☆お勉強しようUz☆ 物理.力学

2016/9-2015/7 Yuji.W

3質点の運動

◎ 3質点 運動量 角運動量 トルク(力のモーメント) 質量の中心 質量の中心系

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z 物理定数.

◇表記.3質点の運動◇

『表記.3質点の運動』 2016/9

■ 質量 m1,m2,m3 全質量 M=m1+m2+m3 位置 <r1>,<r2>,<r3>

運動量 <p1>,… 角運動量 <L1>,… 運動エネルギー K1,…

全運動量 <P> 全角運動量 <L> 全運動エネルギー K

■ 質点Aから質点@への内力 <f21>,…

それぞれの質点に働く外力 <F1>,… 外力によるトルク <N1>,…

全外力 <F> 外力による全トルク <N>

◇全運動量、全角運動量◇

■【 全運動量 】

 <P>'=<F>+<内力の和>=<F(外力)> .

■【 全角運動量 】

 <L>'=<N(外力)> .

◇質量の中心◇

◎ 3質点

■【 質量の中心 】

質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)/M

■【 一様な重力場 】

一様な重力場の加速度 <g> 3質点に働く合力のつり合いの位置 <B>

点 <B> に対するトルクの和が 0 になればよいから、

 m1*<g>#(<r1>-<B>)+m2*<g>#(<r2>-<B>)+m3*<g>#(<r3>-<B>)=0

 <B>=<g>#(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)/M

 <B>=<g>#M*<G>/M=<g>#<G>

 

 

 

 <F1>=m1*<g> <F2>=

 

 

 

 

 

 <G>=(<r1>-<r2>)*m1/M+<r2>

この式より、次の事がわかる

@ 質量の中心は、2質点の間にある

A 質量の中心は、2質点を結ぶ線分を m2:m1 に内分した点である

■【 質量の中心に対する諸量の定義 】

質量の中心の運動量 <Pcm>=M*<G>'

質量の中心の角運動量 <Lcm>=<G>#<Pcm>=M*<G>#<G>'

質量の中心に対するトルク <Ncm>=<G>#<F>

{この項が大事!}

■【 <Pcm> と <P> 】

 <Pcm>=(m1*<r1>+m2*<r2>)'=m1*<r1>'+m2*<r2>'=<p1>+<p2>=<P>

≫ <Pcm>=<P> .質量の中心の運動量=全運動量

■【 質量の中心の運動方程式 】

 <Pcm>'=<P>'=<F> .外力の和

≫ <Pcm>'=<F> .外力の和

■【 質量の中心の角運動量の時間微分 】

 <Lcm>'
=(<G>#<Pcm>)'
=(<G>#<P>)'
=<G>'#<P>+<G>#<P>'
=(<P>/M)#<P>+<G>#<F>
=<G>#<F>
=<Ncm>

≫ <Lcm>'=<Ncm> .

『2質点の質量の中心』 2016/9

■ {定義} 質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M

■ 質量の中心の運動量 <Pcm>=M*<G>'

質量の中心の角運動量 <Lcm>=<G>#<Pcm>=M*<G>#<G>'

質量の中心に対するトルク <Ncm>=<G>#<F>

{この項が大事!}

■ <Pcm>=<P> 質量の中心の運動量=全運動量

 <Pcm>'=<F> 質量の中心の運動量の時間微分=全外力

 <Lcm>'=<Ncm> 質量の中心の角運動量の時間微分=質量の中心への全外力のトルク

{改めて整理すると、わかってなかったなあと思う!2016/9}☆

◇質量の中心系◇

質量の中心系 質量の中心を原点とし、慣性系に対して回転していない系

 <r1>-<G>≡<r1G> <r2>-<G>≡<r2G>

※ 元の系が慣性系であっても、質量の中心系は慣性系になるとは限らない。

 質量の中心の質量の中心系での位置 <G_G>=<G>-<G>=0

ここで <G_G>=(m1*<r1G>+m2*<r2G>)/M とも書けるから、

 m1*<r1G>+m2*<r2G>=0 .{盲点!よく使う!2016/1}

■【 質量の中心系での全運動量 】

質量の中心の運動量 <Pcm>=M*<G>'

個々の質点の質量の中心系での運動量 <p1G>=m1*<r1G>'

 <p2G>=m2*<r2G>'

質量の中心系での全運動量 <PG>=<p1G>+<p2G>

 <p1>
=m1*<r1>'
=m1*(<r1G>+<G>)'
=m1*<r1G>'+m1*<G>'
=<p1G>+m1*<G>'

≫ <p1>=<p1G>+m1*<G>' .

 <P>
=<p1>+<p2>
=(<p1G>+m1*<G>')+(<p2G>+m2*<G>')
=(<p1G>+<p2G>)+M*<G>'
=<PG>+<Pcm>

ところが <P>=<Pcm> であったから、

 <PG>=0 . 質量の中心系での全運動量=0 質量の中心系を使う最大の利点

■【 質量の中心系の全角運動量 】

質量の中心の角運動量 <Lcm>=<G>#<Pcm>=<G>#<P>

個々の質点の質量の中心系での角運動量 <L1G>=<r1G>#<p1G>

 <L2G>=<r2G>#<p2G>

質量の中心系での全角運動量 <LG>=<L1G>+<L2G>

質点@の任意の系での角運動量 <L1> を <L1G> で表すと、

 <L1>
=<r1>#<p1>
=(<r1G>+<G>)#(<p1G>+m1*<G>')
=<r1G>#<p1G>+m1*<r1G>#<G>'+<G>#<p1G>+m1*<G>#<G>'
=<L1G>+m1*<r1G>#<G>'+<G>#<p1G>+m1*<G>#<G>'

 <L>
=<L1>+<L2>
=(<L1G>+<L2G>)
+(m1*<r1G>+m2*<r2G>)#<G>'
+<G>#(<p1G>+<p2G>)
+M*<G>#<G>'
=<LG>+<G>#<PG>+<G>#<Pcm>
=<LG>+<G>#<Pcm>
=<LG>+<Lcm>
=<Lcm>+<LG>

≫ <L>=<Lcm>+<LG> .

