物理 力学

2017/5-2011 Yuji.W

2質点の運動

2質点 運動量 角運動量 運動エネルギー 質量の中心(重心) 質量の中心系(重心系) _ 物理定数

◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 縦ベクトル <A) 内積 * 外積 #
 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 y;x 
時間微分 x' 積分 ${f(x)*dx}

◇表記.2質点の運動◇

『表記.2質点の運動』 2015/12

■ 質量 m1,m2 M=m1+m2 位置 <r1>,<r2>

運動量 <p1>,<p2> 角運動量 <L1>,<L2> 運動エネルギー K1,K2

■ 質点Aから質点@への内力 <f21> 質点@から質点Aへの内力 <f12>

それぞれの質点に働く外力 <F1(外力)>,<F2(外力)> トルク <N1>,<N2>

◇作用反作用の法則◇

◎ 「力はベクトルだから、自由に平行移動できる」というのは、間違い。力がどの点に働くのが大事。自由に平行移動できない。 _

◆ 2質点@A Aから質点@への内力 <f21> 質点@から質点Aへの内力 <f12>

内力に関して、次の3つの性質が成り立つとする。

@ それぞれの質点に働く力の作用点は、質点がある位置
A 作用・反作用の法則より <f21>+<f12>=0
B 内力の方向は、2質点を結ぶ直線上にある ※ Bは、ニュートンは明記していない

◇力の和◇

■ (<F1(外力)>+<f21>)+(<F2(外力)>+<f12>)
=(<F1(外力)>+<F2(外力)>)+(<f21>+<f12>)
=<F1(外力)>+<F2(外力)> 
_内力は相殺される

◇2質点のトルク◇

◆ 2質点 m1,m2 位置 <r1>,<r2>

質点Aから質点@への内力 <f21> 質点@から質点Aへの内力 <f12>
それぞれの質点に働く外力 <F1(外力)>,<F2(外力)> 全トルク <N>

内力に関して、次の3つの性質が成り立つとする。

@ それぞれの質点に働く力の作用点は、質点がある位置
A 作用・反作用の法則より <f21>+<f12>=0
B 内力の方向は、2質点を結ぶ直線上にある ※ Bは、ニュートンは明記していない

■ 内力の性質より、

 <r1>#<f21>+<r2>#<f12>
=<r1>#<f21>-<r2>#<f21>
=(<r1>-<r2>)#<f21>
=0

 <r1>#<f21>+<r2>#<f12>=0 _内力によるトルクは相殺される

■ <r1>#(<F1(外力)>+<f21>)+<r2>#(<F2(外力)>+<f12>)
=(<r1>#<F1(外力)>+<r2>#(<F2(外力)>)
+(<r1>#<f21>+<r2>#<f12>)
=<r1>#<F1(外力)>+<r2>#(<F2(外力)>

 <r1>#(<F1(外力)>+<f21>)+<r2>#(<F2(外力)>+<f12>)
=(<r1>#<F1(外力)>+<r2>#(<F2(外力)>) 
_内力によるトルクは相殺される

◇運動量の和◇

■ 運動方程式 <p1>'=<F1(外力)>+<f21> & <p2>'=<F2(外力)>+<f12>

 (<p1>+<p2>)'
=<p1>'+<p2>'
=(<F1(外力)>+<f21>)+(<F2(外力)>+<f12>)
=<F1(外力)>+<F2(外力)>

 (<p1>+<p2>)'=<F1(外力)>+<F2(外力)> _内力は相殺される

◇角運動量の和◇

■ 角運動量の時間変化
 <L1>'=<r1>#(<F1(外力)>+<f21>)
 <L2>'=<r2>#(<F2(外力)>+<f12>)

 (<L1>+<L2>)'
=<L1>'+<L2>'
=<r1>#(<F1(外力)>+<f21>)+<r2>#(<F2(外力)>+<f12>)
=<r1>#<F1(外力)>+<r2>#<F2(外力)>

