物理 力学 2018/2 Yuji.W
☆ 3体問題(太陽と地球と月) ☆
◎ 3体問題 巨大重力源 地球と月の運動 ★_
【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 # 座標単位<x>,<y>,<z>
円柱座標 <r.u>,<au>,<z> 球座標 <ru>,<au>,<bu>
【累乗】3^2=9 10^x=Ten(x) 【微積】xで微分 f(x);x 時間微分 ' 積分 $
〓 3体問題 〓 .
◆ 原点に巨大な重力源 質量 M 位置を変えない
2質点①② 質量(両方とも) m m << M
質点①に働く力は、巨大重力源からの力 <F1> と質点②からの力 <f1> のみ
同様に、質点②に働く力
<F2>,<f2>=-<f1> 重力定数 G
質点①②の質量の中心の位置 <rG>
質点①の位置 <r1>=<rG>+<r1G> 質点②の位置
<r2>=<rG>-<r1G>
|<r1>|=r1 |<rG>|=rG 次の場合のみ考える r1G
<< rG
■ <F1>=-G*M*m*(<rG>+<r1G>)/|<rG>+<r1G>|^3
ここで |<rG>+<r1G>|^3=rG^3 とすれば、
<F1>=-G*M*m*(<rG>+<r1G>)/rG^3
同様に <F2>=-G*M*m*(<rG>-<r1G>)/rG^3
■ 質点①の運動方程式 m*(<rG>''+<r1G>'')=<F1>+<f1>
m*(<rG>''+<r1G>'')=-G*M*m*(<rG>+<r1G>)/rG^3+<f1>
<rG>''+<r1G>''=-G*M*(<rG>+<r1G>)/rG^3+<f1>/m
同様に、質点② <rG>''-<r1G>''=-G*M*(<rG>-<r1G>)/rG^3-<f1>/m
和を求めて 2*<rG>''=-2*G*M*<rG>/rG^3
<rG>''=-G*M*<rG>/rG^3 ★_
質量の中心はケプラー運動(初期速度が遅ければ、楕円を描く)
■ <r1G>''
=-<rG>''-G*M*(<rG>+<r1G>)/rG^3+<f1>/m
=G*M*<rG>/rG^3-G*M*(<rG>+<r1G>)/rG^3+<f1>/m
=-G*M*<r1G>/rG^3+<f1>/m
ここで r1G << rG であったから r1G|/rG^3=0 と考える。
m*<r1G>''=<f1> ★_
質量の中心系で、質点①②どうしは、その内力のみに応じた運動をする。
〓 3体問題 〓 .
◆ 原点に巨大な重力源 質量 M 位置を変えない
2質点①② 質量(両方とも) m m << M
質点①に働く力は、巨大重力源からの力 <F1> と質点②からの力 <f1> のみ
同様に、質点②に働く力
<F2>,<f2>=-<f1> 重力定数 G
質点①②の質量の中心の位置 <rG>
質点①の位置 <r1>=<rG>+<r1G> 質点②の位置
<r2>=<rG>-<r1G>
|<r1>|=r1 |<rG>|=rG 次の場合のみ考える r1G
<< rG
■ <rG>''=-G*M*<rG>/rG^3 質量の中心は、巨大重力源の力を受けたケプラー運動(初期速度が遅ければ楕円)
■ m*<r1G>''=<f1> 質量の中心系で、質点①②は、その内力のみに応じた運動。巨大重力源の重力は考えなくてよい。
※ 2質点の質量は同じとして考えたが、違う質量でも運動の本質は変わらない。
〓 太陽、地球、月の諸量 〓 .
■ 距離 地球~太陽 De=1.495*Ten(11)_m 地球~月 Dm=3.844*Ten(8)_m
De+Dm~1.499*Ten(11)_m De-Dm~1.491*Ten(11)_m
De/(De+Dm)=1.495/1.499=0.9973 De/(De-Dm)=1.495/1.491=1.0027
[De/(De+Dm)]^2=0.9973^2~0.9946=1-0.0054
[De/(De-Dm)]^2=1.0027^2~1.0054
■ 質量 太陽 Ms~1.99*Ten(30)_kg
地球 Me=5.97*Ten(24)_kg Ms/Me=333400
月 Mm=7.347*Ten(22)_kg Mm/Me~0.0123
〓 3体問題(太陽と地球と月) 〓 .
■ 地球と月の質量は異なるが、次のような条件を満たす。
(月の質量) < (地球の質量) << (太陽の質量)
(地球と月の距離) << (地球や月の太陽までの距離)
したがって、次のような結論を得る事ができる。
1 地球と月の質量の中心は、太陽の重力を受けたケプラー運動になる。初速度が小さければ、楕円を描く。
2 地球と月は、その質量の中心の周りのケプラー運動になる。初速度が小さければ、楕円を描く。太陽の重力は考えなくてよい。
{まとめ} 地球と月は、２つの楕円運動の組み合わせになる。 ★_
{中学生の時からの謎が、やっと解決できた!2018/2}