物理　力学　　2017/10-2011　Yuji.W

 ☆ 3次元空間上での角運動量 ☆

◎ 3次元　空間上　角運動量　トルク　慣性モーメント　慣性テンソル ★_〔物理定数〕

◇ 位置ベクトルとの外積.円柱座標(r.,a,z) ◇

◆ 位置ベクトル <r>=<r.u>*r.+<z>*z　<A>=<r.u>*Ar.+<au>*Aa+<z>*Az

■ <r>#<A>=-<r.u>*z*Aa+<au>*(z*Ar.-r.*Az)+<z>*r.*Aa

■ z=0　&　Az=0　のとき　<r>#<A>=<z>*r.*Aa

■ <A>=<au>*Aa　のとき　<r>#<A>=(-<r.u>*z+<z>*r.)*Aa

◇ 角運動量 ◇

◆ 1質点　位置 <r>　速度 <v>=<r>'　運動量 <p>=m*<v>

質点にかかる力 <F>　トルク <N>=<r>#<F>

■【 角運動量 】

　原点に対する角運動量 <L>=<r>#<p>

※ 角運動量は、回転運動に限らない量であって、どんな運動でも定義できる。
※ 軸に対する量ではなく、点に対する量である。

■【 角運動量の方程式 】

　<L>'=<r>'#<p>+<r>#<p>'=(1/m)*<p>#<p>+<r>#<p>'=<r>#<p>'

運動方程式　<p>'=<F>　を使えば、

　<L>'=<r>#<p>'=<r>#<F>=<N> ★_

◇ 1質点の運動 ◇

◆ 1質点　位置 <r>　速度 <v>=<r>'

運動量 <p>=m*<v>　角運動量 <L>=<r>#<p>

質点にかかる力 <F>　トルク <N>=<r>#<F>

■ 運動方程式　<p>'=<F>　　角運動量の方程式　<L>'=<N>

◇ 1質点の運動 ◇

◆ 1質点　質量 m　位置 <r>=<1 0 1>*r　速度 <v>=<y>*v

運動量 <p>=<y>*m*v　p=m*v

■【 角運動量 】

　<L>=<r>#<p>=(<1 0 1>*r)#(<y>*m*v)=<1 0 1>#<y>*r*p

ここで　<1 0 1>#<y>=(<x>+<z>)#<y>=<z>-<x>=<-1 0 1>　だから、

　<L>=<1 0 1>#<y>*r*p=<-1 0 1>*r*p ★_x成分もある事に注意するべきである{!}

◇ 1質点の等速円運動の角運動量 ◇

◎ 運動平面内にない点に対する角運動量を考える

◆ 1質点　質量 m　z軸を回転軸として等速円運動　xy平面からの距離 h=一定　回転半径 r=一定　角速度ベクトル <w>=<z>*w=一定

円柱座標単位ベクトル 動径方向<r.u> 接線方向<au> z軸方向<z>

速度 <v>　運動量 <p>　力 <F>

原点に対する角運動量 <L>　原点に対するトルク <N>

位置 <r>=<r.u>*r+<z>*h　<r.u>'=<au>*w　<au>'=-<r.u>*w
　<x>'=<y>'=<z>'=0

■【 速度、運動量、加速度 】

　<v>=<r>'=(<r.u>*r+<z>*h)'=<au>*r*w

<w>#<r>=(<z>*w)#(<r.u>*r+<z>*h)=<au>*r*w　であるから、

　<v>=<w>#<r>　とも表せる

　<p>=m*<v>=<au>*m*r*w

　<p>'=<au>'*m*r*w=-<r.u>*m*r*w^2

■【 力、トルク 】

　<F>=<p>'=-<r.u>*m*r*w^2 ★_向心力(z軸に垂直、xy平面に平行)

　<N>=<r>#<F>
=-(<r.u>*r+<z>*h)#(<r.u>*m*r*w^2)
=-<au>*m*r*w^2*h ★_トルクのz成分は 0 であるが、接線成分はある{!}トルクは軸に対する量ではなく、点(原点)に対する量であるからである。

