☆お勉強しようUz☆ 物理.力学

2016/9-2011 Yuji.W

2質点の運動

◎ 運動量 角運動量 運動エネルギー 一様な重力場

◇ ベクトル<A> 縦ベクトル<A) 単位ベクトル<-u> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 共約複素数\z  物理定数 .

◇表記.2質点の運動◇

『表記.2質点の運動』 2015/12

■ 質量 m1,m2 全質量 M=m1+m2 位置 <r1>,<r2>

運動量 <p1>,<p2> 角運動量 <L1>,<L2> 運動エネルギー K1,K2

全運動量 <P>=<p1>+<p2> 全角運動量 <L>=<L1>+<L2>
全運動エネルギー K=K1+K2

■ 質点Aから質点@への内力 <f21> 質点@から質点Aへの内力 <f12>

それぞれの質点に働く外力 <F1>,<F2> 外力によるトルク <N1>,<N2>

全外力 <F>=<F1>+<F2> 外力によるトルク <N>=<N1>+<N2>

◇作用反作用の法則◇

■ 「力はベクトルだから、自由に平行移動できる」というのは、間違い。力がどの点に働くのが大事。自由に平行移動できない。 .

■ 2質点間に働く内力 質点Aから質点@への内力 <f21> 質点@から質点Aへの内力 <f12>

次の事が成り立つ

@ <f21>+<f12>=0 作用反作用の法則

A <f21> と <f12>は一直線上にある。※ @と同じ内容ではない。ニュートンの法則には、この事は書かれていない。

B それぞれの質点にかかる力の作用点は、その質点の位置と同じ。

◇全運動量、全角運動量◇

■【 全運動量 】

運動方程式 <p1>'=<F1>+<f21> & <p2>'=<F2>+<f12>

 <P>'
=(<p1>+<p2>)'
=<p1>'+<p2>'
=(<F1>+<f21>)+(<F2>+<f12>)
=(<F1>+<F2>)+(<f21>+<f12>)
=(<F1>+<F2>)+0
=<F1>+<F2>
=<F>

≫ <P>'=<F> .外力のみ

■【 全角運動量 】

 <N1>=<r1>#<F1> & <N2>=<r2>#<F2>

 <L1>'=<r1>#(<F1>+<f21>) & <L2>'=<r2>#(<F2>+<f12>)

 <L>'
=(<L1>+<L2>)'
=<L1>'+<L2>'
=<r1>#(<F1>+<f21>)+<r2>#(<F2>+<f12>)
=(<r1>#<F1>+<r2>#<F2>)+(<r1>#<f21>+<r2>#<f12>)
=<N1>+<N2>+(<r1>-<r2>)#<f21>
=<N>+(<r1>-<r2>)#<f21> 

ここで <r1>-<r2> と <f21> は、一直線上にあるから、

 (<r1>-<r2>)#<f21>=0

 <L>'=<N> .外力のみによるトルク

『2質点の、全運動量の時間微分、全角運動量の時間微分』 2016/9

■ <P>'=<F> 全運動量の時間微分=全外力

■ <L>'=<N> 全角運動量の時間微分=全外力によるトルク

◇質量の中心◇

◎ 2質点

■【 質量の中心 】

{定義} 質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M

※ 「質量の中心」と「重心」は違う。重心は、一様な重力場で成り立つ概念。

■【 質量の中心の位置 】

 <G>=(<r1>-<r2>)*m1/M+<r2>

この式より、次の事がわかる

@ 質量の中心は、2質点の間にある

A 質量の中心は、2質点を結ぶ線分を m2:m1 に内分した点である

■【 質量の中心に対する諸量の定義 】

質量の中心の運動量 <Pcm>=M*<G>'

質量の中心の角運動量 <Lcm>=<G>#<Pcm>=M*<G>#<G>'

質量の中心に対するトルク <Ncm>=<G>#<F>

{この項が大事!}

■【 <Pcm> と <P> 】

 <Pcm>=(m1*<r1>+m2*<r2>)'=m1*<r1>'+m2*<r2>'=<p1>+<p2>=<P>

≫ <Pcm>=<P> .質量の中心の運動量=全運動量

■【 質量の中心の運動方程式 】

 <Pcm>'=<P>'=<F> .外力の和

≫ <Pcm>'=<F> .外力の和

■【 質量の中心の角運動量の時間微分 】

 <Lcm>'
=(<G>#<Pcm>)'
=(<G>#<P>)'
=<G>'#<P>+<G>#<P>'
=(<P>/M)#<P>+<G>#<F>
=<G>#<F>
=<Ncm>

≫ <Lcm>'=<Ncm> .