 (<L1>+<L2>)'=<r1>#<F1(外力)>+<r2>#<F2(外力)> _内力は相殺される

{やっとわかってきた!2017/5}

◇質量の中心◇

■ {定義} 質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M

※ 「質量の中心」と「重心」は違う。重心は、一様な重力場で成り立つ概念。

■ 質量の中心を表す定義式は次のように変形できる。

 <G>=(<r1>-<r2>)*m1/M+<r2>

この式より、次の事がわかる

@ 質量の中心は、2質点の間にある
A 質量の中心は、2質点を結ぶ線分を m2:m1 に内分した点である

■ <r1>'=<v1> <r2>'=<v2> <G>'=<VG>
運動量 <p1>=m1*<v1> <p2>=m2*<v2> とすれば、

 M*<VG>=m1*<v1>+m2*<v2>=<p1>+<p2> _

◇質量の中心の運動◇

■ M*<VG>'=(<p1>+<p2>)'

ところが (<p1>+<p2>)'=<F1(外力)>+<F2(外力)> であったから、

 M*<VG>'=<F1(外力)>+<F2(外力)> _

▲ 内力は相殺される。力はそもそも各質点に作用するのだが、質量の中心に作用するとみなしてよい。

■ 質量の中心の角運動量 M*<G>#<VG>

その時間変化
 M*(<G>#<VG>)'
=M*<VG>#<VG>+M*<G>#<VG>'
=0+<G>#<F1(外力)>+<F2(外力)>

 M*(<G>#<VG>)'=<G>#<F1(外力)>+<F2(外力)> _

▲ 内力は相殺される。力はそもそも各質点に作用するのだが、質量の中心に作用するとみなして、トルクを計算する。

{改めて整理すると、わかってなかったなあと思う!2017/5}

◇質量の中心系◇

■ 質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M

質量の中心系(重心系) 質量の中心を原点とし、慣性系に対して回転していない系

 <r1G>=<r1>-<G> <r2G>=<r2>-<G>

※ M*<G>''=<F1(外力)>+<F2(外力)> であったから、
<F1(外力)>+<F2(外力)>=0 でない限り、質量の中心系は慣性系ではない。

■ m1*<r1G>+m2*<r2G>
=m1*(<r1>-<G>)+m2*(<r2>-<G>)
=(m1*<r1>+m2*<r2>)-(m1+m2)*<G>
=M*<G>-M*<G>
=0

 m1*<r1G>+m2*<r2G>=0 _

▲ 要するに、次の質量の中心の位置について述べているに過ぎない。

@ 質量の中心は、2質点の間にある
A 質量の中心は、2質点を結ぶ線分を m2:m1 に内分した点である

{盲点!よく使う!2016/1}

■ <r1>'=<v1> <r2>'=<v2> <r1G>'=<v1G> <r2G>'=<v2G> <G>'=<VG> とすれば、

 <v1G>=<v1>-<VG> <v2G>=<v2>-<VG> _

■ 運動量 <p1>,<p2>,<p1G>,<p2G> とすれば、

 <p1G>=m1*<v1G>=m1*(<v1>-<VG>)=<p1>-m1*<VG>

同様に <p2G>=<p2>-m2*<VG> _

『質量の中心系.2質点』

■ 質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M

 M*<VG>=M*<G>'=m1*<v1>+m2*<v2>=<p1>+<p2>

質量の中心系(重心系) 質量の中心を原点とし、慣性系に対して回転していない系 (一般に、慣性系ではない)

 <r1G>=<r1>-<G> <r2G>=<r2>-<G> m1*<r1G>+m2*<r2G>=0

 <v1G>=<v1>-<VG> <v2G>=<v2>-<VG>

 <p1G>=<p1>-m1*<VG> <p2G>=<p2>-m2*<VG>

◇質量の中心系での運動量の和◇

■ <p1G>+<p2G>
=(<p1>-m1*<VG>)+(<p2>-m2*<VG>)
=(<p1>+<p2>)-M*<VG>

ここで M*<VG>=<p1>+<p2> であったから、

 <p1G>+<p2G>=0 _

▲ 質量の中心系を使う最大の理由

◇質量の中心系での角運動量の和◇

■ 個々の質点の質量の中心系での角運動量
 <L1G>=<r1G>#<p1G>=(<r1>-<G>)#<p1G>
 <L2G>=<r2G>#<p2G>=(<r2>-<G>)#<p2G>