 全角運動量=質量の中心の角運動量+質量の中心系での全角運動量

{なるほどね!2016/9}

■【 質量の中心系の全運動エネルギー 】

 K1=(1/2)*m1*(<r1>')^2 K2=(1/2)*m2*(<r2>')^2 K=K1+K2

 K1G=(1/2)*m1*(<r1G>')^2 K2=(1/2)*m2*(<r2G>')^2 KG=K1G+K2G

 (<r1>')^2=(<r1G>'+<G>')^2=(<r1G>')^2+2*<r1G>'*<G>'+(<G>')^2

 2*K
=m1*(<r1>')^2+m2*(<r2>')^2
=[m1*(<r1G>')^2+m2*(<r2G>')^2]

+2*(m1*<r1G>+m2*<r2G>)'*<G>'+M*(<G>')^2
=2*KG+M*(<G>')^2

≫ K=(1/2)*M*(<G>')^2+KG .

 全運動エネルギー
=質量の中心の運動エネルギー+質量の中心系での全運動エネルギー

質量の中心系の全運動エネルギーが最小 .

◇質量の中心系での運動◇

◎ {明記してある資料は見あたらない!2015/7}

■【 質量の中心系での運動方程式 】

元の慣性系で運動方程式 <p1>'=<F1>+<f21> & <p2>'=<F2>+<f12>

質量の中心系は必ずしも慣性系ではないから、簡単な運動方程式は成り立たない。

 <p1G>=<p1>-m1*<G>'

 <p1G>'
=<p1>'-m1*<G>''
=<p1>'-m1*(<p1>'+<p2>')/M
=<p1>'*(1-m1/M)-<p2>'*m1/M
=<p1>'*m2/M-<p2>'*m1/M
=(<F1>+<f21>)*m2/M-(<F2>+<f12>)*m1/M
=(<F1>*m2-<F2>*m1)/M+<f21>*(m2+m1)/M
=(<F1>*m2-<F2>*m1)/M+<f21>*(m2+m1)/M

≫ <p1G>'=(<F1>*m2-<F2>*m1)/M+<f21> .

▲ 孤立系(外力なし)で <p1G>'=<f21> .2体問題の運動方程式

▲ 一様な重力場 <F1>=m1*<g> & <F2>=m2*<g> で、

 <p1G>'=(<g>*m1*m2-<g>*m1*m2)/M+<f21>=<f21> .

◇相対座標◇

■【 相対座標 】

相対座標 <r12>=<r1>-<r2>

 <r12>''
=<r1>''-<r2>''
=(<F1>+<f21>)/m1-(<F2>+<f12>)/m2
=(<F1>/m1-<F2>/m2)+(<f21>/m1-<f12>/m2)
=(<F1>/m1-<F2>/m2)+<f21>*(1/m1+1/m2)

ここで 換算質量 m.=m1*m2/(m1+m2) & 1/m.=1/m1+1/m2 を使うと

 <r12>''=(<F1>/m1-<F2>/m2)+<f21>/m.

 m.*<r12>''=<F1>*m2/M-<F2>*m1/M+<f21> .

▲ 孤立系(外力なし)で m.*<r12>''=<f21> . 

{よく使うのに、明記してない資料が多い!2015/7}

■【 <r1G> と <r12> 】

 M*<r1G>
=M*(<r1>-<G>)
=M*<r1>-M*<G>
=(m1+m2)*<r1>-(m1*<r1>+m2*<r2>)
=m2*(<r1>-<r2>)
=m2*<r12>

≫ <r1G>=<r12>*m2/M <r2G>=<r21>*m1/M=-<r12>*m1/M .

◇孤立系(外力なし)◇

『2質点、孤立系(外力なし)』 2016/3

◆ 2質点[質量 m1,m2] 孤立系(外力なし) 換算質量 m.=m1*m2/(m1+m2)

質点Aから質点@への内力 f21

座標 <r1>,<r2> 質量の中心系で <r1G>,<r2G>

相対座標 <r12>=<r1>-<r2>

■ 質量の中心系で m1*<r1G>''=<f21> @

相対座標を使って m.*<r12>''=<f21> A

※ m1*<r1G>=m.*<r12> なので @とAは同じ意味

◇慣性モーメント◇

◎ 同質量2質点の慣性モーメント

◆ 同質量2質点 1質点の質量 m 2質点の距離 l

■ 慣性モーメント Ic=m*(l/2)^2+m*(l/2)^2=m*l^2/2

端で I=Ic+(2*m)*(l/2)^2=m*l^2/2+m*l^2/2=m*l^2 .

回転エネルギー Kr 回転角 a 回転角速度 a'

質量の中心で Kr
=2*(1/2)*m*(a'*l/2)^2
=(1/4)*m*l^2*a'^2
=(1/2)*Ic*a'^2
.

端で Kr
=(1/2)*m*(a'*l)^2
=(1/2)*m*l^2*a'^2
=(1/2)*I*a'^2
.

