物理 力学  2017/10-2011 Yuji.W

☆ 2体問題

孤立系(外力なし)での2質点の運動 換算質量 _物理定数

【ベクトル】<A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積 * 外積 #
【関数】10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 微分 ; 時間微分 ' 積分 $

◇ 2体問題 ◇

2体問題=[2質点、孤立系(外力なし)]

◆ 2質点 質量 m1,m2 換算質量 m.=m1*m2/(m1+m2) 1/m.=1/m1+1/m2

2質点の位置 <r1>,<r2> 質量の中心の位置 <G>

質量の中心系での位置 <r1G>=<r1>-<G> <r2G>=<r2>-<G>

 m1*<r1G>+m2*<r2G>=0

相対座標 <r12>=<r1>-<r2>=<r1G>*(m1+m2)/m2

外力なし 質点@への内力 <f1> 質点Aへの内力 <f2>=-<f1>

■【 質量の中心の運動 】

質量の中心は等速直線運動、質量の中心系は慣性系

全運動量=一定 全角運動量=一定 全運動エネルギー=一定

■【 個々の質点の運動方程式 】

質量の中心系で m1*<r1G>''=<f1> _@

 m2*<r2G>''=<f2> _A

相対座標を使って m.*<r12>''=<f1> _B

 質点@基準の相対座標だと m.*<r21>''=<f2> _C

@ m1*<r1G>''=<f1>

 m1*(-<r2G>''*m2/m1)=-<f2>

 m2*<r2G>''=<f2> Aになった @とAは同じ意味

B m.*<r12>''=<f1>

 [m1*m2/(m1+m2)]*[<r1G>''*(m1+m2)/m2]=<f1>

 m1*<r1G>''=<f1> @になった @とBは同じ意味

BとCは、符号を変えただけ

@とAとBとCは同じ意味、どれを使ってもよい{同じ意味であると何十年も知らなかった!2017/10}

◇ 換算質量 ◇

換算質量 m.=m1*m2/(m1+m2) 1/m.=1/m1+1/m2

■【 m1<m2 のとき 】

 m1-m.
=m1-m1*m2/(m1+m2)
=m1*[1-m2/(m1+m2)]
=m1^2/(m1+m2) > 0

》 m. < m1 < m2 _換算質量は軽い方の質量をさらに軽くした値

 m.=m1*m2/(m1+m2)=m1/(1+m1/m2) _

■【 太陽と地球と月 】

質量 月 7.347*Ten(22)_kg 地球 5.97*Ten(24)_kg 太陽 1.99*Ten(30)_kg

地球/太陽~0 太陽と地球の換算質量~地球の質量 _

月/地球=0.0123 地球と月の換算質量
=月の質量/(1+0.0123)
=月の質量*0.988 _1%程度の修正が必要である

◇ 重力による2体問題 ◇

◎ 2質点間の内力は、互いの重力のみ 外力なし

質量の中心系でも、相対座標を使っても、同じ結果になる。相対座標を使っていく。

◆ 2質点 孤立系(外力なし) 内力は2質点間に働く重力のみ

相対座標 <r> 内力 <f>=-<ru>*G*m1*m2/r^2

■ 運動方程式 m.*<r>''=-<ru>*G*m1*m2/r^2

 <r>''=-<ru>*G*(m1*m2/m.)/r^2

ここで m1*m2/m.=m1+m2

 <r>''=-<ru>*G*(m1+m2)/r^2 .

{質量の和が出てくる!わかってなかった!2015/12}

■【 太陽と惑星 】質量の和~太陽の質量

 <r>''=-<ru>*G*(太陽質量)/r^2 .惑星の質量に依らない

惑星の運動は、ほぼ、太陽からの距離によって決まる{!}

■【 月と地球 】質量の和=地球の質量*1.0123

 <r>''=-<ru>*G*地球の質量*1.0123/r^2 .

◇ 連星 ◇

◎ 2つの星が重力で引き合い、等速円運動をする

◆ 2つの星 @A 質量 m1,m2

相対座標 <r> 2つの星の距離 r=一定 角速度 w=一定 回転周期 T=一定

■ <r>''=-<ru>*G*(m1+m2)/r^2

円運動の場合 <r>''=-<ru>*r*w^2 だから

 r*w^2=G*(m1+m2)/r^2

 w^2=G*(m1+m2)/r^3 .

周期 T=2Pi/w で表せば (2Pi/T)^2=G*(m1+m2)/r^3

 (m1+m2)*T^2/r^3=4*Pi^2/G .宇宙じゅうで一定の値

◆ 宇宙にある任意の連星 周期 T_year 連星間の距離 r_au

■ 連星として、太陽と地球を選ぶと 周期 1_year 距離 1_au 質量の和~Ms 太陽質量

※ au=天文単位=地球と太陽の距離

 (m1+m2)*T^2/r^3=Ms*1^2/1^3=Ms

 (m1+m2)/Ms=r^3/T^2 .連星間の距離と回転周期がわかると、連星の質量の和がわかる。さらに、質量の中心の位置がわかれば、個々の星の質量もわかる。


◆ シリウスは連星

観測データ @年周視差 a=0.379_" A連星間の距離の視差 7.56" B連星の周期 T=50_year  シリウスの連星の質量の和 ?

■ 距離_au=2.063*Ten(5)/年周視差_'' だから、@より、

 シリウスまでの距離=[2.063*Ten(5)]/0.379~5.44*Ten(5)_au

■ Pi_rad=180° 角度の1"=(1/3600)°=(1/3600)*Pi/180~4.848*Ten(-6)_rad

連星の軌道と、地球からの視線とが垂直だと仮定して、

Aより 連星間の距離の視差=7.56"=7.56*[4.848*Ten(-6)]_rad=3.665*Ten(-5)_rad

 連星間の距離 r=[5.44*Ten(5)]*[3.665*Ten(-5)]~19.9_au

■ Aの結果とBより 

 質量の和/太陽質量=19.9^3/50^2=3.15 .太陽程度の重さ

※ 最新の別のデータによると m1/太陽質量=2.14 m2/太陽質量=0.98

 和//太陽質量=3.12

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