 <L1G>+<L2G>
=(<r1>-<G>)#<p1G>+(<r2>-<G>)#<p2G>
=<r1>#<p1G>+<r2>#<p2G>-<G>#(<p1G>+<p2G>)

ここで <p1G>+<p2G>=0 だから、

 <L1G>+<L2G>=<r1>#<p1G>+<r2>#<p2G>

さらに、

 <L1G>+<L2G>
=<r1>#(<p1>-m1*<VG>)+<r2>#(<p2>-m2*<VG>)
=(<r1>#<p1>+<r2>#<p2>)-(m1*<r1>+m2*<r2>)#<VG>
=(<L1>+<L2>)-M*<G>#<VG>
=(<L1>+<L2>)-M*<G>#<VG>

 <L1>+<L2>=(<L1G>+<L2G>)+M*<G>#<VG> _

 <角運動量の和>
=<質量の中心系での角運動量の和>+<質量の中心の角運動量>

◇質量の中心系での運動エネルギーの和◇

◆ <r1>'=<v1> <r2>'=<v2> <r1G>'=<v1G> <r2G>'=<v2G>
 <G>'=<VG> <v1G>=<v1>-<VG> <v2G>=<v2>-<VG>

運動エネルギー K1,K2 質量の中心系で K1G,K2G

■ v1G^2
=<v1G>*<v1G>
=(<v1>-<VG>)*(<v1>-<VG>)
=v1^2+VG^2-2*<v1>*<VG>

 K1G
=(1/2)*m1*v1G^2
=(1/2)*m1*(v1^2+VG^2-2*<v1>*<VG>)
=K1+(1/2)*m1*VG^2-<p1>*<VG> 

同様に K2G=K2+(1/2)*m2*VG^2-2*<p2>*<VG>)

 K1G+K2G=(K1+K2)+(1/2)*M*VG^2-(<p1>+<p2>)*<VG>

 K1+K2
=(K1G+K2G)-(1/2)*M*VG^2+(<p1>+<p2>)*<VG>
=(K1G+K2G)-(1/2)*M*VG^2+M*<VG>*<VG>
=(K1G+K2G)-(1/2)*M*VG^2+M*VG^2
=(K1G+K2G)+(1/2)*M*VG^2

 K1+K2=(K1G+K2G)+(1/2)*M*VG^2 _

▲ 全運動エネルギーは、質量の中心系の値が最小

{わーい、できた!2017/5}

◇質量の中心系での運動◇

◎ 質量の中心系は一般に慣性系ではないから、簡単な運動方程式は成り立たない。{明記してある資料は見あたらない!2015/7}

■ 運動方程式 <p1>'=<F1(外力)>+<f21> <p2>'=<F2(外力)>+<f12>

 <p1G>=m1*<v1G>=m1*(<v1>-<VG>)=<p1>-m1*<VG>

 <p1G>'=<p1>'-m1*<VG>'

ここで M*<VG>'=<F1(外力)>+<F2(外力)> であったから、

 <p1G>'
=<F1(外力)>+<f21>-(<F1(外力)>+<F2(外力)>)*m1/M
=<F1(外力)>*m2/M-<F2(外力)>)*m1/M+<f21>

同様に <p2G>'=<F2(外力)>*m1/M-<F1(外力)>)*m2/M+<f12>

 <p1G>'=<F1(外力)>*m2/M-<F2(外力)>)*m1/M+<f21>
 <p2G>'=<F2(外力)>*m1/M-<F1(外力)>)*m2/M+<f12> 
_

■ 孤立系(外力なし)で <p1G>'=<f21> <p2G>'=<f12> _

☆一様な重力場での2質点の運動☆

◆ 一様な重力場 重力加速度 <g> 外力は他になし

 <F1(外力)>=m1*<g> <F2(外力)>=m2*<g>

■ <p1G>'=<g>*m1*m2/M-<g>*m1*m2/M+<f21>=<f21>

同様に <p2G>'=<f12>

一様な重力場での質量の中心系での運動方程式
 <p1G>'=<f21> <p2G>'=<f12> 
_慣性系であるかのように扱える

{なるほどねー!2015/12}{ちゃんと考察を加えてくれている資料は見あたらない!2015/12}

■ M*<VG>'=<F1(外力)>+<F2(外力)>=(m1+m2)*<g>=M*<g>

 <VG>'=<g> _質量の中心は自由落下(内力がどうであっても)