◇角運動量と角速度の方向が異なる場合◇

◎ <L>‖<w> にならない場合

◆ 2質点 同質量 m 角速度 w 回転軸:z軸 <w>=<zu>*w

t=0 で <r1>=<xu>+<zu> , <r2>=-<r1>=-(<xu>+<zu>)

t=0 の時の角運動量 

 <r1>'=<yu>*w <r2>'=-<yu>*w

 <r1>#<r1>'=(<xu>+<zu>)#(<yu>*w)=(<zu>-<xu>)*w

 <r2>#<r2>'=-(<xu>+<zu>)#(-<yu>*w)=(<zu>-<xu>)*w

 <L>=m*<r1>#<r1>'+m*<r2>#<r2>'=(<zu>-<xu>)*2*m*w

≫ <w>=<zu>*w <L>=(<zu>-<xu>)*2*m*w .角速度ベクトルと角運動量ベクトルとの方向が異なる 回転させると、角運動量が一定の方向になろうとするから、軸受けはガタガタする事になる

◇まとめ-2質点の運動◇

『2質点の運動』 2016/9

■ <P>'=<F(外力)> <L>'=<N(外力)>

■ 質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M

 <P>=<Pcm> 全運動量=質量の中心の運動量

■ <PG>=0 質量の中心系での全運動量

 <L>=<Lcm>+<LG>

 全角運動量=質量の中心の角運動量+質量の中心系での全角運動量

 K=Kcm+KG

 全運動エネルギー
=質量の中心の運動エネルギー+質量の中心系での全運動エネルギー

■ <p1G>'=<f21>+<F1>*m2/M-<F2>*m1/M

■ m.*<r12>''=<F1>*m2/M-<F2>*m1/M+<f21>

 <r1G>=<r12>*m2/M

{やっとまとまった感じがする!2015/7/6 今日は、女子ワールドカップ決勝戦}{負けちゃいました!残念!2015/7}

  2質点の運動  

◇2質点の運動方程式◇

◆ 2質点の運動 質量 m1,m2,m3  m1+m2+m3=M 質量は変化しない場合

任意の慣性系での位置 <r1>,<r2>,<r3> 運動量 <p1>,<p2>,<p3>

それぞれの質点に働く全外力 <F1>,<F2>,<F3>

質点2から1への内力 <f21> 同様に <f32>,<f13>,<f12>,<f23>,<f31>

作用反作用の法則 <f21>+<f12>=0 …

それぞれの質点にかかる力の作用点は、その質点の位置と同じ

■ 運動方程式

 <p1>'=<F1>+<f21>+<f31>

 <p2>'=<F2>+<f32>+<f12>

 <p3>'=<F3>+<f13>+<f23>

◇3質点の運動方程式◇

◆ 3質点(質量 m1,m2)

ある慣性系で 運動量 <p1>,<p2> 全運動量 <p>=<p1>+<p2>

質点が受ける力 外力 <F1>,<F2> 全外力 <F(外力のみ)>=<F1>+<F2>

質点@からAへの内力 <f12> 質点Aから@への内力 <f21> <f12>+<f21>=0

■ 慣性系だから、運動方程式が成り立つ。

質点@Aの運動方程式 <p1>'=<F1>+<f21> <p2>'=<F2>+<f32>

 <p>'
=(<p1>+<p2>)'
=<p1>'+<p2>'
=(<F1>+<f21>)+(<F2>+<f32>)
=(<F1>+<F2>)+(<f21>+<f12>)
=(<F1>+<F2>)+0
=<F(外力のみ)>

 <p>'=<F(外力のみ)> _

※ ベクトルだから、成分ごとに式が成り立つ。例えば、Fy≠0 , Fz≠0 でも、Fx=0 のとき px'=0

◇質量の中心◇

◆ 2質点(質量 m1,m2)

ある慣性系で 位置 <r1>,<r2> 速度 <v1>,<v2> 運動量 <p1>,<p2>

全運動量 <p>=<p1>+<p2>

別の系(一般に慣性系でなくてよい)で その原点の速度 <G>'

その別の系で 質点の速度 <v1G>,<v2G> 運動量 <p1G>,<p2G> その和 <pG>

※ G で表現したが、未だ、質量の中心とか重心とかとは関係ない

■ <p>=m1*<v1>+m2*<v2> <pG>=m1*<v1G>+m2*<v2G>

 <v1>=<v1G>+<G>' <v1>=<v1G>+<G>' だから、

 全運動量 <p>
=m1*(<v1G>+<G>')+m2*(<v1G>+<G>')
=(m1*<v1G>+m2*<v1G>)+(m1+m2)*<G>'
=<pG>+(m1+m2)*<G>'

ここで、次のように定める。

 質量の中心の速度 <G>'=<p>/(m1+m2)=(m1*<v1>+m2*<v2>)/(m1+m2) _

 質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/(m1+m2) _

すると (m1+m2)*<G>'=<p> となるから 常に <pG>=0 _

また、「質量の中心を原点とし、慣性系に対して回転していない系」を、質量の中心系 と言う事にする。

■ 質量の中心の速度の定義より (m1+m2)*<G>'=<p> _質量の中心に全質量が集まって運動していると見なせる

■ <p> を考えた系は慣性系としたから、運動方程式が成り立つ <p>'=<F(外力のみ)>

 <G>'=<p>/(m1+m2)

 (m1+m2)*<G>''=<p>'=<F(外力のみ)> _質量の中心の運動は、外力のみを考えればよい

■ <F(外力のみ)>=0 のとき <G>''=0 _質量の中心は等速直線運動

★ m1=m m2=2*m

 <G>
=(m*<r1>+2*m*<r2>)/(3*m)
=(1/3)*<r1>+(2/3)*<r2>
=<r1>+(2/3)*(<r2>-<r1>)

◇2質点の質量の中心、相対座標◇

{よく使うのに、明記してない!2015/7}

◆ 2質点 質量 m1,m2 m1+m2=M 任意の慣性系での位置 <r1>,<r2>

質量の中心の位置 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M

質量の中心系での位置 <r1G>,<r2G> <r1G>=<r1>-<G> <r2G>=<r2>-<G>

相対座標 <r>=<r1>-<r2>=<r1G>-<r2G>

◇ ベクトルの大きさを <>を取り去ったもので表す |<r>|=r など

<r1G> を <r> で表す 

 M*<r1G>
=M*(<r1>-<G>)
=M*<r1>-(m1*<r1>+m2*<r2>)
=(M-m1)*<r1>-m2*<r2>
=m2*<r1>-m2*<r2>
=m2*(<r1>-<r2>)
=m2*<r>  <r1G>=<r>*m2/M  r1G=r*m2/M

