お勉強しようUz 物理.力学

2016/2-2012/10 Yuji.W

☆振動☆

◎ 振動とエネルギー 振動の周期と振れ幅

ベクトル<A> 座標単位ベクトル<xu>,<yu>,<zu> 内積* 外積# 微分;x 時間微分' 積分${f(x)*dx} 10^x=Ten(x) exp(i*x)=expi(x) 物理定数 .

◇振動とエネルギー◇

◆ 1質点直線上の運動

下図において (全エネルギー)=(運動エネルギー)+(位置エネルギー)=一定 のとき

■ 点A,F の所で、(運動エネルギー)=0 静止する

(力)=-(位置エネルギーの傾き) だから、

 A~B , D~E の所で、右向きの力 B~C , E~F の所で、左向きの力

 C~D の所では、力は働かない。質点は等速直線運動をする。

すなわち、点Aの所にある質点は、右向きの力を受け、右向きに動き始める。

A~B 右向きに加速する B~C 減速する(止まらない) C~D 右向きに等速直線運動

D~E 加速する E~F 減速し、点Fで止まる

点Fから左向きに動き始める

F~E 左向きに加速する E~D 減速する(止まらない) D~C 左向きに等速直線運動

C~B 加速する B~A 減速し、点Aで止まる

以降、繰り返しになる。質点は一直線上を振動する。

力の大きさは、位置によって決まるから、一往復にかかる時間は、ある一定の値をとる。

{以上のような事が何十年もまるでわかってなかった!2015/12}

◇振動の周期と振れ幅◇

● 1次元のラグランジアン {L}=(1/2)*m*x'^2-U(x)

 周期 T(E)=root(2*m)*${1/root[E-U(x)]}dx[x:x1->x2]

◆ 1次元 振動 左右にエネルギーの壁 極小値はただ1つ

その極小値の位置を原点にし、U(0)=0 U(x)>0

左右のエネルギーの壁 x1,x2 x1<0 x2>0

■ U=U(x) を、x=x(U) と考える dx=(x;U)*dU

x>0 で、

 T(E)=root(2*m)*${1/root[E-U(x)]}dx[x:0->x2]
=root(2*m)*${(x;U)/root[E-U(x)]}dU[U:0->E]

パラメータ s を使い、両辺を root(s-E) で割って、[E:0->s] まで積分する。

 左辺=${T(E)/root(s-E)}*dE[E:0->s]

 右辺/root(2*m)=$${(x;U)/root[(s-E)*(E-U)]}dU[U:0->E]dE[E:0->s]
=${x;U}dU[U:0->E]*${1/root[(s-E)*(E-U)]}dE[E:U->s]

積分は、

 ${1/root[(s-E)*(E-U)]}dE[E:U->s]=Pi

 ${x;U}dU[U:0->E]={x}[U:0->E]=x2-0=x2

だから、

 x>0 で、${T(E)/root(s-E)}*dE[E:0->s]=Pi*root(2*m)*x2

同様にして、

 x<0 で、${T(E)/root(s-E)}*dE[E:0->s]=-Pi*root(2*m)*x1

まとめて、

 ${T(E)/root(s-E)}*dE[E:0->s]=Pi*root(2*m)*(x2-x1)

s=U に置き換えて、整理して、

 x2-x1={1/[Pi*root(2*m)]}*${T(E)/root(U-E)}*dE[E:0->U] 

{ランダウ・リフシッツは積分が強引だなあ!2012/12/24}

「1/root(A^2-x^2) の積分」

◆ f(x)=1/root(A^2-x^2) A>0

 -A<x<A f(0)=1/A f(±A)=∞ y軸に対して対称

■ x=A*sin(s) と置く。-Pi/2<z<Pi/2 s は単調増加関数 cos(s)>0

■ dx=A*cos(s)*ds root(A^2-x^2)=A*cos(s) だから、

 ${1/root(A^2-x^2)}dx=${1}ds=s

■ x1=A*sin(s1) x2=A*sin(s2)

 ${1/root(A^2-x^2)}dx[x:x1->x2]=s2-s1

■ -x1=x2 のとき x1=A*sin(s1) x2=A*sin(s2)

 ${1/root(A^2-x^2)}dx[x:x1->x2]=2*s2

■ さらに、x1=-A & x2=A のとき、-s1=s2=Pi/2 だから、

 ${1/root(A^2-x^2)}dx[x:x1->x2]=Pi

  振動  

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