◇相対座標◇

相対座標 <r12>=<r1>-<r2>

 相対速度 <v12>=<r12>'=<r1>'-<r2>'=<v1>-<v2>

質量の中心系で <r1G>=<r1>-<G> <r2G>=<r2>-<G>
 <v1G>=<v1>-<VG> <v2G>=<v2>-<VG> だから、

 <r12>=<r1G>-<r2G> <v12>=<v1G>-<v2G> とも書ける

換算質量 m.=m1*m2/(m1+m2)=m1*m2/M

■ <r1G>
=<r1>-<G>
=<r1>-(m1*<r1>+m2*<r2>)/M
=(<r1>-<r2>)*m2/M
=<r12>*m2/M

同様に <r2G>=-<r12>*m1/M

 <r1G>=<r12>*m2/M <r2G>=-<r12>*m1/M _

■ 運動方程式
 m1*<v1>'=<F1(外力)>+<f21> m2*<v2>'=<F2(外力)>+<f12>

 <v12>'
=<v1>'-<v2>'
=(<F1(外力)>+<f21>)/m1-(<F2(外力)>+<f12>)/m2
=<F1(外力)>/m1-<F2(外力)>/m2+<f21>*(1/m1-1/m2)

 m.*<v12>'=<F1(外力)>*m2/M-<F2(外力)>*m1/M+<f21> _

■ 孤立系(外力なし)で m.*<v12>'=<f21> _ 

◇2質点の質量の中心、相対座標◇

{よく使うのに、明記してない!2015/7}

◆ 2質点 質量 m1,m2 m1+m2=M 任意の慣性系での位置 <r1>,<r2>

質量の中心の位置 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M

質量の中心系での位置 <r1G>,<r2G> <r1G>=<r1>-<G> <r2G>=<r2>-<G>

相対座標 <r>=<r1>-<r2>=<r1G>-<r2G>

◇ ベクトルの大きさを <>を取り去ったもので表す |<r>|=r など

<r1G> を <r> で表す 

 M*<r1G>
=M*(<r1>-<G>)
=M*<r1>-(m1*<r1>+m2*<r2>)
=(M-m1)*<r1>-m2*<r2>
=m2*<r1>-m2*<r2>
=m2*(<r1>-<r2>)
=m2*<r>  <r1G>=<r>*m2/M  r1G=r*m2/M

<r2G> を <r> で表す 

 M*<r2G>
=M*(<r2>-<G>)
=M*<r2>-(m1*<r1>+m2*<r2>)
=(M-m2)*<r2>-m1*<r1>
=m1*<r2>-m1*<r1>
=m1*(<r2>-<r1>)
=-m1*<r>  <r2G>=-<r>*m1/M  r2G=r*m1/M

{確かめ} <r1G>-<r2G>=<r>*m2/M+<r>*m1/M=<r>*(m1+m2)/M=<r>

≫ <r1G>=<r>*m2/M <r2G>=-<r>*m1/M

r を r1G,r2G で表す 

 r1G=r*m2/M r2G=r*m1/M

 r1G+r2G=r*m2/M+r*m1/M=r*(m1+m2)/M=r

≫ r=r1G+r2G

「2質点の質量の中心、相対座標」 2015/7

◆ 2質点 質量 m1,m2 m1+m2=M 任意の慣性系での位置 <r1>,<r2>

質量の中心の位置 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M

質量の中心系での位置 <r1G>,<r2G> <r1G>=<r1>-<G> <r2G>=<r2>-<G>

相対座標 <r>=<r1>-<r2>=<r1G>-<r2G>

■ <r1G>=<r>*m2/M <r2G>=-<r>*m1/M

 r1G=r*m2/M r2G=r*m1/M r=r1G+r2G

{わかってなかったなあ!ランダウの教科書に出てきていたなあ!2015/7}

{ここまでまとめ}2質点の運動

『2質点の運動』

■ (<p1>+<p2>)'=<F1(外力)>+<F2(外力)>
 (<L1>+<L2>)'=<N1(外力)>+<N2(外力)> 内力は相殺される

■ 質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M <VG>=<G>'

