物理 力学 2018/1-2011 Yuji.W

☆ 2質点の運動

2質点 運動量の和 角運動量の和  _

【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 # 座標単位<x>,<y>,<z>
 円柱座標 <r.u>,<au>,<z> 球座標 <ru>,<au>,<bu>

【累乗】3^2=9 10^x=Ten(x) 【微積】xで微分 f(x);x 時間微分 ' 積分 $

ネイピア数ee^x=exp(x) 対数 log(a,x) log(e,x)=ln(x) log(10,x)=LOG(x)

虚数単位ii^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) 複素数zの共役複素数 \z

〓 2質点の運動 〓 

■ 2質点 質量 m1,m2 位置 <r1>,<r2>

運動量 <p1>,<p2> 原点に対する角運動量 <L1>,<L2> 運動エネルギー K1,K2

質点への外力 <F1>,<F2>
質点Aから質点@への内力 <f1> 質点@から質点Aへの内力 <f2>

原点に対するそれぞれの質点の外力によるトルク <N1>,<N2>
原点に対するそれぞれの質点の内力によるトルク <n1>,<n2>

任意の位置 <h> <h>に対する位置 <r1h>=<r1>-<h> <r2h>=<r2>-<h>
<h>に対する外力によるトルク <N1h>,<N2h>

諸量の和 質量 M 運動量 <p> 角運動量 <L> 運動エネルギー K
 外力 <F> 原点に対する、外力によるトルク <N>
任意の位置<h>に対する、外力によるトルク <Nh>

〓 内力 〓 

■ 内力に関して、次の3つの性質が成り立つとする。

1 それぞれの質点に働く力の作用点は、質点がある位置。
2 作用・反作用の法則より <f1>+<f2>=0
3 内力の方向は、2質点を結ぶ直線上にある ※ Bは、ニュートンは明記していない

■ <f1>+<f2>=0 _内力は相殺される

■ <n1>=<r1>#<f1> <n2>=<r2>#<f2>

 <n1>+<n2>
=<r1>#<f1>+<r2>#<f2>
=<r1>#<f1>-<r2>#<f1>
=(<r1>-<r2>)#<f1>

内力の性質Bより (<r1>-<r2>)#<f2>=0 だから、

 <n1>+<n2>=0 _原点に対する、内力によるトルクは相殺される

<n1h>
=<r1h>#<f1>
=(<r1>-<h>)#<f1>
=<r1>#<f1>-<h>#<f1>
=<n1>-<h>#<f1>
同様に <n2h>=<n2>-<h>#<f2>

 <n1h>+<n2h>
=(<n1>-<h>#<f1>)+(<n2>-<h>#<f2>)
=(<n1>+<n2>)-<h>#(<f1>+<f2>)
=0-<h>#0
=0

》<n1h>+<n2h>=0 _任意の位置に対する、内力によるトルクは相殺される

〓 運動量の和の時間変化、角運動量の和の時間変化 〓 

■ <p1>'=<F1>+<f1> <p2>'=<F2>+<f2>

 <p>'
=(<p1>+<p2>)'
=<p1>'+<p2>'
=(<F1>+<f1>)+(<F2>+<f2>)
=(<F1>+<F2>)+(<f1>+<f2>)
=<F>+0

=<F>

》<p>'=<F> _外力のみ考えればよい。内力は相殺される

■ <L1>'=<N1>+<n1> <L2>'=<N2>+<n2>

 <L>'
=<L1>'+<L2>'
=(<N1>+<n1>)+(<N2>+<n2>)
=(<N1>+<N2>)+(<n1>+<n2>)
=<N>+0
=<N>

》<L>'=<N> _外力のみ考えればよい。内力は相殺される。

■ 同様に、任意の位置<h>に対しても

 <Lh>'=<Nh> _

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