<r2G> を <r> で表す 

 M*<r2G>
=M*(<r2>-<G>)
=M*<r2>-(m1*<r1>+m2*<r2>)
=(M-m2)*<r2>-m1*<r1>
=m1*<r2>-m1*<r1>
=m1*(<r2>-<r1>)
=-m1*<r>  <r2G>=-<r>*m1/M  r2G=r*m1/M

{確かめ} <r1G>-<r2G>=<r>*m2/M+<r>*m1/M=<r>*(m1+m2)/M=<r>

≫ <r1G>=<r>*m2/M <r2G>=-<r>*m1/M

r を r1G,r2G で表す 

 r1G=r*m2/M r2G=r*m1/M

 r1G+r2G=r*m2/M+r*m1/M=r*(m1+m2)/M=r

≫ r=r1G+r2G

「2質点の質量の中心、相対座標」 2015/7

◆ 2質点 質量 m1,m2 m1+m2=M 任意の慣性系での位置 <r1>,<r2>

質量の中心の位置 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M

質量の中心系での位置 <r1G>,<r2G> <r1G>=<r1>-<G> <r2G>=<r2>-<G>

相対座標 <r>=<r1>-<r2>=<r1G>-<r2G>

■ <r1G>=<r>*m2/M <r2G>=-<r>*m1/M

 r1G=r*m2/M r2G=r*m1/M r=r1G+r2G

{わかってなかったなあ!ランダウの教科書に出てきていたなあ!2015/7}

◇質量の中心系の運動エネルギー◇

◎ 2質点の場合の全運動エネルギー

◆ 全運動エネルギー ある慣性系で K 質量の中心系で KG

■ 2*K=m1*v1^2+m2*v2^2 2*KG=m1*v1G^2+m2*v2G^2

ベクトルの内積は、スカラー量である事に注意して、

 v1^2
=<v1>*<v1>
=(<v1G>+<G>')*(<v1G>+<G>')
=<v1G>*<v1G>+2*<G>'*<v1G>+<G>'*<G>'
=v1G^2+2*<G>'*<v1G>+G'^2

同様に v2^2=v2G^2+2*<G>'*<v2G>+G'^2 だから、

 2*K
=m1*v1^2+m2*v2^2
=m1*(v1G^2+2*<G>'*<v1G>+G'^2)+m2*(v2G^2+2*<G>'*<v2G>+G'^2)
=(m1*v1G^2+m2*v2G^2)+2*(m1*<v1G>+m2*<v2G>)*<G>'
+(m1+m2)*G'^2
=2*KG+2*<pG>*<G>'+(m1+m2)*G'^2

ここで <pG>=0 であったから、

 K=KG+(1/2)*(m1+m2)*G'^2 _

 K 任意の系での全運動エネルギー
 KG 質量の中心系での全運動エネルギー
 (1/2)*(m1+m2)*G'^2 質量の中心に質量が集中して動いていると見なした場合の、運動エネルギー

▲ K≧KG 質量の中心系での全運動エネルギーが最小 _

◇質量の中心に対する運動◇

◎ 個々の質点の、質量の中心に対する運動 外力あり {この問題に触れている資料は少ない!}

※ 元々の系は慣性系であるが、質量の中心系は、一般に、慣性系ではない{!}

◆ 2質点の運動 外力あり 内力あり

※ 力の成分ごとの値は、系によって異なってよい。ただ、力としての、方向、大きさは、どの系で観測しても同じである。それらの値は、座標軸をどう定めるかに依らない量であるからである。したがって、力は、「ある系での力」、「質量の中心系での力」などと区別する必要はない。成分の値を問題にする時に、区別すればよい。

■ 元々の慣性系で <p1>'=<F1>+<f21> <p2>'=<F2>+<f32>

質量の中心系で <p1G>=<p1>-m1*<G>' <p2G>=<p2>-m2*<G>'

質量の中心 (m1+m2)*<G>''=<F(外力のみ)>

 <p1G>'
=<p1>'-m1*<G>''
=(<F1>+<f21>)-m1*<F(外力のみ)>/(m1+m2)
=[(m1+m2)*(<F1>+<f21>)-m1*(<F1>+<F2>)]/(m1+m2)

 分子=m2*<F1>-m1*<F2>+(m1+m2)*<f21>

 <p1G>'=<F1>*m2/(m1+m2)-<F2>*m1/(m1+m2)+<f21> _

同様にして <p2G>'=<F2>*m1/(m1+m2)-<F1>*m2/(m1+m2)+<f12> _

{確かめ} <pG>'
=<p1G>'+<p2G>'
=<F1>*m2/(m1+m2)-<F1>*m2/(m1+m2)
+<F2>*m1/(m1+m2)-<F2>*m1/(m1+m2)
+<f21>+<f12>
=<f21>+<f12>
=0

一様な重力場 重力場の方向 <zu>

 <F1>=<zu>*m1*g <F2>=<zu>*m2*g

 <p1G>'
=<zu>*m1*g*m2/(m1+m2)-<zu>*m2*g*m1/(m1+m2)+<f21>
=<f21>

同様に <p2G>'=<f12>

≫ <p1G>'=<f21> <p2G>'=<f12> 

▲ 一様な重力場では、外力による質量の中心の運動、内力による個々の質点の質量の中心に対する運動、と完全に分けて考える事ができる。 

☆計算例-運動量保存、運動エネルギー☆

◆ 2質点 質量 m1=2_kg , m2=3_kg

速度 <v1>=<3 2 -1>_m/sec , <v2>=<-2 2 4>_m/sec

衝突し合体する その速度 <\v> 外力なし

質量の中心 <G> 質量の中心系で <v1G> , <v2G>

■ 運動エネルギーは保存されない 運動量は保存される

 (m1+m2)*<\v>
=m1*<v1>+m2*<v2>
=2*<3 2 -1>+3*<-2 2 4>
=<0 10 10>

 m1+m2=2+3=5 だから、

 <\v>=<0 10 10>/5=<0 2 2> _

■ 元々の系で v1^2=14 v2^2=24

質量の中心系で <G>'=<\v>=<0 2 2> G'^2=8
 <v1G>=<v1>-<G>'=<3 2 -1>-<0 2 2>=<3 0 -3> v1G^2=18
 <v2G>=<v2>-<G>'=<-2 2 4>-<0 2 2>=<-2 0 2> v2G^2=8

