☆振動、1次元調和振動子Uz

　物理　力学　2021.3-2012.10　Yuji Watanabe

☆ 振動、1次元調和振動子 ☆

○ 1次元調和振動子　角振動数　エネルギー　★　

2*3=6　6/2=3　3^2=9　1000=10^3=Ten(3)　　　　　　　　　　　2021.2.8
微分 ;　2階微分 ;;　偏微分 :　積分 $　ネイピア数 e　虚数単位 i　e^(i*x)=expi(x)
ベクトル <A>　縦ベクトル <A)　単位ベクトル <Au>　内積 *　外積 #　　　000

〓〓〓　振動　〓〓〓　

✿ つり合いの位置にある物体を考える。例えば、バネにつけた重り。お茶碗に入れたビー玉。つり合いからずらせば、元に戻そうとする力が働く。そういう力があるから、釣り合っている。物体は元の位置を目指して動く。つり合いの位置を通り過ぎる事がある。また、元の位置に戻そうとする力が働く。その繰り返しになる。「振動」が起きる。摩擦などによって、エネルギーのロスがなければ、振動は永久に続く。エネルギーのロスがあれば、徐々に振動は小さくなり、やがて、また元のつり合いの位置に戻る。

〓〓〓　振動　エネルギー　〓〓〓　

▢ 1質点直線上の運動

下図において　(全エネルギー)=(運動エネルギー)+(位置エネルギー)=一定　のとき

■ (力)=-(位置エネルギーの傾き)　だから、

A~B , D~E で　(位置エネルギーの傾き)<0　 (力)>0　正の方向に力が働く
B~C , E~F で　(位置エネルギーの傾き)>0　 (力)<0　負の方向に力が働く
C~D で　(位置エネルギーの傾き)=0　力は働かない

A,F で　(運動エネルギー)=0　静止する

A から動き始める物体の動きを考える。

A~B 正の方向に加速　B~C 減速　C~D 等速直線運動　D~E 加速　E~F 減速
F 止まる負の方向に力が働くから、負の方向に動き始める
加速したり、減速したり、等速直線運動をしたりしながら、A に戻る。

以上の繰り返しになる。振動が起きる。力の大きさは、位置によって決まっているから、一往復にかかる時間は、ある一定の値をとる。

{以上のような事が何十年もわかってなかった!2015/12}

〓〓〓　調和振動子.1次元　〓〓〓　

▢ 1質点　質量 m　1次元の運動　

つり合いの位置からの変位 x　力 F=-k*x　k>0　調和振動子

正の方向にずれれば、力は負の方向に働く。負の方向にずれれば、力は正の方向に働く。常に、原点に戻そうとする力が働く。振動が起きる。

■ 運動方程式　m*(x;;t)=-k*x

　x;;t=-(k/m)*x

k/m=w^2=定数　と置くと　x;;t=-w^2*x

t=0 のとき x=x0 とすれば　x=x0*cos(w*t)　★　w 角振動数

■ 振動の周期 T　とすれば　w*T=2Pi　★　

振動数 f=w/2Pi　とすれば　f*T=1　★　

〓〓〓　三角関数　平均　〓〓〓　

▢ cos(x)^2 の平均 @{cos(x)^2}　sin(x)^2 の平均 @{sin(x)^2}

● cos(2*x)=2*cos(x)^2-1　cos(x)^2=[cos(2*x)+1]/2

■ [cos(x)^2 の最小値]=0　[cos(x)^2 の最大値]=1

■ @{cos(x)^2}
=1/[Pi/2)]*${cos(x)^2*dx}[t:0~Pi/2]
=(2/Pi)*${cos(x)^2*dx}[x:0~Pi/2]

ここで　${cos(x)^2*dx}=(1/2)*${[cos(2*x)+1]*dx}=(1/2)*[sin(2*x)+x]

　${cos(x)^2*dx}[x:0~Pi/2]=(1/2)*[sin(Pi)+Pi/2]=Pi/4

　@{cos(x)^2}=(2/Pi)*(Pi/4)=1/2

　@{cos(x)^2}=1/2　★　

同様に　@{sin(x)^2}=1/2　★　

〓〓〓　調和振動子.1次元　エネルギー　〓〓〓　

▢ 1質点　質量 m　1次元の運動　

つり合いの位置からの変位 x　力 F=-k*x　k>0　調和振動子

角振動数 w=root(k/m)　t=0 のとき x=x0 として　x=x0*cos(w*t)

運動エネルギー K　位置エネルギー U　それぞれの時間平均 @K , @U
全エネルギー E=K+U

■ x;t=-x0*w*sin(w*t)　(x;t)^2=x0^2*w^2*sin(w*t)^2

　K
=(1/2)*m*(x;t)^2
=(1/2)*m*x0^2*w^2*sin(w*t)^2
=(1/2)*k*x0^2*sin(w*t)^2　

　K=(1/2)*m*(x;t)^2=(1/2)*k*x0^2*sin(w*t)^2　★　

t=0 で K_min=0　t=Pi/(2*w) で K_max=(1/2)*k*x0^2

@{sin(x)^2}=1/2　だから、

　@K=(1/4)*k*x0^2　★　

■ x^2=x0^2*cos(w*t)^2

　U=(1/2)*k*x^2=(1/2)*k*x0^2*cos(w*t)^2　★　

t=0 で U_max=(1/2)*k*x0^2　t=Pi/(2*w) で U_min=0

@{cos(x)^2}=1/2　だから、

　@U=(1/4)*k*x0^2　★　

■ E=K+U=(1/2)*k*x0^2*[sin(w*t)^2+cos(w*t)^2=(1/2)*k*x0^2=一定　★　

また　@K=@U=E/2　★　

☆ お勉強しよう　since 2011　Yuji Watanabe