■【 角運動量 】

　<L>=<r>#<p>
=(<r.u>*r+<z>*h)#(<au>*m*r*w)
=<z>*m*r^2*w-<r.u>*m*r*w*h

》<L>=m*(-<r.u>*r*h+<z>*r^2)*w ★_動径成分がある{!}

※ z軸の周りを回転しているのだが、角運動量はz成分のみではなく、動径成分がある。角運動量をz軸に対する量であると誤解してはいけない{!}

■【 角運動量の時間微分 】

<z>'=0　<r.u>'=<au>*w　だから、

　<L>'=-<r.u>'*m*r*w*h=-<au>*m*r*w^2*h

<N>=-<au>*m*r*w^2*h　だったから、

　<L>'=<N>　が成り立っている{!}

■【 h=0　のとき 】等速円運動の中心に対する角運動量とトルクを考える

　<F>=-<r.u>*m*r*w^2　<N>=0

　<v>=<w>#<r>=<au>*r*w

　<p>=<au>*m*r*w　<p>'=-<r.u>*m*r*w^2

　<L>=<z>*m*r^2*w　<L>'=0

◇ 1質点の等速円運動の角運動量 ◇

◎ 運動平面内にない点に対する角運動量を考える

◆ 1質点　質量 m　z軸を回転軸として等速円運動　xy平面からの距離 h=一定　回転半径 r=一定　角速度ベクトル <w>=<z>*w=一定

円柱座標単位ベクトル 動径方向<r.u> 接線方向<au> z軸方向<z>

■ 原点に対する角運動量 <L>=m*(-<r.u>*r*h+<z>*r^2)*w

　原点に対する角運動量の時間微分 <L>'=-<au>*m*r*w^2*h

　力 <F>=-<r.u>*m*r*w^2　原点に対するトルク <N>=-<au>*m*r*w^2*h

◇ 慣性テンソル ◇

◆ 1質点　質量 m　z軸を回転軸として等速円運動　xy平面からの距離 z=一定　回転半径 r=一定　角速度ベクトル <w>=<z>*w=一定

質点の位置 (x,y,z)

■【 角運動量.デカルト座標(x,y,z) 】

　<L>=m*(-<r.u>*r*z+<z>*r^2)*w

ここで　<r.u>*r=<x>*x+<y>*y　&　r^2=x^2+y^2　だから、

　<L>=m*<-x*z　-y*z　x^2+y^2>*w ★_

■【慣性テンソル 】

慣性テンソル [I]=[I11 I12 I13|I21 I22 I23|I31 I32 I33] を使って、

　<L>=[I]*<w>　となるようにしたい。

　[I]*<w>=[I]*(<z>*w)=<I13 I23 I33>*w　だから、

　I13=-m*x*z　I23=-m*y*z　I33=m*(x^2+y^2)　とすればよい。対称性も考えて、

　[I]=m*[0 0 -x*z|0 0 -y*z|-x*z -y*z x^2+y^2]

■【 慣性テンソル 】

任意の方向の角速度ベクトル <w> に対して、

　慣性テンソル [I]
=m*[y^2+z^2 -x*y -x*z|-x*y x^2+z^2 -y*z|-x*z -y*z x^2+y^2] ★_

とすれば、

　<L>=[I]*<w>

テンソル表示すると　Li=Iij*wj ★_

{やっとまとまった!何年もかかった!2016/1}

◇ 1質点の慣性テンソル ◇

■ 慣性テンソル [I]
=m*[y^2+z^2 -x*y -x*z|-x*y x^2+z^2 -y*z|-x*z -y*z x^2+y^2]

　<L>=[I]*<w>　or　Li=Iij*wj

◇ 2質点の等速円運動 ◇

◎ 2質点の等速円運動　慣性モーメント

◆ 2質点　質量 m　z軸を回転軸として等速円運動　回転半径 r=一定　角速度 w=一定

質点�@ xy平面からの距離 h=一定　質点�A xy平面からの距離 -h　2質点は原点に対して常に対称の位置にある(質量の中心:原点)

位置　質点�@ <r1>=<r.u1>*r+<z>*h　質点�A <r2>=-<r1>=-<r.u1>*r-<z>*h

■【 質点�@ 】

　<p1>=<au1>*m*r*w　<p1>'=-<r.u1>*m*r*w^2

　<F1>=-<r.u1>*m*r*w^2

　<N1>=-<au1>*m*r*w^2*h

　<L1>=m*(-<r.u1>*r*h+<z>*r^2)*w

　<L1>'=-<au1>*m*r*w^2*h

　[I1]=m*[0　0　-r*h|0 0 0|-r*h　0　r^2]