 KG
=(1/2)*m1*v1G^2+(1/2)*m2*v2G^2
=(1/2)*2*18+(1/2)*3*8
=18+12
=30_J
_

 K
=(1/2)*m1*v1^2+(1/2)*m2*v2^2
=(1/2)*2*14+(1/2)*3*24
=14+36
=50_J
_

 (1/2)*(m1+m2)*G'^2=(1/2)*5*8=20_J _

{確かめ} K=KG+(1/2)*(m1+m2)*G'^2 が成り立っている

☆計算例-平面上で2粒子の衝突☆

◇ 衝突後 \ 質量の中心系 G

◆ 2粒子 平面上で衝突 質量 m1=1_kg m2=2_kg

衝突前の速度 <v1>=<0 6>_m/sec <v2>=<0 0>

衝突後の速度 <\v1>=<2 2>_m/sec <\v2>

※ 完全弾性衝突ではない。完全弾性衝突の場合、方向を定めれば大きさは決まるし、大きさを定めれば方向が決まる。完全弾性衝突の場合、限定された値しかとれない。

■ 衝突前の全運動量 1*<0 6>+2*<0 0>=<0 6>

運動量は保存されるから 1*<2 2>+2*<\v2>=<0 6>

 <\v2>=<-1 2> _

まとめると <v1>=<0 6> <v2>=<0 0> <\v1>=<2 2> <\v2>=<-1 2>

運動の方向の変化の角度

 cos(変化角)
=<\v1>*<v1>/(\v1*v1)
=<0 6>*<2 2>/[6*(2*root2)]
=12/[6*(2*root2)]
=1/root2 ⇒ 変化角=45°

エネルギー

 2*K=m1*v1^2+m2*v2^2=1*36+2*0=36

 2*\K=m1*\v1^2+m2*\v2^2=1*8+2*5=18

 ΔK=\K-K=9-18=-9_J ⇒ ΔK/K=-9/18=-1/2

質量の中心系で考えよう

 <G>'=<0 6>/(m1+m2)=<0 6>/(1+2)=<0 2>_m/sec

 <v1G>=<0 6>-<0 2>=<0 4>_m/sec
 <v2G>=<0 0>-<0 2>=<0 -2>_m/sec 質量の中心系のy軸上を正面衝突

 {確かめ} m1*<v1G>+m2*<v2G>=1*<0 4>+2*<0 -2>=<0>

 <\v1G>=<2 2>-<0 2>=<2 0>_m/sec

 <0>=m1*<\v1G>+m2*<\v2G>=1*<2 0>+2*<\v2G> ⇒ <\v2G>=<-1 0> _

 質量の中心系のx軸上を飛び去る

まとめると <v1G>=<0 4> <v2G>=<0 -2> <\v1G>=<2 0> <\v2G>=<-1 0>

運動エネルギー

 KG=(1/2)*m1*v1G^2+(1/2)*m2*v2G^2=(1/2)*1*16+(1/2)*2*4=8+4=12_J

 \KG=(1/2)*m1*v1G^2+(1/2)*m2*v2G^2=(1/2)*1*4+(1/2)*2*1=2+1=3_J

 ΔKG=\KG-KG=3-12=-9_J ⇒ ΔKG/KG=-9/12=-3/4

◇外力なし、3質点の角運動量◇

◆ 外力なし、3質点の運動 位置 <r1>,<r2>,<r3>

原点に対する角運動量 <L1>,<L2>,<L3>
原点に対する全角運動量 <L>=<L1>+<L2>+<L3>

質点@からAへの内力 <f12> 質点Aから@への内力 <f21>
 <f12>+<f21>=0 同様に他の内力も考える。

トルク <N1>=<r1>#(<f21>+<f31>)
 <N2>=<r2>#(<f32>+<f12>) <N3>=<r3>#(<f13>+<f23>)

■ <L1>'=<N1> <L2>'=<N2> <L3>'=<N3>

 <L>'
=<L1>'+<L2>'+<L3>'
=<N1>+<N2>+<N3>
=<r1>#(<f21>+<f31>)+<r2>#(<f32>+<f12>)+<r3>#(<f13>+<f23>)
=(<r1>-<r2>)#<f21>+(<r2>-<r3>)#<f32>+(<r3>-<r1>#<f13>

ここで <r1>-<r2> 質点Aから質点@に向かうベクトル
 <f21> 質点Aが質点@に及ぼす力

上の2つのベクトルの方向は、一致するとすれば、その外積は 0 <L>'=0

 <L>=一定  外力なし

▲ 質点の数に依らずに成り立つのは明か。

◇外力あり、3質点の角運動量◇

◆ 3質点 それぞれの質点の、原点に対する角運動量 <L1>,<L2>,<L3>

それぞれの質点に働く、原点に対するトルク <N1>,<N2>,<N3>

全角運動量 <L>=<L1>+<L2>+<L3> 全トルク <N>=<N1>+<N2>+<N3>

■ 内力による <L>' への寄与はないから、外力のみ考えて、

 <L>'=<L1>'+<L2>'+<L3>'=<N1>+<N2>+<N3>=<N(外力)>  外力のみ

※ 成分ごとに式が成り立つのは、運動量の場合と同じ。例えば、
 Nx=0 のとき Lx'=0

※ <F>=0 であっても <N>=0 になるとは限らない。 

◇質点系の質量の中心,質量の中心系(G系)◇

質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)/M

■ 質量の中心の運動

 M*<G>'=m1*<r1>'+m2*<r2>'+m3*<r3>'=<p1>+<p2>+<p3>=<p>

 M*<G>''=<p>'=<F>〔〕外力のみ考えればよい

★IF{ <F>=0 } <G>'=一定〔〕質量の中心は等速直線運道をする

質量の中心系(G系) 質量の中心を原点とし、回転していない系

質点@の位置をG系で表したもの <r1G>=<r1>-<G>

 <GG>=(G系で観測した、質量の中心の位置)=0〔

<r2G>,<r3G>も同様

※ 力 <F1>,<F2>,… は、座標系の取り方に依って成分は違ってくるが、ベクトルそのものの大きさや方向が変わることはない。{盲点!}

■ <pG>
=<p1G>+<p2G>+<p3G>
=m1*(<r1>'-<G>')+m2*(<r2>'-<G>')+m3*(<r3>'-<G>')
=(m1*<r1>'+m2*<r2>'+m3*<r3>')-M*<G>'
=M*<G>'-M*<G>'
=0〔