 M*<VG>=<p1>+<p2> {忘れがちな性質!}

 M*<VG>'=<F1(外力)>+<F2(外力)>

 M*(<G>#<VG>)'=<G>#(<F1(外力)>+<F2(外力)>)

■ 質量の中心系(重心系)=[質量の中心を原点とし、慣性系に対して回転していない系] <r1G>=<r1>-<G> <r2G>=<r2>-<G> m1*<r1G>=-m2*<r2G>

 <p1G>+<p2G>=0 {質量の中心系を使う最大の利点!}

 <L1>+<L2>=<L1G>+<L2G>+M*<G>#<VG>

 K1+K2=K1G+K2G+(1/2)*M*VG^2

 <p1G>'=<F1(外力)>*m2/M-<F2(外力)>)*m1/M+<f21>
 <p2G>'=<F2(外力)>*m1/M-<F1(外力)>)*m2/M+<f12>

■ 一様な重力場 <VG>'=<g> <p1G>'=<f21> 慣性系として扱える

■ 相対座標 <r12>=<r1>-<r2>=<r1G>-<r2G>
相対速度 <v12>=<v1>-<v2>=<v1G>-<v2G>

質量の和 M=m1+m2 換算質量 m.=m1*m2/M

 m.*<v12>'=<F1(外力)>*m2/M-<F2(外力)>*m1/M+<f21>

 <r1G>=<r12>*m2/M <r2G>=-<r12>*m1/M

■ 孤立系(外力なし)で、

 <p1>+<p2>=一定 <L1>+<L2>=一定 <VG>=一定 <G>#<VG>=一定

 <f21>=<p1G>'=m.*<v12>'

{やっとまとまった感じがする!2015/7/6 今日は、女子ワールドカップ決勝戦}{負けちゃいました!残念!2015/7}{運動方程式から出発して、これだけの事が言える!おもしろいなあ!2017/5}

◇慣性モーメント◇

◎ 同質量2質点の慣性モーメント

◆ 同質量2質点 1質点の質量 m 2質点の距離 l

■ 慣性モーメント Ic=m*(l/2)^2+m*(l/2)^2=m*l^2/2

端で I=Ic+(2*m)*(l/2)^2=m*l^2/2+m*l^2/2=m*l^2 .

回転エネルギー Kr 回転角 a 回転角速度 a'

質量の中心で Kr
=2*(1/2)*m*(a'*l/2)^2
=(1/4)*m*l^2*a'^2
=(1/2)*Ic*a'^2
.

端で Kr
=(1/2)*m*(a'*l)^2
=(1/2)*m*l^2*a'^2
=(1/2)*I*a'^2
.

◇角運動量と角速度の方向が異なる場合◇

◎ <L1>+<L2>‖<w> にならない場合

◆ 2質点 同質量 m 角速度 w 回転軸:z軸 <w>=<zu>*w

t=0 で <r1>=<xu>+<zu> , <r2>=-<r1>=-(<xu>+<zu>)

t=0 の時の角運動量 

 <r1>'=<yu>*w <r2>'=-<yu>*w

 <r1>#<r1>'=(<xu>+<zu>)#(<yu>*w)=(<zu>-<xu>)*w

 <r2>#<r2>'=-(<xu>+<zu>)#(-<yu>*w)=(<zu>-<xu>)*w

 <L1>+<L2>=m*<r1>#<r1>'+m*<r2>#<r2>'=(<zu>-<xu>)*2*m*w

≫ <w>=<zu>*w <L1>+<L2>=(<zu>-<xu>)*2*m*w .角速度ベクトルと角運動量ベクトルとの方向が異なる 回転させると、角運動量が一定の方向になろうとするから、軸受けはガタガタする事になる

