物理 熱伝導 2018/4-2012/10 Yuji.W
☆ 熱伝導.軸対称 ☆
◎ ★_
◇ ベクトル <A> 単位ベクトル <-u> 内積 * 外積 # 座標単位<x>,<y>,<z>
円柱座標 <hu>,<au>,<z> 球座標 <ru>,<au>,<bu>
◇ 2*3=6 6/2=3 3^2=9 10^x=Ten(x) 微分
;x 時間微分
' 積分 $
ネイピア数 e e^x=exp(x) 対数
底a log(a,x) 底e ln(x) 底10 LOG(x)
i^2=-1 e^(i*x)=exp(i*x)=expi(x) 複素数zの共役複素数
\z
〓 Δf=定数 の解 〓 .
〔 C1,C2:積分定数 〕
■ 1次元関数 f(x) Δf(x)=k=定数 解 f(x)=(1/2)*k*x^2+C1*x+C2
■ 軸対称 円柱座標(h,a,z) Δf(h)=k=定数
解 f(h)=(1/4)*k*h^2+C1*ln(h)+C2
■ 点対称 球座標(r,a,b) Δf(r)=k=定数 解 f(r)=(1/6)*k*r^2+C1/r+C2
〓 熱伝導方程式 〓 .
■ 温度の高い領域から、温度の低い領域に熱伝導が起きる。
熱流束 単位時間に断面を通して流れる熱エネルギー
熱流束面密度 単位時間、単位断面積あたりに流れる熱エネルギー <j>
※ 「流束」と「流束面密度」は混乱して使われている
熱流束面密度は、温度の変化の割合に比例する場合を考える。
温度分布 T(x,y,z,t) 比例定数:熱伝導率 Kh
<j>=-Kh*<grad(T)> ★_Fourier's law 1822
[Kh]=[J/(sec*m^2)]/[K/m]=[W/(m*K)]
■ div<j>=-Kh*div<grad(T)>=-Kh*ΔT
熱の発生源や吸収源がない領域で div<j>=0 だから、
ΔT=0 ★_
〓 熱伝導.軸対称 〓 .
◆ 熱伝導 軸対称 円柱座標(h,a,z) 温度 T(h)
T(a)=T1 T(b)=T2 a<b T1>T2
領域 a<h<b で 熱源なし ΔT(a<h<b)=0
■ T(h)=C1*ln(h)+C2 〔 C1,C2:積分定数 〕
T1=T(a)=C1*ln(a)+C2 & T2=T(b)=C1*ln(b)+C2
C1=-(T1-T2)/ln(b/a)
C2=[T1*ln(b)-T2*ln(a)]/ln(b/a)
T(h)=T2*ln(h/a)/ln(b/a)-T1*ln(h/b)/ln(b/a) ★_
<grad[T(h)]>=<hu>*T(h);h=C1/h=-<hu>*(T1-T2)/[ln(b/a)*h] ★_
{やっとできた!2018/3}
■ 軸対称 熱流束面密度 <j>=<hu>*j(h) 熱伝導素(熱伝導率) Kh のとき、
<j>=-Kh*<grad(T)> だから、
<hu>*j(h)=+<hu>*Kh*(T1-T2)/[ln(b/a)*h]
j(h)=(T1-T2)/[ln(b/a)*h]
単位長さあたりの総熱量 J=2Pi*h*j(h) を使うと
J=2Pi*Kh*(T1-T2)/ln(b/a) ★_
〓 ジュール熱、電力 〓 .
◎ 「ファインマン物理学 問題集2」p152 問題38.1
◆ 銅線(10番) 直径 0.13_cm
1000_ft で 1_Ω 1_cm で 3.28*Ten(-5)_Ω
電流 20_A 1cm あたりの電力 \P
■ \P=20^2*[3.28*Ten(-5)]=1.31*Ten(-2)_W/cm
〓 {計算例}熱伝導.軸対称 〓 .
@ 「ファインマン物理学 問題集2」p152 問題38.1(b)
◆ 銅線(10番) 直径 0.13_cm 半径 a=0.065_cm
1000_ft で 1_Ω 1_cm で 3.28*Ten(-5)_Ω
電流 20_A 1cm あたりの電力 \P=1.31*Ten(-2)_W/cm
電線を絶縁体で包む 絶縁体外側までの半径 b=0.2_cm
絶縁体の熱伝導度 Kh=0.16_W/(m*K)=1.6*Ten(-3)_W/(cm*K)
円柱座標(h,a,z) 温度 T(h) J=2Pi*Kh*(T1-T2)/ln(b/a)
■ 1_cm あたりで
T1-T2
=J*ln(b/a)/[2Pi*Kh]
=[1.31*Ten(-2)]*ln(0.2/0.065)/{2*3.14*[1.6*Ten(-3)]}
=[1.31*Ten(-2)]*1.12/{2*3.14*[1.6*Ten(-3)]}
~1.46_K ★_
〓 円柱形の熱源 〓 .
●△f(r.)=k f(r.)=(1/4)*k*r.^2+C1*ln(r.)+C2
■ 円柱形の熱源 円柱全体に熱源量 s 熱伝導率 K 温度 T=T(r.)
△T(r.)=-s/K T(r.)=T(0)-(1/4)*(s/K)*r.^2 r.=0 で発散しないように
{計算例}r.=1.6*Ten(-2) m K=22.5 W/(mK)
電熱線 1mあたり 電圧 5V 抵抗 7*Ten(-7) s=(25/7)*Ten(7) W/m^3
T(0)-T(r)
=(1/4)*(s/K)*r.^2
=(25/7)*Ten(7)*[1.6*Ten(-2)]^2/(4*22.5)
~102
▲中心の温度は、表面より100度ほど高い{!}
〓 円柱形の熱源2 〓 .
●△f(r.)=-k*δ2(z) f(r.)=-[1/(2Pi)]*k*ln(r.) ※Δln(r.)=+2Pi*δ2(r.)
◎円柱の軸にだけ熱源がある場合の温度分布
■ 熱源からの熱の総量(円柱の軸の単位長さあたり) G 温度 T=T(r.)
△T(r.)=-(G/K)*δ2(z)
T(r.)=-[1/(2Pi)]*(G/K)*ln(r.) ★
{苦労した!2012/3}{すっきりわかった!2013/8}