☆ 一様な重力場でのバトンの運動 ☆ |
◎ 一様な重力場 バトン 剛体 {剛体の運動を考えるのに、とてもいい問題!} ★_ |
◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 # 3の2乗 3^2 10^x=Ten(x) yをxで微分 y;x 時間微分 ' 積分 $ |
〓 剛体の運動 〓 ◆ 剛体の質量 M 質量の中心の位置 <G> 質量の中心に対する運動量 <pG> 質量の中心に対する角運動量 <LG> 総外力 <F> 外力による、質量の中心に対するトルクの総和 <NG> ■ M*<G>''=<F> & M*(<G>#<G>')'=<G>#<F> ■ <pG>=0 & <LG>'=<NG> |
〓 2質点、質量の中心系 〓 ■ m1+m2=M 質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M M*<G>'=<p1>+<p2> M*<G>''=(<p1>+<p2>)'=<F1>+<F2> 内力は相殺される M*(<G>#<G>')'=<G>#(<F1>+<F2>) 内力は相殺される ■ <r1G>=<r1>-<G> & <r2G>=<r2>-<G> m1*<r1G>+m2*<r2G>=0 & <p1G>+<p2G>=0 ■ <L1>+<L2>=<L1G>+<L2G>+M*<G>#<G>' (<L1G>+<L2G>)'=<r1G>#<F1>+<r2G>#<F2> 内力は相殺される ■ <p1G>'=<F1>*m2/M-<F2>*m1/M+<f21> <L1G>'=<r1G>#(<F1>*m2/M-<F2>*m1/M+<f21>) ■ 運動エネルギー K1,K2 質量の中心系で K1G,K2G K1+K2=(K1G+K2G)+(1/2)*M*|<G>'|^2 全運動エネルギーは、質量の中心系の値が最小 |
〓 回転するバトン 〓 .
◆ 軽い棒の先に、同じ質量の重さの重り 質量 m 棒の長さ 2*l
重り@は、xy平面に平行な平面上を等速円運動 z>0 両平面のxy平面からの距離 H 回転半径 R=root(l^2-H^2) 角運動量の和 <L> トルクの和 <N> ※ 内力は相殺されるので外力のみ考えればよい。 円柱座標(r.,a,z) 一方の重りの位置 <r>=<r.u>*R+<z>*H 他方 -<r>=-<r.u>*R-<z>*H ※ <r.u> は、重り@の動径方向単位ベクトル a'=w=一定 ■ <L>=2*m*(<z>*R^2-<r.u>*H*R)*w <N>=<L>'=-<au>*2*m*H*R*w^2 ■ <N>=0 のとき 2個の重りは同一平面内を回転する。 |
◇ 一様な重力場でのバトンの運動 ◇ ◆ 一様な重力場 重力加速度 g 重力の方向 -<y> 軽い棒の両端に同じ重りをつけたバトンを空中に投げ上げる 重り1個の重さ m 棒の長さ 2*l 質量の中心(棒の中心)の位置 <G>
重りの質量の中心に対する角速度 <w> 質量の中心に対する角運動量の和 <LG>
内力は相殺されるから、外力のみを考える 【 質量の中心の運動 】 <F>=-<y>*2*m*g (質量の中心の運動量)=2*m*<G>' 質量の中心の運動 2*m*<G>''=-<y>*2*m*g <G>''=-<y>*g ★_ 質量の中心は放物線をえがく。質量の中心系は慣性系ではない。 【 質量の中心に対する回転 】 <NG>=<rG>#(-<y>*m*g)+(-<rG>#(-<y>*m*g)=0 2個の重りの回転は、同一平面内に限られる。 ★_ <w>⊥<rG> 回転の接線方向単位ベクトルを <au> とすれば、 <rG>'=<w>#<rG>=<au>*w*rG
<LG> |<LG>|=2*m*rG^2*w ★_ 【 一様な重量場でのバトンの運動 】 @ 質量の中心(バトンの中心)は放物線を描く。 A 質量の中心に対するトルクは 0 である。質量の中心を回転の中心として、2個の重りは、同一平面内を等速円運動をする。 B (質量の中心に対する角運動量の大きさ)=2*(質量)*(回転半径)^2*(角速度) 【 質量の中心系での個々の重りの運動 】 重り@の質量の中心系での運動量 <p1G> とすれば、
運動方程式 <p1G>' 》<p1G>'=<f21> ★_内力のみ |
◇ 一様な重力場でのバトンの運動 ◇ ◆ 一様な重力場 軽い棒の両端に同じ重りをつけたバトンを空中に投げ上げる ■ @ 質量の中心(バトンの中心)は放物線を描く。 A 質量の中心に対するトルクは 0 である。質量の中心を回転の中心として、2個の重りは、同一平面内を等速円運動をする。 B (質量の中心に対する角運動量の大きさ)=2*(質量)*(回転半径)^2*(角速度) C 質量の中心に対する個々の重りの運動は、内力のみに影響される。 |