☆計算例-運動量保存、運動エネルギー☆

◆ 2質点 質量 m1=2_kg , m2=3_kg

速度 <v1>=<3 2 -1>_m/sec , <v2>=<-2 2 4>_m/sec

衝突し合体する その速度 <\v> 外力なし

質量の中心 <G> 質量の中心系で <v1G> , <v2G>

■ 運動エネルギーは保存されない 運動量は保存される

 (m1+m2)*<\v>
=m1*<v1>+m2*<v2>
=2*<3 2 -1>+3*<-2 2 4>
=<0 10 10>

 m1+m2=2+3=5 だから、

 <\v>=<0 10 10>/5=<0 2 2> _

■ 元々の系で v1^2=14 v2^2=24

質量の中心系で <G>'=<\v>=<0 2 2> G'^2=8
 <v1G>=<v1>-<G>'=<3 2 -1>-<0 2 2>=<3 0 -3> v1G^2=18
 <v2G>=<v2>-<G>'=<-2 2 4>-<0 2 2>=<-2 0 2> v2G^2=8

 KG
=(1/2)*m1*v1G^2+(1/2)*m2*v2G^2
=(1/2)*2*18+(1/2)*3*8
=18+12
=30_J
_

 K
=(1/2)*m1*v1^2+(1/2)*m2*v2^2
=(1/2)*2*14+(1/2)*3*24
=14+36
=50_J
_

 (1/2)*(m1+m2)*G'^2=(1/2)*5*8=20_J _

{確かめ} K=KG+(1/2)*(m1+m2)*G'^2 が成り立っている

☆計算例-平面上で2粒子の衝突☆

◇ 衝突後 \ 質量の中心系 G

◆ 2粒子 平面上で衝突 質量 m1=1_kg m2=2_kg

衝突前の速度 <v1>=<0 6>_m/sec <v2>=<0 0>

衝突後の速度 <\v1>=<2 2>_m/sec <\v2>

※ 完全弾性衝突ではない。完全弾性衝突の場合、方向を定めれば大きさは決まるし、大きさを定めれば方向が決まる。完全弾性衝突の場合、限定された値しかとれない。

■ 衝突前の全運動量 1*<0 6>+2*<0 0>=<0 6>

運動量は保存されるから 1*<2 2>+2*<\v2>=<0 6>

 <\v2>=<-1 2> _

まとめると <v1>=<0 6> <v2>=<0 0> <\v1>=<2 2> <\v2>=<-1 2>

運動の方向の変化の角度

 cos(変化角)
=<\v1>*<v1>/(\v1*v1)
=<0 6>*<2 2>/[6*(2*root2)]
=12/[6*(2*root2)]
=1/root2 ⇒ 変化角=45°

エネルギー

 2*K=m1*v1^2+m2*v2^2=1*36+2*0=36

 2*\K=m1*\v1^2+m2*\v2^2=1*8+2*5=18

 ΔK=\K-K=9-18=-9_J ⇒ ΔK/K=-9/18=-1/2

質量の中心系で考えよう

 <G>'=<0 6>/(m1+m2)=<0 6>/(1+2)=<0 2>_m/sec

 <v1G>=<0 6>-<0 2>=<0 4>_m/sec
 <v2G>=<0 0>-<0 2>=<0 -2>_m/sec 質量の中心系のy軸上を正面衝突

 {確かめ} m1*<v1G>+m2*<v2G>=1*<0 4>+2*<0 -2>=<0>

 <\v1G>=<2 2>-<0 2>=<2 0>_m/sec

 <0>=m1*<\v1G>+m2*<\v2G>=1*<2 0>+2*<\v2G> ⇒ <\v2G>=<-1 0> _

 質量の中心系のx軸上を飛び去る

まとめると <v1G>=<0 4> <v2G>=<0 -2> <\v1G>=<2 0> <\v2G>=<-1 0>

運動エネルギー

 KG=(1/2)*m1*v1G^2+(1/2)*m2*v2G^2=(1/2)*1*16+(1/2)*2*4=8+4=12_J

 \KG=(1/2)*m1*v1G^2+(1/2)*m2*v2G^2=(1/2)*1*4+(1/2)*2*1=2+1=3_J

 ΔKG=\KG-KG=3-12=-9_J ⇒ ΔKG/KG=-9/12=-3/4

inserted by FC2 system