物理 力学  2018/1-2015/2 Yuji.W

☆ 一様な重力場でのバトンの運動

一様な重力場 バトン 剛体 {剛体の運動を考えるのに、とてもいい問題!} _

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #

3の2乗 3^2 10^x=Ten(x) yをxで微分 y;x 時間微分 ' 積分 $

〓 剛体の運動 〓

 ◆ 剛体の質量 M 質量の中心の位置 <G>

質量の中心に対する運動量 <pG> 質量の中心に対する角運動量 <LG>

総外力 <F> 外力による、質量の中心に対するトルクの総和 <NG>

■ M*<G>''=<F> & M*(<G>#<G>')'=<G>#<F>

■ <pG>=0 & <LG>'=<NG>

〓 2質点、質量の中心系 〓 

■ m1+m2=M 質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M

 M*<G>'=<p1>+<p2>

 M*<G>''=(<p1>+<p2>)'=<F1>+<F2> 内力は相殺される

 M*(<G>#<G>')'=<G>#(<F1>+<F2>) 内力は相殺される

■ <r1G>=<r1>-<G> & <r2G>=<r2>-<G>

 m1*<r1G>+m2*<r2G>=0 & <p1G>+<p2G>=0

■ <L1>+<L2>=<L1G>+<L2G>+M*<G>#<G>' 

 (<L1G>+<L2G>)'=<r1G>#<F1>+<r2G>#<F2> 内力は相殺される

■ <p1G>'=<F1>*m2/M-<F2>*m1/M+<f21>

 <L1G>'=<r1G>#(<F1>*m2/M-<F2>*m1/M+<f21>)

■ 運動エネルギー K1,K2 質量の中心系で K1G,K2G

 K1+K2=(K1G+K2G)+(1/2)*M*|<G>'|^2 全運動エネルギーは、質量の中心系の値が最小

〓 回転するバトン 〓 .

◆ 軽い棒の先に、同じ質量の重さの重り 質量 m 棒の長さ 2*l
回転の中心:棒の中心:原点 回転軸:z軸

重り@は、xy平面に平行な平面上を等速円運動 z>0
重りAも、xy平面に平行な平面上を等速円運動、ただし z<0

両平面のxy平面からの距離 H 回転半径 R=root(l^2-H^2)

角運動量の和 <L>

トルクの和 <N> ※ 内力は相殺されるので外力のみ考えればよい。

円柱座標(r.,a,z)

一方の重りの位置 <r>=<r.u>*R+<z>*H 他方 -<r>=-<r.u>*R-<z>*H

※ <r.u> は、重り@の動径方向単位ベクトル

 a'=w=一定

■ <L>=2*m*(<z>*R^2-<r.u>*H*R)*w

 <N>=<L>'=-<au>*2*m*H*R*w^2

■ <N>=0 のとき 2個の重りは同一平面内を回転する。

◇ 一様な重力場でのバトンの運動 ◇

◆ 一様な重力場 重力加速度 g 重力の方向 -<y>

軽い棒の両端に同じ重りをつけたバトンを空中に投げ上げる

重り1個の重さ m 棒の長さ 2*l 質量の中心(棒の中心)の位置 <G>

重りの質量の中心に対する角速度 <w> 質量の中心に対する角運動量の和 <LG>
質量の中心系での一方の重りの位置 <rG> 他方 -<rG> |<rG>|=l=棒の長さの半分

内力は相殺されるから、外力のみを考える
外力の和 <F> 質量の中心に対するトルクの和 <NG>

【 質量の中心の運動 】

 <F>=-<y>*2*m*g

 (質量の中心の運動量)=2*m*<G>'

質量の中心の運動 2*m*<G>''=-<y>*2*m*g

 <G>''=-<y>*g _

質量の中心は放物線をえがく。質量の中心系は慣性系ではない。

【 質量の中心に対する回転 】

 <NG>=<rG>#(-<y>*m*g)+(-<rG>#(-<y>*m*g)=0

2個の重りの回転は、同一平面内に限られる。 _

 <w>⊥<rG>

回転の接線方向単位ベクトルを <au> とすれば、

 <rG>'=<w>#<rG>=<au>*w*rG

 <LG>
=m*<rG>#<rG>'+m*(-<rG>)#(-<rG>')
=2*m*<rG>#<rG>'
=2*m*<rG>#(<au>*w*rG)
=<w>*2*m*rG^2

 |<LG>|=2*m*rG^2*w _

【 一様な重量場でのバトンの運動 】

@ 質量の中心(バトンの中心)は放物線を描く。

A 質量の中心に対するトルクは 0 である。質量の中心を回転の中心として、2個の重りは、同一平面内を等速円運動をする。

B (質量の中心に対する角運動量の大きさ)=2*(質量)*(回転半径)^2*(角速度)

【 質量の中心系での個々の重りの運動 】

重り@の質量の中心系での運動量 <p1G> とすれば、

運動方程式 <p1G>'
=<F1>*m2/M-<F2>*m1/M+<f21>
=(-<y>*m*g)*m/(2*m)-(-<y>*m*g)*m/(2*m)+<f21>
=<f21>

》<p1G>'=<f21> _内力のみ

◇ 一様な重力場でのバトンの運動 ◇

◆ 一様な重力場 軽い棒の両端に同じ重りをつけたバトンを空中に投げ上げる

@ 質量の中心(バトンの中心)は放物線を描く。

A 質量の中心に対するトルクは 0 である。質量の中心を回転の中心として、2個の重りは、同一平面内を等速円運動をする。

B (質量の中心に対する角運動量の大きさ)=2*(質量)*(回転半径)^2*(角速度)

C 質量の中心に対する個々の重りの運動は、内力のみに影響される。

inserted by FC2 system