『2質点の質量の中心』 2016/9

■ {定義} 質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M

■ 質量の中心の運動量 <Pcm>=M*<G>'

質量の中心の角運動量 <Lcm>=<G>#<Pcm>=M*<G>#<G>'

質量の中心に対するトルク <Ncm>=<G>#<F>

{この項が大事!}

■ <Pcm>=<P> 質量の中心の運動量=全運動量

 <Pcm>'=<F> 質量の中心の運動量の時間微分=全外力

 <Lcm>'=<Ncm> 質量の中心の角運動量の時間微分=質量の中心への全外力のトルク

{改めて整理すると、わかってなかったなあと思う!2016/9}☆

◇質量の中心系◇

質量の中心系 質量の中心を原点とし、慣性系に対して回転していない系

 <r1>-<G>≡<r1G> <r2>-<G>≡<r2G>

※ 元の系が慣性系であっても、質量の中心系は慣性系になるとは限らない。

 質量の中心の質量の中心系での位置 <G_G>=<G>-<G>=0

ここで <G_G>=(m1*<r1G>+m2*<r2G>)/M とも書けるから、

 m1*<r1G>+m2*<r2G>=0 .{盲点!よく使う!2016/1}

■【 質量の中心系での全運動量 】

質量の中心の運動量 <Pcm>=M*<G>'

個々の質点の質量の中心系での運動量 <p1G>=m1*<r1G>'

 <p2G>=m2*<r2G>'

質量の中心系での全運動量 <PG>=<p1G>+<p2G>

 <p1>
=m1*<r1>'
=m1*(<r1G>+<G>)'
=m1*<r1G>'+m1*<G>'
=<p1G>+m1*<G>'

≫ <p1>=<p1G>+m1*<G>' .

 <P>
=<p1>+<p2>
=(<p1G>+m1*<G>')+(<p2G>+m2*<G>')
=(<p1G>+<p2G>)+M*<G>'
=<PG>+<Pcm>

ところが <P>=<Pcm> であったから、

 <PG>=0 . 質量の中心系での全運動量=0 質量の中心系を使う最大の利点

■【 質量の中心系の全角運動量 】

質量の中心の角運動量 <Lcm>=<G>#<Pcm>=<G>#<P>

個々の質点の質量の中心系での角運動量 <L1G>=<r1G>#<p1G>

 <L2G>=<r2G>#<p2G>

質量の中心系での全角運動量 <LG>=<L1G>+<L2G>

質点@の任意の系での角運動量 <L1> を <L1G> で表すと、

 <L1>
=<r1>#<p1>
=(<r1G>+<G>)#(<p1G>+m1*<G>')
=<r1G>#<p1G>+m1*<r1G>#<G>'+<G>#<p1G>+m1*<G>#<G>'
=<L1G>+m1*<r1G>#<G>'+<G>#<p1G>+m1*<G>#<G>'

 <L>
=<L1>+<L2>
=(<L1G>+<L2G>)
+(m1*<r1G>+m2*<r2G>)#<G>'
+<G>#(<p1G>+<p2G>)
+M*<G>#<G>'
=<LG>+<G>#<PG>+<G>#<Pcm>
=<LG>+<G>#<Pcm>
=<LG>+<Lcm>
=<Lcm>+<LG>

≫ <L>=<Lcm>+<LG> .

