N3>

■ つり合いの条件 @ <F1>+<F2>+<F3>=0 A <N1>+<N2>+<N3>=0 

※ @が成り立っているとき (任意の位置に対するトルク)=(原点に対するトルク) だから、計算に都合のよい位置に対するトルクを考えればよい。特に、力の作用点を、その位置にすれば、その力のトルクは 0 だから、計算しないですむ。{明記してない教科書が多い!}

※ @を考える代わりに、2点以上に対するトルクを考えてもよい。異なる2点に対するトルクが 0 であるとき、全外力は 0 になるからである。

{これが書いてある資料は見あたらない。問題を解くときに便利!2015/5}

{高校でちゃんと教えてほしかった!なんとなく使ってたが…!2013/9}

☆つり合いの問題☆

◆ 原点に <F1>=<-1 -1>*root2/2 (1,1)に <F2>=<1 0>

(0,1)に <F3>=<0 1> (x,0)に <F> 4つの力がつり合うようにしたい

■ <F1>+<F2>+<F3>=<1-root2/2 1-root2/2>

 <F>=-<1-root2/2 1-root2/2> F=(1-root2/2)*root2=root2-1~0.414

原点の周りのトルクを考える。<F1>と<F3>のよるトルクは 0

 <F2>によるトルク=1*1=1

 <F>によるトルク=-<1-root2/2 1-root2/2>*<x 0>=-(1-root2/2)*x

つり合いの条件から -(1-root2/2)*x+1=0

 x=2/(2-root2)~2/(2-1.414)=2/0.586~3.41

  つり合い  

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