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2016/2-2011 Yuji.W

角運動量

◎ 任意の運動の角運動量 トルク(力のモーメント) ☆ torque angular momentum

ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 積分${f(x)*dx} 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

{復習}等速円運動,トルク

『等速円運動で』 2016/1

◆ 1質点 質量 m 等速円運動 半径 r 角速度 w 速度 v=r*w

■ 慣性モーメント I=m*r^2 角運動量 L=I*w 回転運動エネルギー Kr=(1/2)*I*w^2

『トルク(力のモーメント)』 2016/1

■ 力 <F> 作用点 <r> トルク <N>=<r>#<F> <N>⊥<r> & <N>⊥<F>

■ Nz=(z軸からの距離)*(力の方位角成分)

◇角運動量◇

■ 1質点 質量 m 位置 <r> 速度 <v> 運動量 <p>=m*<v>

 原点に対する角運動量 <L>=<r>#<p>=m*<r>#<v>

※ 角運動量は、どんな運動でも定義できる。

■ さらに 力 <F> トルク <N>=<r>#<F> 運動方程式 m*<r>''=<F>

■ <L>'=m*<r>'#<r>'+m*<r>#<r>''=0+<r>#<F>=<N>

 <L>'=<N> <L>'⊥<r> & <L>'⊥<F> _

◇回転運動エネルギー◇

● (<A>#<B>)^2=A^2*B^2-(<A>*<B>)^2

◆ 1質点 質点 m 位置 <r>=<x y z> 角速度ベクトル <w>=<wx wy wz> 回転運動エネルギー Kr

■ <v>^2=(<w>#<r>)^2=w^2*r^2-(<w>*<r>)^2

 Kr=(1/2)*m*[w^2*r^2-(<w>*<r>)^2] _

◇角運動量が保存される運動◇

◆ 位置 <r>=<x y z> 力 <F> トルク <N> 角運動量 <L> ◇ それぞれの成分には x などをつける

■【 中心力の場合の角運動量 】

中心力(力の方向が原点を通る)場合 <N>=0 <L>'=0

■【 角運動量の成分 】

<L>'=<N> z成分を抜き出せば、

 Nz=(z軸からの距離)*(力の方位角成分)=0 のとき Lz は保存される

■【 等速直線運動の角運動量 】

 角運動量のz成分
=(z軸からの距離)*(運動量の方位角成分)
=(軌道のz軸からの距離)*(運動量の大きさ)
等速直線運動のとき、軌道のz軸からの距離=一定 & 運動量の大きさ=一定

 角運動量のz成分=一定

x成分もy成分も同様の事が言えるから、等速直線運動の角運動量は保存される

<F>=0 ⇒ 等速直線運動 ⇒ 角運動量は保存される

◇回転半径を小さくする◇

◎ 質点にひもをつけ、円運動をさせる。ひもを引っ張り、回転半径を小さくする。

◆ 等速円運動 質量 m 回転半径 r0 角速度 w0 運動エネルギー K0

 K0=(1/2)*m*r0^2*w0^2

回転半径 r のとき 角速度 w(r) 運動エネルギー K(r)=(1/2)*m*r^2*w(r)^2

ひもを中心に向け、ゆっくり引っ張る。※ ひもを引っ張る力=遠心力 と見なす事ができるという意味

 ひもを引っ張る力 F(r) ひもを引っ張るときにした仕事 W(r)

■【 角速度の増加、運動エネルギーの増加 】

ひもを引っ張る力は原点を通るから、原点に対するトルクは 0 ⇒ 角運動量は保存される

 m*r0^2*w0=m*r^2*w(r)

 w(r)/w0=(r0/r)^2

 K(r)
=(1/2)*m*r^2*[w0^2*(r0/r)^4]
=(1/2)*m*r0^2*w0^2*(r0/r)^2
=K0*(r0/r)^2

 K(r)/K0=(r0/r)^2 _{スケートのスピンの原理!2016/1}

回転半径を半分にすると 半径 1/2 角速度 4倍 運動エネルギー 4倍

■ 運動エネルギーの増加量 ΔK/K0=[K(r)-K0]/K0=K(r)/K0-1=(r0/r)^2-1 _@

■【 ひもを引っ張る力がした仕事 】

 F(r)=m*r*w(r)^2=m*w0^2*r*(r0/r)^4=m*w0^2*r0^4/r^3

F(r)の方向は、半径 r と逆である事に注意して、

 W(r)
=-${F(r)*dr}[r:r0~r]
=-m*w0^2*r0^4*${dr/r^3}[r:r0~r]
=-m*w0^2*r0^4*[-(1/2)/r^][r:r0~r]
=+(1/2)*m*w0^2*r0^4*[1/r^2-1/r0^2]
=+(1/2)*m*w0^2*r0^2*[(r0/r)^2-1]

 W(r)/K0=(r0/r)^2-1 _A

 @=A

▲ ひもを引っ張る力が、質点に対して仕事をし、質点の回転運動エネルギーを増加させる。

  角運動量  

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