 全角運動量=質量の中心の角運動量+質量の中心系での全角運動量

{なるほどね!2016/9}

■【 質量の中心系の全運動エネルギー 】

 K1=(1/2)*m1*(<r1>')^2 K2=(1/2)*m2*(<r2>')^2 K=K1+K2

 K1G=(1/2)*m1*(<r1G>')^2 K2=(1/2)*m2*(<r2G>')^2 KG=K1G+K2G

 (<r1>')^2=(<r1G>'+<G>')^2=(<r1G>')^2+2*<r1G>'*<G>'+(<G>')^2

 2*K
=m1*(<r1>')^2+m2*(<r2>')^2
=[m1*(<r1G>')^2+m2*(<r2G>')^2]

+2*(m1*<r1G>+m2*<r2G>)'*<G>'+M*(<G>')^2
=2*KG+M*(<G>')^2

≫ K=(1/2)*M*(<G>')^2+KG .

 全運動エネルギー
=質量の中心の運動エネルギー+質量の中心系での全運動エネルギー

質量の中心系の全運動エネルギーが最小 .

◇質量の中心系での運動◇

◎ {明記してある資料は見あたらない!2015/7}

■【 質量の中心系での運動方程式 】

元の慣性系で運動方程式 <p1>'=<F1>+<f21> & <p2>'=<F2>+<f12>

質量の中心系は必ずしも慣性系ではないから、簡単な運動方程式は成り立たない。

 <p1G>=<p1>-m1*<G>'

 <p1G>'
=<p1>'-m1*<G>''
=<p1>'-m1*(<p1>'+<p2>')/M
=<p1>'*(1-m1/M)-<p2>'*m1/M
=<p1>'*m2/M-<p2>'*m1/M
=(<F1>+<f21>)*m2/M-(<F2>+<f12>)*m1/M
=(<F1>*m2-<F2>*m1)/M+<f21>*(m2+m1)/M
=(<F1>*m2-<F2>*m1)/M+<f21>*(m2+m1)/M

≫ <p1G>'=(<F1>*m2-<F2>*m1)/M+<f21> .

▲ 孤立系(外力なし)で <p1G>'=<f21> .2体問題の運動方程式

▲ 一様な重力場 <F1>=m1*<g> & <F2>=m2*<g> で、

 <p1G>'=(<g>*m1*m2-<g>*m1*m2)/M+<f21>=<f21> .

◇相対座標◇

■【 相対座標 】

相対座標 <r12>=<r1>-<r2>

 <r12>''
=<r1>''-<r2>''
=(<F1>+<f21>)/m1-(<F2>+<f12>)/m2
=(<F1>/m1-<F2>/m2)+(<f21>/m1-<f12>/m2)
=(<F1>/m1-<F2>/m2)+<f21>*(1/m1+1/m2)

ここで 換算質量 m.=m1*m2/(m1+m2) & 1/m.=1/m1+1/m2 を使うと

 <r12>''=(<F1>/m1-<F2>/m2)+<f21>/m.

 m.*<r12>''=<F1>*m2/M-<F2>*m1/M+<f21> .

▲ 孤立系(外力なし)で m.*<r12>''=<f21> . 

{よく使うのに、明記してない資料が多い!2015/7}

■【 <r1G> と <r12> 】

 M*<r1G>
=M*(<r1>-<G>)
=M*<r1>-M*<G>
=(m1+m2)*<r1>-(m1*<r1>+m2*<r2>)
=m2*(<r1>-<r2>)
=m2*<r12>

≫ <r1G>=<r12>*m2/M <r2G>=<r21>*m1/M=-<r12>*m1/M .

☆一様な重力場での2質点の運動☆

◎ 一様な重力場 孤立系(外力なし)でない

◆ 一様な重力場 重力加速度 g

2質点[質量 m1,m2] m1+m2=M 換算質量 m.=m1*m2/(m1+m2)

