物理 力学 2018/12-2011 Yuji.W
☆ 2質点の運動 ☆
◎ 2質点 運動量の和 角運動量の和 ★_
【ベクトル】ベクトル <A> 単位ベクトル
<-u> 内積
* 外積 #
【関数】10^x=Ten(x) 虚数単位 i ネイピア数
e e^(i*x)=expi(x)
【微分積分】微分
; 積分 $ 【行列テンソル】行列 [A]=[a b|c d] テンソル〚〛
〓 2質点の運動 〓
◇ 時間微分 '
◤ 2質点 質量 m1,m2 m1+m2=M 位置 <r1>,<r2>
運動量 <p1>=m1*<r1>' <p2>=m2*<r2>'
原点に対する角運動量 <L1>=<r1>#<p1> <L2>=<r2>#<p2>
質点への外力 <F1>,<F2>
質点②から質点①への内力
<f1> 質点①から質点②への内力 <f2>
外力による原点に対するトルク <N1>=<r1>#<F1> <N2>=<r2>#<F2>
内力による原点に対するトルク <n1>=<r1>#<f1> <n2>=<r2>#<f2>
〓 内力 〓
■ 内力に関して、次の３つの性質が成り立つとする。
1
それぞれの質点に働く力の作用点は、質点がある位置。
2 作用・反作用の法則より <f1>+<f2>=0
3
内力の方向は、2質点を結ぶ直線上にある ※ ③は、ニュートンは明記していない
■ <f1>+<f2>=0 ★_内力は相殺される
外力がない場合の運動量保存は、この性質から導かれる ★_
■ <n1>=<r1>#<f1> <n2>=<r2>#<f2>
<n1>+<n2>
=<r1>#<f1>+<r2>#<f2>
=<r1>#<f1>-<r2>#<f1>
=(<r1>-<r2>)#<f1>
内力の性質③より (<r1>-<r2>)#<f2>=0 だから、
<n1>+<n2>=0 ★_原点に対する、内力によるトルクは相殺される
■
<n1h>
=<r1h>#<f1>
=(<r1>-<h>)#<f1>
=<r1>#<f1>-<h>#<f1>
=<n1>-<h>#<f1>
同様に <n2h>=<n2>-<h>#<f2>
<n1h>+<n2h>
=(<n1>-<h>#<f1>)+(<n2>-<h>#<f2>)
=(<n1>+<n2>)-<h>#(<f1>+<f2>)
=0-<h>#0
=0
》<n1h>+<n2h>=0 ★_任意の位置に対する、内力によるトルクは相殺される
〓 運動量の和の時間変化、角運動量の和の時間変化 〓
■ <p1>'=<F1>+<f1> <p2>'=<F2>+<f2>
(<p1>+<p2>)'
=<p1>'+<p2>'
=(<F1>+<f1>)+(<F2>+<f2>)
=(<F1>+<F2>)+(<f1>+<f2>)
=<F1>+<F2>
》(<p1>+<p2>)'=<F1>+<F2> ★_外力のみ考えればよい。内力は相殺される
■ <L1>'=<N1>+<n1> <L2>'=<N2>+<n2>
(<L1>+<L2>)'
=<L1>'+<L2>'
=(<N1>+<n1>)+(<N2>+<n2>)
=(<N1>+<N2>)+(<n1>+<n2>)
=<N1>+<N2>
》(<L1>+<L2>)'=<N1>+<N2> ★_外力のみ考えればよい。内力は相殺される。
■ 同様に、任意の位置<h>に対しても
(<Lh1>+<Lh2>)'=<Nh1>+<Nh2> ★_
〓 2質点の運動 〓
■ (<p1>+<p2>)'=<F1>+<F2> & (<L1>+<L2>)'=<N1>+<N2>
どちらも外力のみ考えればよい
〓 外力がない場合 〓
◤ <F1>=<F2>=0 のとき
■ (<p1>+<p2>)'=0 & (<L1>+<L2>)'=0
運動量も角運動量も保存される(時間に依らない) ★_
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