■ <L1G>
=<r1G>#<p1G>
=(<r1>-<G>)#(<p1>-m1*<G>')
=<r1>#<p1>-m1*<r1>#<G>'-<G>#<p1>+m1*<G>#<G>'
=<L1>-m1*<r1>#<G>'-<G>#<p1>+m1*<G>#<G>'

 <LG>
=<L1G>+<L2G>+<L3G>
=<L1>+<L2>+<L3>
-(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)#<G>'
-<G>#(<p1>+<p2>+<p3>)
+(m1+m2+m3)*<G>#<G>'
=<L>-M*<G>#<G>'-<G>#<p>+M*<G>#<G>'
=<L>-<G>#<p>

 <L>=<LG>+<G>#<p>〔

■ <r1G>#(<F1>+<f21>+<f31>)
=(<r1>-<G>)#(<F1>+<f21>+<f31>)
=<r1>#<F1>
+<r1>#(<f21>+<f31>)
-<G>#<F1>
-<G>#(<f21>+<f31>)

 <NG>
=<r1>#<F1>+<r2>#<F2>+<r3>#<F3>
-<G>#(<F1>+<F2>+<F3>) 内力は相殺される
=<N>-<G>#<F>

 <N>=<NG>+<G>#<F>〔

■ <L>'=<LG>'+<G>'#<p>+<G>#<p>'

 左辺=<N>=<NG>+<G>#<F>

 右辺
=<LG>'+<G>'#<p>+<G>#<p>'
=<LG>'+(<p>/M)#<p>+<G>#<F>
=<LG>'+<G>#<F>

 <NG>+<G>#<F>=<LG>'+<G>#<F>

 <LG>'=<NG>〔〕※ 慣性系でなくても、G系では成り立つ

● 任意のベクトル <A> <A>^2=<A>*<A>=A^2

■ KG
=(1/2)*m1*v1G^2+(1/2)*m2*v2G^2+…
=(1/2)*m1*(<v1>-<G>')^2+(1/2)*m2*(<v2>-<G>')^2+…
=(1/2)*(m1*v1^2+m2*v2^2+…)
-(m1*<v1>+m2*<v2>+…)*<G>'
+(1/2)*(m1+m2+…)*G'^2
=K-M*G'^2+(1/2)*M*G'^2
=K-(1/2)*M*G'^2

 K=KG+(1/2)*M*G'^2〔

「質点系-質量の中心系」◇以下、3質点の場合で表す

◆ 総運動量 <p> 全角運動量 <L> 総運動エネルギー K

総外力 <F> 総トルク(外力のみ) <N> 総質量 M

■ 任意の慣性系で <p>'=<F> <L>'=<N>

■ 質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)/M

質量の中心の運動方程式 M*<G>''=<F>

■ 質量の中心系(G系) 質量の中心を原点とし、回転していない系
※ G系は、一般に、慣性系ではない

G系での位置ベクトル <rG>=<r>-<G>
G系で観測した、質量の中心の位置 <GG>=0 そこを原点にした

 <pG>=0 <LG>'=<NG>

▲ 質量の中心系(G系)を使う、最大に理由2つ

■ 元の慣性系と、質量の中心系(G系)の諸量の関係

 <p>=<pG>+M*<G>'=M*<G>'

 <L>=<LG>+M*<G>#<G>'<N>=<NG>+<G>#<F>

 K=KG+(1/2)*M*G'^2

◇系の運動量,角運動量,運動エネルギー◇

◆ 3質点 質量 m1,m2,m3 全質量 M=m1+m2+m3 位置 <r1>,<r2>,<r3>

質点が受ける力 外力 <F1>,<F2>,<F3>

質点@からAへの内力 <f12> 質点Aから@への内力 <f21>
 <f12>+<f21>=0 同様に他の内力も考える。 全外力 <F>=<F1>+<F2>+<F3>

運動量の定義 <p1>=m1*<r1>'

運動方程式 <p1>'=<F1>+<f21>+<f31> <p2>,<p3>も同様

全運動量 <p>=<p1>+<p2>+<p3>

■ <p>'
=<p1>'+<p2>'+<p3>'
=(<F1>+<f21>+<f31>)+(<F2>+<f32>+<f12>)+…
=(<F1>+<F2>+…)+(<f21>+<f12>)+(<f32>+<f23>)+…
=(<F1>+<F2>+…)+0+0+…
=<F>〔
〕外力のみ考えればよい

※ ベクトルだから、成分ごとに式が成り立つ。例えば、
 Fx=0 のとき Fy≠0 , Fz≠0 でも、px'=0

◆ 角運動量の定義 <L1>=<r1>#<p1>

 <L1>'=<r1>#(<F1>+<f21>+<f31>) <L2>,<L3>も同様

全角運動量 <L>=<L1>+<L2>+<L3>

■ <L>'
=<L1>'+<L2>'+<L3>'
=<r1>#(<F1>+<f21>+<f31>)+<r2>#(<F2>+<f32>+<f12>)+…
=<r1>#<F1>+<r2>#<F2>+<r3>#<F3>
+(<r1>-<r2>)#<f21>+(<r2>-<r3>)#<f32>+(<r3>-<r1>)#<f13>

