☆ 振動、1次元調和振動子 ☆ |
○ 1次元調和振動子 角振動数 エネルギー ★ |
A.力学 B.特殊相対性理論,電磁気 C.物理学その他 D.数学,その他 |
2*3=6 6/2=3 3^2=9 1000=10^3=Ten(3) 2021.2.8 |
〓〓〓 振動 〓〓〓 ✿ つり合いの位置にある物体を考える。例えば、バネにつけた重り。お茶碗に入れたビー玉。つり合いからずらせば、元に戻そうとする力が働く。そういう力があるから、釣り合っている。物体は元の位置を目指して動く。つり合いの位置を通り過ぎる事がある。また、元の位置に戻そうとする力が働く。その繰り返しになる。「振動」が起きる。摩擦などによって、エネルギーのロスがなければ、振動は永久に続く。エネルギーのロスがあれば、徐々に振動は小さくなり、やがて、また元のつり合いの位置に戻る。 |
〓〓〓 振動 エネルギー 〓〓〓 ▢ 1質点直線上の運動 下図において (全エネルギー)=(運動エネルギー)+(位置エネルギー)=一定 のとき
■ (力)=-(位置エネルギーの傾き) だから、 A~B , D~E で (位置エネルギーの傾き)<0 (力)>0 正の方向に力が働く A,F で (運動エネルギー)=0 静止する A から動き始める物体の動きを考える。 A~B 正の方向に加速 B~C 減速 C~D 等速直線運動 D~E 加速 E~F 減速 以上の繰り返しになる。振動が起きる。力の大きさは、位置によって決まっているから、一往復にかかる時間は、ある一定の値をとる。 {以上のような事が何十年もわかってなかった!2015/12} |
〓〓〓 調和振動子.1次元 〓〓〓 ▢ 1質点 質量 m 1次元の運動 つり合いの位置からの変位 x 力 F=-k*x k>0 調和振動子 正の方向にずれれば、力は負の方向に働く。負の方向にずれれば、力は正の方向に働く。常に、原点に戻そうとする力が働く。振動が起きる。 ■ 運動方程式 m*(x;;t)=-k*x x;;t=-(k/m)*x k/m=w^2=定数 と置くと x;;t=-w^2*x t=0 のとき x=x0 とすれば x=x0*cos(w*t) ★ w 角振動数 ■ 振動の周期 T とすれば w*T=2Pi ★ 振動数 f=w/2Pi とすれば f*T=1 ★ |
〓〓〓 三角関数 平均 〓〓〓 ▢ cos(x)^2 の平均 @{cos(x)^2} sin(x)^2 の平均 @{sin(x)^2} ● cos(2*x)=2*cos(x)^2-1 cos(x)^2=[cos(2*x)+1]/2 ■ [cos(x)^2 の最小値]=0 [cos(x)^2 の最大値]=1 ■ @{cos(x)^2} ここで ${cos(x)^2*dx}=(1/2)*${[cos(2*x)+1]*dx}=(1/2)*[sin(2*x)+x] ${cos(x)^2*dx}[x:0~Pi/2]=(1/2)*[sin(Pi)+Pi/2]=Pi/4 @{cos(x)^2}=(2/Pi)*(Pi/4)=1/2 @{cos(x)^2}=1/2 ★ 同様に @{sin(x)^2}=1/2 ★ |
〓〓〓 調和振動子.1次元 エネルギー 〓〓〓 ▢ 1質点 質量 m 1次元の運動 つり合いの位置からの変位 x 力 F=-k*x k>0 調和振動子 角振動数 w=root(k/m) t=0 のとき x=x0 として x=x0*cos(w*t) 運動エネルギー K 位置エネルギー U それぞれの時間平均 @K , @U ■ x;t=-x0*w*sin(w*t) (x;t)^2=x0^2*w^2*sin(w*t)^2 K K=(1/2)*m*(x;t)^2=(1/2)*k*x0^2*sin(w*t)^2 ★ t=0 で K_min=0 t=Pi/(2*w) で K_max=(1/2)*k*x0^2 @{sin(x)^2}=1/2 だから、 @K=(1/4)*k*x0^2 ★ ■ x^2=x0^2*cos(w*t)^2 U=(1/2)*k*x^2=(1/2)*k*x0^2*cos(w*t)^2 ★ t=0 で U_max=(1/2)*k*x0^2 t=Pi/(2*w) で U_min=0 @{cos(x)^2}=1/2 だから、 @U=(1/4)*k*x0^2 ★ ■ E=K+U=(1/2)*k*x0^2*[sin(w*t)^2+cos(w*t)^2=(1/2)*k*x0^2=一定 ★ また @K=@U=E/2 ★ |
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