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☆ 円運動.角速度ベクトルの利用 ☆ |
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〇 剛体 ★ 2022.9-2018.2 Yuji.W |
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◇ 2*3=6 Ten(3)=10^3=1000 微分 ; 偏微分 : 積分 $ e^(i*x)=expi(x) |
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〓 テンソルと縦ベクトルとの積 〓 22.9 ▢ 3次元ベクトル <A>=<Ax Ay Az>
<B>=<Bx By Bz> 3次元テンソル [T]=[T11 T12 T13|T21 T22 T23|T31 T32 T33] ▷ ベクトルどうしの内積 <A>*<B>=Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz ベクトルと縦ベクトルとの内積 <A>*<B)=Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz ▷ テンソルと縦ベクトルとの積 [T]*<A) . ([T]*<A) x成分)=T11*Ax+T12*Ay+T13*Az . ([T]*<A) y成分)=T21*Ax+T22*Ay+T23*Az . ([T]*<A) z成分)=T31*Ax+T32*Ay+T33*Az ▷ <T1>=<T11 T12 T13> <T2>=<T21 T22 T23> <T3>=<T31 T32 T33> . [T]=[<T1>|<T2>|<T3>] として、 . [T]*<A)=<<T1>*<A) <T2>*<A) <T3>*<A)) |
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〓 角速度 〓 ◇ 外積 # 《 角速度24.3 》 ▢ デカルト座標 (x,y,z) 1質点の運動 位置 <r> そこでの速度 <v> 原点に対する角速度 <w> ▷ {定義}角速度 <w>=<r>#<v>/r^2=<y*vz-z*vy z*vx-x*vz x*vy-y*vx>/r^2 ① 基準点を明示する必要がある ②
「軸」に対する量ではなく、「点」に対する量である ▷ <w>#<r>=<v>-<r>*(<r>*<v>)/r^2 ▢ デカルト座標 (x,y,z) 1質点 円運動 位置 <r> そこでの速度 <v> 原点に対する角速度 <w> ▷ <w>#<r>=<v> テンソル [i]=[y^2+z^2 -x*y -x*z|-x*y
x^2+z^2 -y*z|-x*z -y*z x^2+y^2]
. <<r>#<v>)=[i]*<w) ▷ z軸の周りの円運動 <r>#<v>=<-x*z -y*z x^2+y^2>*wz ▷ xy平面上のz軸の周りの円運動 <r>#<v>=<zu>*(x^2+y^2)*wz |
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〓 剛体とは？ 〓 〇 『剛体』互いの間隔が変わらない粒子の集まり。剛体の変形や振動は考えない。 剛体の中の任意の1点に対して、他のすべての点は、微小時間内で円運動をする。一般に、回転の方向は変わってよいから、ぐるっと一周する円運動にはならない。回転軸が固定されていれば、ぐるっと一周する円運動になる。 ★ 回転を考えるときの最大のポイントは、剛体の、回転軸上の点を除いた残りのすべての点の角速度が同じであるという事実である。ひとつの角速度の値で、剛体全体の回転の動きが表現できる。 ★ |
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〓 角速度ベクトル 〓 〇 1質点 質量 m xy平面上 原点の周りを等速円運動 半径 R 回転周期 T . 角速度 w=2*Pi/T_rad/sec=360/T_°/sec ※ rad も ° も無次元 . 速さ v=2*Pi*R/T=2*Pi*R*[w/(2*Pi)]=w*R . v=w*R ★ 〇 xy平面上、z軸の周りを等速円運動 角速度ベクトル <w>=<zu>*w ※ 右手系では、z軸正の方向に対して右回りを正とする 質点の位置 <r>=<xu>*x+<yu>*y root(x^2+y^2)=R 速度 <v> 外積を使って、 . <w>#<r> . (<w>#<r>)*<r>∝(-<xu>*y+<yu>*x)*(<xu>*x+<yu>*y)=0 . <w>#<r> と <r> は垂直 また |<w>#<r>|=root(x^2+y^2)*w=w*R <w>#<r> は、xy平面上にあって、<r> と垂直、大きさは w*R すなわち 速度を表す . <v>=<w>#<r> ★ 〇 一般に、円運動、観測時刻において、 位置 <r>=<x y z> 速度 <v>=<vx vy vz> 角速度 <w>=<wx wy wz> . <v>=<w>#<r>=<wy*z-wz*y wz*x-wx*z wx*y-wy*x> ★ |
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〓 角運動量 〓 〇 1質点 質量 m 円運動、観測時刻において 位置 <r>=<x y z> 角速度 <w>=<wx wy wz> 速度 <v>=<w>#<r>=<wy*z-wz*y wz*x-wx*z wx*y-wy*x> 角運動量 <L> . <L>/m . (<L>/m z成分) . (<L> z成分)=m*[-x*z*wx-y*z*wy+(x^2+y^2)*wz] ★ 同様に、 . (<L> x成分)=m*[(y^2+z^2)*wx-x*y*wy-x*z*wz] . (<L> y成分)=m*[-x*y*wx+(x^2+z^2)*wy-y*z*wz] 〇 <L> , <w> の縦ベクトルを <L) , <w) と表し、 慣性テンソル[I]を次のように定めれば、 . [I]=m*[y^2+z^2 -x*y -x*z|-x*y x^2+z^2 -y*z|-x*z -y*z x^2+y^2] . <L）=[I]*<ｗ) ★ 円運動の角運動量は、慣性テンソルと角速度ベクトルで表す事ができる |
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〓 角運動量の時間微分 〓 ▢ 1質点 質量 m 円運動 角速度 <w>=<zu>*wz 位置 <r>=<x y z> 角速度 <w>=<zu>*wz 速度 <v> 角運動量 <L> ▷ <v>=wz*<-y x 0> . <L>=m*wz*<-x*z -y*z x^2+y^2> 円柱座標 (h,a,z_C) 座標単位ベクトル <hu(a)>,<au(a)>,<zu> で表すと、 . <L>=m*wz*(-<hu>*h*z+<zu>*h^2) z軸のまわりの円運動で -<hu>*h*z+<zu>*h^2=一定 だから、 <L> は、回転軸との角度を一定に保ちながら、回転軸のまわりを角速度 <w> で、回転する。 . <L>;t=<w>#<L> ★ ▲ z軸のまわりの回転を考えたが、一般の方向の回転についても、同様な事が言える。 |
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〓 円運動.角速度ベクトルの利用 〓 《 円運動.角速度ベクトルの利用24.3 》 ◇ ベクトル <A> 縦ベクトル <A) 成分は同じ ▢ 1質点 質量 m 円運動 観測時刻において 位置 <r>=<x y z> 角速度(縦ベクトル) <w)=<wx wy wz) ▷ [I]=m*[y^2+z^2 -x*y -x*z|-x*y x^2+z^2 -y*z|-x*z -y*z x^2+y^2] . <L）=[I]*<ｗ) ▷ <L>;t=<w>#<L> |
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