ここで (<r1>-<r2>) 質点2から質点1に向かうベクトル
質点2から質点1への内力 <f21> ∝ (<r1>-<r2>) と考えられるから、

 (<r1>-<r2>)#<f21>=0 以下の項も同じだから、

 <r1>#<F1>+<r2>#<F2>+<r3>#<F3>=<N> として、

 <L>'=<N>〔〕外力のみ考えている

※ 成分ごとに式が成り立つのは、運動量の場合と同じ。例えば、
 Nx=0 のとき Lx'=0

※ <f12> と <r2>-<r1> の方向が同じであるというのは、ニュートンの第3法則(作用・反作用の法則)には、明記されていない。ニュートンが主張していること、多くの物理の資料に載っていることは、次の2つだけである。
 「作用、反作用が、@ 逆向き A 大きさが等しい」
本当は、次の3つめが必要である。
 「B 作用と反作用が一直線上にある」

※ <F>=0 であっても <N>=0 になるとは限らない。〔

◆ 運動エネルギー K1=(1/2)*m1*r1'^2 K2,K3も同様

全運動エネルギー K=K1+K2+K3

「質点系の運動量、角運動量」 2015/3

◆ 3質点 質量 m1,m2,m3 全質量 M=m1+m2+m3 位置 <r1>,<r2>,<r3>

質点が受ける力 外力 <F1>,<F2>,<F3> 全外力 <F>=<F1>+<F2>+<F3>

外力による全トルク <N>=<r1>#<F1>+<r2>#<F2>+<r3>#<F3>

質点@からAへの内力 <f12> 質点Aから@への内力 <f21>
 <f12>+<f21>=0 同様に他の内力も考える。 全外力 <F>=<F1>+<F2>+<F3>

運動量 <p1>,<p2>,<p3> 全運動量 <p>=<p1>+<p2>+<p3>

角運動量 <L1>,<L2>,<L3> 全角運動量 <L>=<L1>+<L2>+<L3>

■ <p>'=<F> <L>'=<N> 内力は相殺される。外力のみ考えればよい。

◇質点系の質量の中心,質量の中心系(G系)◇

質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)/M

 M*<G>'=m1*<r1>'+m2*<r2>'+m3*<r3>'=<p1>+<p2>+<p3>=<p>

質点系の全運動量 <p>=M*<G>' 質量の中心(重心)そのものの運動量〔

さらに <p>'=<F(外力のみ)> であったから、

 M*<G>''=<p>'=<F(外力のみ)>〔

★IF{ <F>=0 } <G>'=一定〔〕質量の中心は等速直線運道をする

質量の中心系(G系) 質量の中心を原点とし、回転していない系

質点@の位置をG系で表したもの <r1G>=<r1>-<G>

 <GG>=(G系で観測した、質量の中心の位置)=0〔

<r2G>,<r3G>も同様

※ 力 <F1>,<F2>,… は、座標系の取り方に依って成分は違ってくるが、ベクトルそのものの大きさや方向が変わることはない。{盲点!}

■ <pG>
=<p1G>+<p2G>+<p3G>
=m1*(<r1>'-<G>')+m2*(<r2>'-<G>')+m3*(<r3>'-<G>')
=(m1*<r1>'+m2*<r2>'+m3*<r3>')-M*<G>'
=M*<G>'-M*<G>'
=0〔

■ <L1G>
=<r1G>#<p1G>
=(<r1>-<G>)#(<p1>-m1*<G>')
=<r1>#<p1>-m1*<r1>#<G>'-<G>#<p1>+m1*<G>#<G>'
=<L1>-m1*<r1>#<G>'-<G>#<p1>+m1*<G>#<G>'

 <LG>
=<L1G>+<L2G>+<L3G>
=<L1>+<L2>+<L3>
-(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)#<G>'
-<G>#(<p1>+<p2>+<p3>)
+(m1+m2+m3)*<G>#<G>'
=<L>-M*<G>#<G>'-<G>#<p>+M*<G>#<G>'
=<L>-<G>#<p>

 <L>=<LG>+<G>#<p>〔

■ <r1G>#(<F1>+<f21>+<f31>)
=(<r1>-<G>)#(<F1>+<f21>+<f31>)
=<r1>#<F1>
+<r1>#(<f21>+<f31>)
-<G>#<F1>
-<G>#(<f21>+<f31>)

 <NG>
=<r1>#<F1>+<r2>#<F2>+<r3>#<F3>
-<G>#(<F1>+<F2>+<F3>) 内力は相殺される
=<N>-<G>#<F>

 <N>=<NG>+<G>#<F>〔

■ <L>'=<LG>'+<G>'#<p>+<G>#<p>'

 左辺=<N>=<NG>+<G>#<F>

 右辺
=<LG>'+<G>'#<p>+<G>#<p>'
=<LG>'+(<p>/M)#<p>+<G>#<F>
=<LG>'+<G>#<F>

 <NG>+<G>#<F>=<LG>'+<G>#<F>

 <LG>'=<NG>〔〕※ 慣性系でなくても、G系では成り立つ

● 任意のベクトル <A> <A>^2=<A>*<A>=A^2

■ KG
=(1/2)*m1*v1G^2+(1/2)*m2*v2G^2+…
=(1/2)*m1*(<v1>-<G>')^2+(1/2)*m2*(<v2>-<G>')^2+…
=(1/2)*(m1*v1^2+m2*v2^2+…)
-(m1*<v1>+m2*<v2>+…)*<G>'
+(1/2)*(m1+m2+…)*G'^2
=K-M*G'^2+(1/2)*M*G'^2
=K-(1/2)*M*G'^2