■【 質点�A 】

　<p2>=-<au1>*m*r*w　<p2>'=<r.u1>*m*r*w^2

　<F2>=<r.u1>*m*r*w^2

　<N2>=<r2>#<F2>
=(-<r.u1>*r-<z>*h)#(<r.u1>*m*r*w^2)
=-<au1>*m*r*w^2*h

　<L2>=<r2>#<p2>
=(-<r.u1>*r-<z>*h)#(-<au1>*m*r*w)
=<z>*m*r^2*w-<r.u1>*m*r*w*h
=m*(-<r.u1>*r*h+<z>*r^2)*w

　<L2>'=-<au1>*m*r*w^2*h

　[I2]=m*[0　0　-r*h|0 0 0|-r*h　0　r^2]

■【 運動量の和 】

　<p>=<p1>+<p2>=<au1>*m*r*w-<au1>*m*r*w=0

　<p>'=0

　<F>=<F1>+<F2>=-<r.u1>*m*r*w^2+<r.u1>*m*r*w^2=0

　<p>'=<F>　が成り立っている

■【 角運動量の和 】

　<L>=<L1>+<L2>=2*m*(-<r.u1>*r*h+<z>*r^2)*w

　<L>'=<L1>'+<L2>'=-<au1>*2*m*r*w^2*h

　<N>=<N1>+<N2>=-<au1>*2*m*r*w^2*h

　<L>'=<N>　が成り立っている

■【 慣性テンソル 】

　[I]=[I1]+[I2]=2*m*[0　0　-r*h|0 0 0|-r*h　0　r^2]

　[0　0　-r*h|0 0 0|-r*h　0　r^2]*<0 0 w>=<-r*h　0　r^2>*w

　[I]*<w>=2*m*<-r*h　0　r^2>*w

　<L>=[I]*<w>　が成り立っている

◇ 2質点の等速円運動 ◇

◆ 2質点　質量 m　z軸を回転軸として等速円運動　回転半径 r=一定　角速度 w=一定

質点�@ xy平面からの距離 h=一定　質点�A xy平面からの距離 -h　2質点は原点に対して常に対称の位置にある(質量の中心:原点)

位置　質点�@ <r1>=<r.u1>*r+<z>*h　質点�A <r2>=-<r1>=-<r.u1>*r-<z>*h

■ <p>=0　<p>'=0　<F>=0

■ <L>=2*m*(-<r.u1>*r*h+<z>*r^2)*w　動径成分がある

　<L>'=-<au1>*2*m*r*w^2*h

　<N>=-<au1>*2*m*r*w^2*h

　[I]=2*m*[0　0　-r*h|0 0 0|-r*h　0　r^2]

　[I]*<w>=2*m*<-r*h　0　r^2>*w=<L>

◇ 回転運動エネルギー ◇

● (<A>#<B>)^2=A^2*B^2-(<A>*<B>)^2

◆ 1質点　質点 m　位置 <r>=<x y z>　角速度ベクトル <w>=<wx wy wz>　回転運動エネルギー Kr

■ <v>^2=(<w>#<r>)^2=w^2*r^2-(<w>*<r>)^2

　Kr=(1/2)*m*[w^2*r^2-(<w>*<r>)^2] ★_

◇ 角運動量が保存される運動 ◇

◆ 位置 <r>=<x y z>　力 <F>　トルク <N>　角運動量 <L>　◇ それぞれの成分には x などをつける

■【 中心力の場合の角運動量 】

中心力(力の方向が原点を通る)場合　<N>=0　<L>'=0

■【 角運動量の成分 】

<L>'=<N>　z成分を抜き出せば、

　Nz=(z軸からの距離)*(力の方位角成分)=0　のとき　Lz は保存される

■【 等速直線運動の角運動量 】

　角運動量のz成分
=(z軸からの距離)*(運動量の方位角成分)
=(軌道のz軸からの距離)*(運動量の大きさ)
等速直線運動のとき、軌道のz軸からの距離=一定　&　運動量の大きさ=一定

　角運動量のz成分=一定

x成分もy成分も同様の事が言えるから、等速直線運動の角運動量は保存される

<F>=0　⇒　等速直線運動　⇒　角運動量は保存される