xy平面:水平 鉛直方向 <zu>

質点Aから質点@への内力 <f21> 質点@から質点Aへの内力 <f12>

外力は重力のみ <F1>=-<zu>*m1*g <F2>=-<zu>*m2*g

■【 合力 】<F1>+<F2>=-<zu>*m1*g-<zu>*m2*g=-<zu>*M*g

 <F1>*m2-<F2>*m1
=-(<zu>*m1*g)*m2+(<zu>*m2*g)*m1
=0
.一様な重力場での重要な性質

■【 質量の中心の運動 】

 M*<G>''=<F1>+<F2>=-<zu>*M*g

■【 質量の中心系で 】

 m1*<r1G>''=<f21>+(<F1>*m2-<F2>*m1)/M=<f21> .質量の中心系での運動は、内力のみを考えればよい

■【 相対座標 】

 m.*<r12>''=<f21>+(<F1>*m2-<F2>*m1)/M=<f21> .相対座標も、内力のみ考えればよい

※ 一様な重力場で、

@ m1*<r1G>''=<f21> A  m.*<r12>''=<f21>

<r1G>=<r12>*m2/M という関係があるから @とAは同じ事{!}

▲ 質量の中心系は慣性系ではないのだが、質量の中心系での運動は、慣性系と同じと見なして解いてゆく事ができる .{なるほどねー!2015/12}{ちゃんと考察を加えてくれている資料は見あたらない!2015/12}

◇孤立系(外力なし)◇

『2質点、孤立系(外力なし)』 2016/3

◆ 2質点[質量 m1,m2] 孤立系(外力なし) 換算質量 m.=m1*m2/(m1+m2)

質点Aから質点@への内力 f21

座標 <r1>,<r2> 質量の中心系で <r1G>,<r2G>

相対座標 <r12>=<r1>-<r2>

■ 質量の中心系で m1*<r1G>''=<f21> @

相対座標を使って m.*<r12>''=<f21> A

※ m1*<r1G>=m.*<r12> なので @とAは同じ意味

◇慣性モーメント◇

◎ 同質量2質点の慣性モーメント

◆ 同質量2質点 1質点の質量 m 2質点の距離 l

■ 慣性モーメント Ic=m*(l/2)^2+m*(l/2)^2=m*l^2/2

端で I=Ic+(2*m)*(l/2)^2=m*l^2/2+m*l^2/2=m*l^2 .

回転エネルギー Kr 回転角 a 回転角速度 a'

質量の中心で Kr
=2*(1/2)*m*(a'*l/2)^2
=(1/4)*m*l^2*a'^2
=(1/2)*Ic*a'^2
.

端で Kr
=(1/2)*m*(a'*l)^2
=(1/2)*m*l^2*a'^2
=(1/2)*I*a'^2
.

◇角運動量と角速度の方向が異なる場合◇

◎ <L>‖<w> にならない場合

◆ 2質点 同質量 m 角速度 w 回転軸:z軸 <w>=<zu>*w

t=0 で <r1>=<xu>+<zu> , <r2>=-<r1>=-(<xu>+<zu>)

t=0 の時の角運動量 

 <r1>'=<yu>*w <r2>'=-<yu>*w

 <r1>#<r1>'=(<xu>+<zu>)#(<yu>*w)=(<zu>-<xu>)*w

 <r2>#<r2>'=-(<xu>+<zu>)#(-<yu>*w)=(<zu>-<xu>)*w

 <L>=m*<r1>#<r1>'+m*<r2>#<r2>'=(<zu>-<xu>)*2*m*w

≫ <w>=<zu>*w <L>=(<zu>-<xu>)*2*m*w .角速度ベクトルと角運動量ベクトルとの方向が異なる 回転させると、角運動量が一定の方向になろうとするから、軸受けはガタガタする事になる

◇まとめ-2質点の運動◇

『2質点の運動』 2016/9

■ <P>'=<F(外力)> <L>'=<N(外力)>

■ 質量の中心 <G>=(m1*<r1>+m2*<r2>)/M

 <P>=<Pcm> 全運動量=質量の中心の運動量

■ <PG>=0 質量の中心系での全運動量

 <L>=<Lcm>+<LG>

 全角運動量=質量の中心の角運動量+質量の中心系での全角運動量

 K=Kcm+KG

 全運動エネルギー
=質量の中心の運動エネルギー+質量の中心系での全運動エネルギー

■ <p1G>'=<f21>+<F1>*m2/M-<F2>*m1/M

■ m.*<r12>''=<F1>*m2/M-<F2>*m1/M+<f21>

 <r1G>=<r12>*m2/M

{やっとまとまった感じがする!2015/7/6 今日は、女子ワールドカップ決勝戦}{負けちゃいました!残念!2015/7}

  2質点の運動  

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