物理 力学 2018/2-2011 Yuji.W
☆ 一様な重力場での2質点の運動 ☆
◎ 2質点 一様な重力場 質量の中心系 重心系 運動量 角運動量 運動エネルギー ★_
◇
ベクトル <A> 内積 * 外積 # 10^x=Ten(x) 微分 ;x 時間微分 ' 積分 $
ネイピア数
e e^x=exp(x) i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x)
〓 2質点 質量の中心系(重心系) 〓
◆ 2質点 質量 m1,m2 m1+m2=M 位置 <r1>,<r2>
運動量 <p1>=m1*<r1>' <p2>=m2*<r2>'
原点に対する角運動量 <L1>=<r1>#<p1> <L2>=<r2>#<p2>
質点への外力 <F1>,<F2>
外力による原点に対するトルク <N1>=<r1>#<F1> <N2>=<r2>#<F2>
質点②から質点①への内力
<f1> 質点①から質点②への内力 <f2>
質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M
質量の中心系(重心系) 質量の中心を原点とし、慣性系に対して回転していない系。一般に質量の中心は加速度運動をしているから、慣性系ではない。
質量の中心系の座標 <r1G>=<r1>-<G> <r2G>=<r2>-<G>
運動エネルギー 元の慣性系で K1,K2 質量の中心系で K1G,K2G
|<G>'|=VG
■ m1*<r1G>+m2*<r2G>=0 r1G/r2G=m2/m1
■ M*<G>'=<p1>+<p2> M*<G>''=<F1>+<F2>
M*(<G>#<G>')'=<G>#(<F1>+<F2>)
■ <p1G>+<p2G>=0
■ <N1>+<N2>=<N1G>+<N2G>+<G>#(<F1>+<F2>)
<L1>+<L2>=<L1G>+<L2G>+M*<G>#<G>'
(<L1G>+<L2G>)'=<N1G>+<N2G>
■ K1+K2=(K1G+K2G)+(1/2)*M*VG^2
■ <p1G>'=<F1>*m2/M-<F2>*m1/M+<f1>
<L1G>'=<r1G>#(<F1>*m2/M-<F2>*m1/M+<f1>)
〓 一様な重力場での2質点の運動 〓
◆ 2質点 質量 m1,m2 m1+m2=M 位置 <r1>,<r2>
一様な重力場 -<z>*g
質点①に働く力 重力 -<z>*m1*g それ以外の外力
<F1> 質点②からの内力 <f1>
質点②に働く力 -<z>*m2*g <F2> <f2>=-<f1>
質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M
■ 運動方程式 m1*<r1>''=-<z>*m1*g+<F1>+<f1>
m2*<r2>''=-<z>*m2*g+<F2>+<f2>
■ M*<G>''
=(-<z>*m1*g+<F1>)+(-<z>*m2*g+<F2>)
=-<z>*M*g+<F1>+<F2>
》<G>''=-<z>*g+(<F1>+<F2>)/M 内力は相殺される
■ M*(<G>#<G>')'=<G>#(-<z>*M*g+<F1>+<F2>)
(<G>#<G>')'=<G>#[-<z>*g+(<F1>+<F2>)/M]
■ <p1G>'
=(-<z>*m1*g+<F1>)*m2/M-(-<z>*m2*g+<F2>)*m1/M+<f1>
=<F1>*m2/M-<F2>*m1/M+<f1>
》<p1G>'=<F1>*m2/M-<F2>*m1/M+<f1> ★_重力は相殺される
■ <L1G>'=<r1G>#(<F1>*m2/M-<F2>*m1/M+<f1>)
〓 一様な重力場、他の外力がない場合 2質点の運動 〓
◇ 時間微分 '
◆ 2質点 質量 m1,m2 m1+m2=M 位置 <r1>,<r2> 質量の中心 <G>
外力は一様な重力場 -<z>*g のみ 内力 <f1>,<f2>
運動量 元の慣性系で <p1>,<p2> 質量の中心系(重心系)で <p1G>,<p2G>
同様に、角運動量 <L1>,<L2>,<L1G>,<L2G>
■ <p1>'=-<z>*m1*g+<f1>
■ <G>''=-<z>*g & (<G>#<G>')'=-<G>#<z>*g
■ <p1G>'=<f1> & <L1G>'=<r1G>#<f1>
▲ 一様な重力場、他に外力がない場合、質量の中心系(重心系)は慣性系ではないが、慣性系のように扱うことができる ★_
{一番身近な運動なのに、触れてある資料は見当たらない!2018/2}
〓 太陽、地球、月の運動 〓 .
◆ 地球と太陽の距離 De=1.495*Ten(11)_m
地球と月の距離 Dm=3.844*Ten(8)_m
■ De+Dm~1.499*Ten(11)_m De-Dm~1.491*Ten(11)_m
De/(De+Dm)=1.495/1.499=0.9973 De/(De-Dm)=1.495/1.491=1.0027
[De/(De+Dm)]^2=0.9973^2~0.9946=1-0.0054
[De/(De-Dm)]^2=1.0027^2~1.0054
(地球の太陽の距離) と (月と太陽の距離) の2乗は、0.5%程度の差しかない。したがって、地球と月は、太陽に依る一様な重力場で運動しているとしてよい。地球と月の運動は、互いの重力のみ考えればよい。
☆ お勉強しよう 2018-2011 Yuji.W ☆