 K=KG+(1/2)*M*G'^2〔

「質点系-質量の中心系」◇以下、3質点の場合で表す

◆ 全運動量 <p> 全角運動量 <L> 全運動エネルギー K

全外力 <F> 全トルク(外力のみ) <N> 全質量 M

■ 任意の慣性系で <p>'=<F> <L>'=<N>

■ 質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)/M

質量の中心の運動方程式 M*<G>''=<F>

■ 質量の中心系(G系) 質量の中心を原点とし、回転していない系
※ G系は、一般に、慣性系ではない

G系での位置ベクトル <rG>=<r>-<G>
G系で観測した、質量の中心の位置 <GG>=0 そこを原点にした

 <pG>=0 <LG>'=<NG>

▲ 質量の中心系(G系)を使う、最大に理由2つ

■ 元の慣性系と、質量の中心系(G系)の諸量の関係

 <p>=<pG>+M*<G>'=M*<G>'

 <L>=<LG>+M*<G>#<G>'<N>=<NG>+<G>#<F>

 K=KG+(1/2)*M*G'^2

◇質量の中心系での、個々の質点の運動◇

◎ この問題に触れている資料は少ない

◆ 3質点 M=m1+m2+m3

質点が受ける力 外力 <F1>,<F2>,<F3> 全外力 <F>=<F1>+<F2>+<F3>

質点@からAへの内力 <f12> 質点Aから@への内力 <f21>
 <f12>+<f21>=0 同様に他の内力も考える

質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>+m3*<r3>)/M

質量の中心系での個々の質点の運動量 <p1G>,<p2G>,<p3G>

 <p1G>=<p1>-m1*<G>'

■ 質量の中心の運動 <p>'=M*<G>''=<F>〔〕外力のみ

■ 質量の中心系での質点1の運動 <p1G>'
=<p1>'-m1*<G>''
=(<F1>+<f21>+<f31>)-m1*<F>/M
=[<F1>*(m2+m3)/M-(<F2>+<F3>)*m1/M]+(<f21>+<f31>)〔

★IF{ m1=m2=m3=m }

 <p1G>'=[2*<F1>-<F2>-<F3>)]/3+(<f21>+<f31>)〔〕{へー!2014/7}

★IF{ 一様な重力場、他の外力なし } 重力加速度 <g>

 <F1>=m1*<g> <F2>=m2*<g> <F3>=m3*<g>

 <p1G>' に対する外力の項
=<F1>*(m2+m3)/M-(<F2>+<F3>)*m1/M
=<g>*m1*(m2+m3)/M-<g>*m1*(m2+m3)/M
=0

 <p1G>'=<f21>+<f31>〔〕内力のみ考えればよい{!2014/7}

ちなみに M*<G>''=<F>=M*<g> <G>''=<g>

「質量の中心系での個々の質点の運動」

■ M*<G>''=<F> 外力のみ

 <p1G>'=[<F1>*(m2+m3)/M-(<F2>+<F3>)*m1/M]+(<f21>+<f31>)

◇回転する質点系◇

◎ 固定軸の周りに回転する質点系 質点同士の距離、原点までの距離に変化がない場合 剛体に近い質点系

◆ 回転軸:z軸 角速度 <w>=<zu>*w w=一定

<r1>=<x1,y1,z1> <r2>=<x2,y2,z2> <r3>=<x3,y3,z3>

■ <v>=<w>#<r>

 <v>=w*<zu>#<r>=w*<zu>#<x,y,z>=w*<-y,x,0>

 <r>#<v>
=<x,y,z>#w*<-y,x,0>=w*<x*z , -y*z , x^2+y^2>

 <L>
=<r1>#<v1>*m1+<r2>#<v2>*m2+…
=w*m1*<x1*z1 , -y1*z1 , x1^2+y1^2>
+w*m2*<x2*z2 , -y2*z2 , x2^2+y2^2>
+w*m3*<x3*z3 , -y3*z3 , x3^2+y3^2>

 Lx/w=m1*x1*z1+m2*x2*z2+m3*x3*z3

 Ly/w=-m1*y1*z1-m2*y2*z2-m3*y3*z3

 Lz/w=m1*(x1^2+y1^2)+m2*(x2^2+y2^2)+m3*(x3^2+y3^2)

ここで 慣性モーメント I
=m1*(x1^2+y1^2)+m2*(x2^2+y2^2)+m3*(x3^2+y3^2) と定義すれば、

 Lz=I*w

さらに Lx=0 Ly=0 だから <L>=I*<w>〔

☆運動量-2つの慣性系☆

■ 2質点

 <p>
=<p1>+<p2>
=(<p1h>+m1*<G>')+(<p2h>+m2*<G>')
=<ph>+M*<G>'

■ 3質点 4質点以上も同様

 <p>=<ph>+M*<G>'〔

☆角運動量-2つの慣性系☆

■ 1質点

 <L>
=<r>#<p>
=(<rh>+<h>)#(<ph>+m*<G>')
=<Lh>+<rh>#(m*<G>')+<h>#<ph>+<h>#(m*<G>')

■ 2質点

 <L>
=<L1>+<L2>
=[<L1h>+<r1h>#(m1*<G>')+<h>#<p1h>+<h>#(m1*<G>')]
+[<L2h>+<r2h>#(m2*<G>')+<h>#<p2h>+<h>#(m2*<G>')]
=<Lh>+<Gh>#(M*<G>')+<h>#<ph>+<h>#(M*<G>')

■ 3質点 4質点以上も同様

 <L>=<Lh>+<Gh>#(M*<G>')+<h>#<ph>+<h>#(M*<G>')〔

☆運動エネルギー-2つの慣性系☆

■ 1質点

 v^2=<v>^2=(<vh>+<G>')^2=vh^2+2*<vh>*<G>'+v.^2

 K=Kh+<vh>*(m*<G>')+(1/2)*m*v.^2

■ 2質点

 K
=K1+K2
=[K1h+m1*<v1h>*<G>'+(1/2)*m1*v.^2]
+[K2h+m2*<v2h>*<G>'+(1/2)*m2*v.^2]
=Kh+<Gh>'*(M*<G>')+(1/2)*M*v.^2

■ 3質点 4個以上の質点に拡張するのは簡単

 K=Kh+<Gh>'*(M*<G>')+(1/2)*M*v.^2

  3質点の運動  

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