物理 力学 2017/8-2011 Yuji.W | ||
☆波動方程式☆ | ||
_★ 波を表す関数 波のグラフ 波動方程式 ★_〔物理定数〕 |
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ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 座標単位ベクトル <x> 内積
* 外積 # |
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◎ 波という現象を式で表したい。 ■【 波とは 】 波とは、任意の物理量の変位が、次々と隣の位置に伝わる現象である。次の2つのレベルの「波」を考えることができる。 @ 1個だけの波 ある位置での、ある物理量の変位が、隣の位置に伝わっていく。 A 変位が繰り返し周期的に起きる波 ■【 1個だけの波 】 1次元 座標 x 時間 t 波が移動する速さ v 任意の関数 f(x,t) x-v*t の任意の関数 f(x-v*t) は、 f(x,0) を、x軸正の方向に v*t だけ移動したものであるから、 時間と共に、x軸正の方向に移動していく波を表す ★. v は、移動する速さを表す。 ※ 関数 f(x,t) は、どんな形でもよい。例えば、 放物線 x^2 が移動していく波 (x-v*t)^2 直線 2*x+3 が移動していく波 2*(x-v*t)+3 ■【 変位が繰り返し周期的に起きる波 】 例えば、三角関数で表して cos[2Pi*(x-v*t)] v=1 のとき、 ▲ 時刻と共に、右に進んでいく波を表す。 ■【 周期的な波を表す式 】 三角関数の引き数は無次元でなければならない。したがって、 cos[2Pi*(x-v*t)] というのは、不正確な表示である。正式には、 波長 λ 周期 T を使って、 変位=振幅*cos[2Pi*(x/λ-t/T)] ★.〔v=λ/T〕 v を使えば 変位=振幅*cos[2Pi*(x-v*t)/λ] ★. |
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◆ 1次元 座標 x 時間 t 任意の物理量の変位量 u(x,t) 波長 λ 周期 T v=λ/T 周期的な波の例 u(x,t)=u0*cos[2Pi*(x/λ-t/T)] ■【 座標関係の諸量 】 波数 k'=1/λ (角)波数 k=2Pi*k'=2Pi/λ ※ (角)波数を普通「波数」と言う ■【 時間関係の諸量 】 振動数 f=1/T 角振動数 w=2Pi*f=2Pi/T ■【 k,w で表す 】 周期的な波の例 u(x,t)=u0*cos(k*x-w*t) ★. {これで、この式が波を表す事がわかった!2016/5} ■【 速さ v 】 速さ v は、物理量の変位が、その速さで伝わっていくように見えるという事。実際に、何か粒子がその速さで動くという意味ではない。 ■ 波を表す量、振動を表す量、回転を表す量は併用できる。 周期
T 振動数(周波数)
f,nu 角速度(角振動数,角周波数) w 波長 λ=1つの波の長さ 波数 k'=長さ 1m の範囲にある波の数=1/λ (角)波数 k=長さ 2Pi の範囲にある波の数
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■【 周期的な波が起こるための要件 】 @ ある所で、平衡位置からの変位が起きる A その変位が、隣の変位を引き起こすような仕組みがある B 変位が周辺と比べて突出している場合、その突出をおさえ、平衡位置に戻そうとする仕組みがある。 ◆ 1次元 座標 x 時間 t ある物理量の変位 u(x,t) 任意の関数 f(x) 波 u(x,t)=f(x-v*t) h=x-v*t〔v:定数〕 ■【 2階時間微分 】 u'=(u;h)*h'=(f;h)*v u''=v^2*(f;;h) @ ■【 座標での2階微分 】 u;x=(u;h)*(h;x)=f;h u;;x=f;;h A ■【 波動方程式 】 @Aより u''=v^2*(u;;x) ★. u'' は、変位の2階時間微分だから、加速度と見なす事ができる。加速度は変位を起こそうとする力に比例する。 u;;x は、座標による2階微分だから、周囲の平均値と比べた凹み量(ずれ)に比例している。 両辺の符号が一致しているから、力は、凹み量を減らす方向に働く。平衡な位置に戻そうとする。これで、波は、順々に、隣に伝わっていくことになる。 ★. また、v^2 が大きければ、より力が大きくなるのだから、その振動はより早く伝わる事になる。 ■【 重ね合わせ 】 波動方程式 u''=v^2*u;;x の解 u1,u2 u1''=v^2*u1;;x u2''=v^2*u2;;x 任意の定数 c1,c2 に対して、c1*u1+c2*u2 も解になる。 {確かめ} (c1*u1+c2*u2)''=v^2*(c1*u1+c2*u2);;x を言えばよい。 左辺 |
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▲ 2つの波が、左右からやってきて衝突する。波は干渉し、高くなる。その後、波は全くない状態があった後、波が下に大きくへこむ。 |
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■ 波束 wave packet wave train ▲ 次の7つのサイン関数と、その和(紺色) sin(Pi*x) sin(1.1*Pi*x) sin(1.2*Pi*x) sin(1.3*Pi*x) 波束はこんな感じか。 |
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◎ 波動方程式の解には、1個の波だけが伝わっていくものも含まれる。通り過ぎたら、もう何も起こらない。以下では、そういう場合ではなくて、両端が固定されていて、無限に振動を繰り返す波を考える。 ☆ 定在波(定常波) standing wave stationary wave ◆ z_m x_m t_sec z=sin(2Pi*x)*cos(2Pi*t)
■ 1秒で 1波長分(1m)進んでいるから、波の(位相)速度 v=1_m/sec ◆ z/z0=sin(2Pi*x/λ)*cos(2Pi*t/T) ■ 波長 λ 周期 T 時間 T で1波長分進むから 波の(位相)速度 v=λ/T |
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★ 波動方程式 ★ |